勾股定理知识点+对应类型

判定直角三角形 勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理和 平方根 平方根 定义、性质 开平方运算 立方根 定义、性质 开立方运算 实数 近似数、 有效数字

第一节 勾股定理

一、勾股定理：

1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2。 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

B弦cAb股a勾C

勾：直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个

三角形是直角三角形。

2。 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数,那么

ka，kb，kc同样也是勾股数组。)

*附：常见勾股数:3,4,5； 6，8，10; 9,12,15； 5，12,13

3。 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角

三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五)

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

(1)确定最大边（不妨设为c）；

2

2

2

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形; 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）; 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的

一半。

(3）在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于

30°。

5。 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边. （2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4)利用勾股定理，作出长为n的线段 二、平方根：（11-—19的平方）

1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。（也称为二次方

根）,也就是说如果x=a，那么x就叫做a的平方根。

2、平方根的性质：

①一个正数有两个平方根,它们互为相反数;

一个正数a的正的平方根,记作“a”，又叫做算术平方根，它负的平方根,记作“—a”，这两个平方根合起来记作“±a”。( a叫被开方数， “亦可写成“”)

②0只有一个平方根，就是0本身.算术平方根是0。 ③负数没有平方根。

3、 开平方:求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算. 4、（1） 平方根是它本身的数是零.

（2）算术平方根是它本身的数是0和1。

22

”是二次根号，这里“\"，

（3)

a2aa0,a2aa0,a2aa0.

（4）一个数的两个平方根之和为0

三、立方根：（1-—9的立方）

1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根。（也称为二次

方根)，也就是说如果x=a，那么x就叫做a的立方根。记作“3a”。

2、立方根的性质:

①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0。 ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a=3a ③(3a)33a3a

3

3、开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方,开立方与立方运算为互逆运算，开立方的

运算结果是立方根。

4、立方根是它本身的数是1，0，—1。 5、平方根和立方根的区别:

3(1）被开方数的取值范围不同：在a中,a0，在a中，a可以为任意数值.

(2)正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。

6、立方根和平方根：

不同点:

（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根;即被开方数的取值范围

3不同：±a中的被开方数a是非负数；a中的被开方数可以是任何数。

(2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；

（3)立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0． 共同点：0的立方根和平方根都是0． 四、实数：

1、定义：有理数和无理数统称为实数

无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）. 有理数：有限小数或无限循环小数

注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式 2、实数的分类:

正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数

整数 有理数 实数 分数 无理数 （无限不循环小数） 有限小数或无限循环小数 实数的性质：①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。

②实数同有理数一样,可用数轴上的点表示,且实数和数轴上的点一一对应。 ③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。 ④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。

3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量,甚至在更多情况下不可能得到

精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。 取近似值的方法——四舍五入法

4、有效数字:对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止,所有的数

都称为这个近似数的有效数字 5、科学记数法:

n把一个数记为a10(其中1a10,n是整数）的形式，就叫做科学记数法。 6、实数和数轴：

每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来,数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。

勾股定理：

（一）结合三角形：

1.已知ABC的三边a、b、c满足(ab)(bc)0，则ABC为 三角形 2.在ABC中，若a=（b+c)（b-c）,则ABC是 三角形，且 90 3.在ABC中,AB=13,AC=15，高AD=12，则BC的长为

1.已知x12xy25 与z10z25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。

2.已知:在ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n1,b=2n，c=n1（n〉1) 试说明：C=90。

222222

3。若ABC的三边a、b、c满足条件a2bc33810a24b26c，试判断

22ABC的形状。

4.已知a62b8(c10)20,则以a、b、c为边的三角形是

（二）、实际应用：

1. 梯子滑动问题：

(1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0。7m（如图）,如果梯子的顶端沿墙下滑0。4m，那么梯子底端将向左滑动 米

（2）如图，一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米,（填“大于”,“等于”，或“小于”）

（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时,梯足B沿CB方向滑动y米,则x与y的大小关系是（ ）

A。 xy B. xy C. xy D. 不能确定

(4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m,当他把绳子的下端拉开5米后,发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

A8B

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：

直角三角形两直角边长为a,b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ） A。 abb B。 ab2h C.

