勾股定理练习题(共6套)

勾股定理课时练（1）

1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2BC2AC2的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．

4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？

5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.

3m“路”4m第 5题图

第2题图

6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?

7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.

第7题图

8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 第8题图 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 第9题图 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 13m 5m

第11题12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？

在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得CD=BC+BD=25+12=169，所以CD=13. 2222

第一课时答案：

AC2129. 解：延长BC、AD交于点E.（如图所示）

1.A，提示：根据勾股定理得BC2，所以AB2BC2AC=1+1=2；

∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m，而3+4-5=2m，所以他们少走了4步.

60设AB=x，则AE=2x，由勾股定理。得(2x)2x282,x833 3.

13 ，提示：设斜边的高为x，根据勾股定理求斜边为1225216913 ，再利 10. 如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′用面积法得，1B就是最短路线. 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B=17km 2512160213x,x13；

4. 解：依题意，AB=16m，AC=12m，

11.解：根据勾股定理求得水平长为

1325212m，

在直角三角形ABC中,由勾股定理,

地毯的总长 为12+5=17（m），地毯的面积为17×2=34（m2)，

BC2AB2AC2162122202,

铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）

所以BC=20m,20+12=32(m), 12. 解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时， 故旗杆在断裂之前有32m高. 走了12千米，即OA=12．

5.8

乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 6. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得走了5千米，即OB=5．

在Rt△OAB中，AB2

=122

十52

50002400023000＝169，∴AB=13， BC=

(米),

因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．

所以飞机飞行的速度为

320540(千米/小时) 36007. 解：将曲线沿AB展开，如图所示，过点C作CE⊥AB于E. 在RtCEF,CEF90，EF=18-1-1=16（cm），

CE=

12.6030(cm)，

由勾股定理，得CF=CE2EF230216234(cm)

8.

解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得

BC2AC2AB2324225

A′ M P A D B 第10O A 勾股定理的逆定理（2）

一、 选择题

1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.53 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9

4,1,42.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5

C.三边之比为

3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶3

3.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.

2 B.210 C.42或210 D.以上都不对

4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的

是（ ）

725202520242424252024157207157151525(A)(B)(C)(D)

A B C D 二、填空题

5. △ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 . 6.三边为9、12、15的三角形，其面积为 . 7.已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足ab10,ab18，c8，则此三角形为 三角形.

8.在三角形ABC中，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，则BC边上的高为AD= cm. 三、解答题

9. 如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

第9题图

110. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=4BC，F为CD的中

点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.

A D

F B E C

第10题

11. 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB. A

D . B C

第11题12.如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿

隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？

18.2勾股定理的逆定理答案：

一、1.C；2.C；3.C，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=

第n组，a2n1,b2n(n1),c2n(n1)1

2262210;当6为斜边时，第三边为直角边=

622242；4. C；

191254.7.2；

二、5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为 90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为直角，提示：

(ab)2100,得a2b22ab100,a2b210021882c28.

6013，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得

1112513AD； 22三、9. 解：连接AC，在Rt△ABC中， AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5. 在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169， 而 AB2=132=169，

∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°． 故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=

10. 解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5， AF2=20，∵AE2= EF2 +AF2， ∴△AEF是直角三角形

11. 设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米） 12. 解：第七组，a1111AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36. 222227115,b27(71)112,c1121113.

勾股定理的逆定理 （3）

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18 图18－2－5 图18－2－6

3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=1AD，

4试判断△EFC的形状.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7

6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

二、综合·应用

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直

角三角形吗？为什么？

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.

求证：△ABC是直角三角形.

图18－2－8

9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论

. 图18－2－9

10.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积.

图18－

2－10

参

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5

思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半. 由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D. 答案：D

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4

解：过D点作DE∥AB交BC于E,

则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形， ∴AB=DE.

∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.

又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm. 根据勾股定理的逆定理得，DE=1025253 cm.

∴AB=

1025253 cm.

3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

图18－2－5 图18－2－6

思路分析：因为△ABC是Rt△，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2,所以AB=S31223.

答案：23

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=14AD，试判断△EFC的形状.

思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可. 解：∵E为AB中点，∴BE=2. ∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.

同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25. ∵CE2+EF2=CF2,

∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7

思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.

解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°. 在△BDC中,

BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.

所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°. 因此这个零件符合要求.

6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可. 证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边. ∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2, ∴△ABC是直角三角形. 二、综合·应用

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？

思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）. 解：略

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.

求证：△ABC是直角三角形.

图18－2－8

思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可. 证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2， ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =（AD+BD）2=AB2. ∴△ABC是直角三角形.

9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

图18－2－9

思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可. 解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10, OB2=OB12+B1B2=22+42=20, AB2=AC2+BC2=12+32=10, ∴OA2+AB2=OB2.

∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.

阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC

的形状.

解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.

问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.

思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.

答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.

已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形. 解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0, 配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0. ∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0. ∴a－5=0,b－12=0,c－13=0. 解得a=5,b=12,c=13. 又∵a2+b2=169=c2, ∴△ABC是直角三角形.

已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：四边形ABCD的面积.

10.11.12.

图18－2－10

思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解. 解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）, ∴DE=AB=4，BE=AD=3. ∵BC=6,∴EC=EB=3. ∵DE2+CE2=32+42=25=CD2, ∴△DEC为直角三角形. 又∵EC=EB=3,

∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5. 在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2, ∴△BDA是直角三角形. 它们的面积分别为S△BDA=

11×3×4=6;S△DBC=×6×4=12. 22∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.

勾股定理的应用（4）

1.三个半圆的面积分别为S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由。

2.求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？ CD AB

3..（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，

求EC的长。

4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 小 牧A 北 东

B 小

5.（8分）观察下列各式，你有什么发现？

32

=4+5，52

=12+13，72

=24+25 92

=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132

= + （2）请写出你发现的规律。

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的长

ADBC

7.在数轴上画出表示17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）

8.已知如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积 _A _D

_B

_C

9.如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。 D AC

B勾股定理复习题（5）

一、填空、选择题题：

3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（ ）米。

C.对顶角相等 D.如果a=b或a+b=0,那么a2b2

4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是 二、解答题：

（ ）米。

6、 在△ABC中，∠C=90°,AB=10。 (1)若∠A=30°,则BC= ，AC= 。(2)若∠A=45°,

则BC= ，AC= 。

8、在△ABC中，∠C=90°，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD= m 11、三角形的三边a b c，满足(ab)2c22ab，则此三角形是 三角形。

12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。小明向

东走80米后又向 方向走的。

13、ABC中，AB=13cm ,BC=10cm ，BC边上的中线AD=12cm则 AC的长为 cm

14、两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直行，

5秒钟后他们相距 米.

15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴两直线平行，内错角相等。 （ ） ⑵如果两个实数相等，那么它们的平方相等。

（ ） ⑶若a2b2 ，则a=b （ ）

⑷全等三角形的对应角相等。 （ ） ⑸角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 （ ） 16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ）

(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1: 3: 2 (C) a=2 b=

65 c=85 (D) a=13 b=14 c=15 17、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是( ). A.8 B.10 C. 28 D.10或28

18、下列各命题的逆命题不成立的是( )

A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等

19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少? (其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)

21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？

23、一根70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中,能放进去吗?(提

示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)

22、请在数轴上标出表示5的点

勾股定理复习题（6）

1、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少? AFD BEC2、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。 (1)求DC的长。(2)求AB的长。 C

A

D

B

3、如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？ B 8km C

6km

4、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走A

40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离. 出发点 10

20

40 40

70

终止点5、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•

AD

EBFC

6.如图，从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？

7、如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m，如果梯子的顶

端沿墙下滑0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？（8分）

A C OBD

8、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形

ABCD的面积. （8分）

A D

B

C

9.如图，在△ABC中，AB=AC（12分）

（1）P为BC上的中点，求证：AB2

－AP2

=PB·PC；

（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明； （3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系.