22226C

111111 D。 222 abhabh变:

如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D,设AB=c，AC=b,BC=a，CD=h。 求证：（1)

111 222abh（2）abch

（3）以ab，h，ch为三边的三角形是直角三角形

CADB

试一试：（1）只需证明h(2211)1，从左边推到到右边 a2b22 （2）abch

2（3）ahhch，注意面积关系abch的应用

223. 爬行距离最短问题：

1。如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计)

（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动,如图a,在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连结AE、EC1，昆虫乙如果沿途径AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

（2）如图b，假设昆虫甲从点C1以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行,那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？

试一试：对于(2）,当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行,利用勾股定理建立时间方程,通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间

D1A1B1C1A1D1B1C1DCA图aBADCB图b

2.如图，一块砖宽AN=5㎝,长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm

3.如图,是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B

是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米? 4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ） A。

3a B。 12a C。 3a D.5a

QAMB

PN

4。折叠问题: 1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6,BC=8，将△ABC折叠,使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ） A。

252275 B. C。 D。 4343CDAEB

1。 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树,这棵红叶树离地面的高度是 米。

2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米.

3。 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。

4. 如图,欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米,∠B＝60°，则江面的宽度为 。

（三)求边长：

1. （1）在RtABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C=90 ①已知：a=6，c=10,求b; ②已知:a=40，b=9，求c;

2。如图所示,在四边形ABCD中,BAD=90,DBC=90,AD=3，AB=4,BC=12，求CD。

（五）方向问题:

1。 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M,测得∠MAN＝30°,当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米,你能算出AM的长吗？

2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着,它又掉头向正东方向航行15千米． ⑴ 此时轮船离开出发点多少km？

⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0。4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？

M A B N （六）利用三角形面积相等：

1.如图,小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC,则边AC上的高为（ )

A.

33342 B. 5 D。 5 5 C. 25510ACB

（七）旋转问题：

1。如图，点P是正△ABC内的点，且PA=6,PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后,得到△P'AB,则点P与点P’之间的距离为 ，∠APB=

AP'PB

2。如图，ABC为等腰直角三角形,BAC=90，将ABH绕点A逆时针旋转到ACH处，若AH=3㎝，试求出H、H两点之间的距离。

C

3。如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBE的位置，若BP=a，求:以PE为边长的正方形的面积

已知直角三角形ABC中，ACB=90，CA=CB,圆心角为45，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时,如图，试说明MNAMBN的理由。

C222AEMNFB

如图所示，已知在ABC中,AB=AC，BAC=90，D是BC上任一点，求证:BDCD2AD。

222

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线）相交于点D、E。 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图①，易证：ODOE2OC;当三角板

绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图②、③这两种情况下，上述结论还是否成立?若成立，请给与证明;若不成立，线段OE、OC、OD之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想，不需证明。

22试一试:对于第1问,OD=CE，问题的实质是2OEOC，OE2OC，对于第二问,2通过作辅助线，将问题转化为第1问可解决.

（八）折叠问题:

1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合,那么折叠后DE的长是多少？

2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。 （1）试说明：AF=FC；（2)如果AB=3，BC=4，求AF的长

3。如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABC折叠,使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

ADEBFC

4.如图所示,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

5。如图,∠B=90°,AB=BC=4，AD=2，CD=6 （1）△ACD是什么三角形？为什么？ （2）把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E,若重叠部分面积为4，求D’E的长.

DAC'EBC

一、平方根：

(一)文字类题目:

一个数的平方等于它本身，这个数是 ; 一个数的平方根等于它本身，这个数是 ； 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 一个数的立方根等于它本身，这个数是 ； 一个正数的两个平方根的和是________． 一个正数的两个平方根的商是________．

（二）. 定义：

1。（1） 81 的平方根是9的数学表达式是（ )

A.

819 B。 819 C. 819 D. 819

81的平方根是（ ）

A. 9 B.9 C。9 D.3

9表示 ，9= 。

16的数是 ,将16开平方得 ，因此平方与 互为逆运算。 4的平方根是 ；

1的平方根是 。 的平方根是0。81。 49（2)数有平方根吗？若有，求出它们的平方根;若没有,请说明理由。

22（1)-； （2）（-4)； （3）—5 （4）81

（3)若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是 若3x-6总有平方根，则x的取值范围是 。

若式子x－

1的平方根只有一个，则x的值是 。 3（4）已知x11xy4，那么x-y= 已知a为实数，那么a2等于( )

A。 a B. –a C. -1 D. 0 （5)若(x3)22y40，则x+y=

2已知a9b40,那么a+b= 已知x、y满足：x2y3(2x3y5)20，那么x—8y的立方根为 （6）代数式3ab的最大值是 ，这时a、b之间的关系是 (7）若m10，则m= ；若3m4，则m的平方根是 （8）若x3，则x= ，

2x223,则x=

630，6，8，2，5没有平方根的有 个 （9)下列个数中:100，22。 已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足a1b4b40,求c的取值范围。

已知a、b为实数，且2a6b20，解关于x的方程：（a+2）x+b=a-1。

已知4a2—49=0，求3910a的值。

3。 列方程求值:

（1）x=196； （2）5x—10=0； (3）36（x—3)—25=0

4. (1）已知一个正数的平方根是2x-1和3—x,求这个数 (2）已知xy3与2222xy1是一个数的两个平方根，求xy的平方根。

2

5。 估算： (1）比较大小:

①5与

（2）a、b为两个连续的整数，且a5132 ②与

2547b，则ab=

满足—2A。1m2 B. 2m3 C。 3m4 D。 4m5

6. 计算： （1）

3223

（2）、下列计算正确的是（ ） A、19511 B、42 C、0.250.05 D、255 1221 ；4= ； 27. 平方根的性质:

0.01 ；

52162= ;162 ;

52= 。

二、立方根

1. 定义：

(1）如果a是x的立方根,那么下列说法正确的是（ ）

A。 –a也是x的立方根 B。 –a是—x的立方根 C. a是—x的立方根 D. –a和a都是-x的立方根

；③30.10.1；④30.80.2，其中错误(2)下列各式：①393；②30.0010.1的有 个

2。 根据定义求值： （1）求值：

32108 （2）3 27125

（2）方程：

x331

x3125 216

3。 估算：

(1）估计68的立方根大小在（ )

A。 2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 （2）通过估算3420的整数部分为（ ）

A。 6 B。 7 C. 8 D。 9 （3）3100估算到个位= 4。 平方根与立方根相结合：

(1）若2x+1的平方根是5，那么5x+4的立方根是 （2）已知x8，求3（3）已知m满足

1x的值。 82m123,k、n满足k3917n0,求km23n的值 3三、实数：

1。 实数的定义:

1。判断下列说法是否正确，为什么？ (1)无限小数是无理数；

（2）有理数都是是有限小数； (3）无理数都是无限小数； （4）带根号的数都是无理数

（5）任何实数的偶次幂都是正实数； (6）在实数范围内，若xy，则x=y。

（7）0是最小的实数； （8)0是绝对值最小的实数; （9）数轴上的点与有理数是一一对应的 （10）数轴上的点与实数是一一对应的 2.下列说法正确的是 （ )

A。不存在最小的实数 B.有理数是有限小数

C。无限小数都是无理数 D。带根号的数都是无理数 3。下列说法正确的是( ）

A。无限小数是无理数 B。不循环小数是无理数 C.无理数的相反数还是无理数 D。两个无理数的和还是无理数 4. 把下列各数填入相应的集合内：

2521，314.，3，1732.，0，0.3，18，，，7，163631

13、38、0、27、、0.5、3。14159、-0。020020002 0.12121121112…… 23（1）有理数集合｛ } （2）无理数集合｛ } （3）正实数集合｛ ｝ （4）负实数集合｛ } 2。 有效数字、科学记数法、近似数： 注意：2000有4个有效数字，精确到个位 210有1个有效数字，精确到千位

1. 有几个有效数字,保留几个有效数字： 用四舍五入法，按要求取近似值:。

①地球上七大洲的面积约为149480000(保留2个有效数字） ②25.8万（保留2个有效数字)

③小明身高1.595m（保留3个有效数字) ④0。0608，0.060800 2.精确到哪一位:

由四舍五入法得到的近似数,分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ ①小明身高1.59m； ②地球的半径约为6.4×103;

③组成云的小水滴很小，最大的直径约为0.2mm； ④某种电子显微镜的分辨率为1.4×10—8； ⑤70万 ⑥9。03万 ⑦1。8亿 ⑧6.4010

⑨0。090080

3.精确到0。1，0.01等：

①精确到个位（或精确到1)是

π精确到十分位（或精确到0。1）是 π精确到百分位（或精确到0。01）是 π精确到千分位（或精确到0.001）是

小亮用天平称得罐头的质量为2。026kg，按下列要求取近似数，并指出每个近似数的有效

数： ①精确到0.01kg； ②精确到0.1kg; ③精确到1kg。 ②某人一天饮水10ml(精确到1000ml）

③的眼睛可以看见的红光的波长为0。000077cm（精确到0。00001） 4。科学记数法：

(1）用科学记数法表示91800000，正确的是( ） A、918×10 B、91.8×105635

C、9.18×105

D、9。18×107

(2）一个数用科学记数法记为6×10，这个数原来怎么记？它是几位整数?

一个数用科学记数法记为6。09×10,这个数原来怎么记？它是几位整数?

一个数用科学记数法记为6。00009×10，这个数原来怎么记?它有几位整数？ （3）25。8万(保留2个有效数字） 2347600000（保留3个有效数字)

5。今年全国的消费额为29458。4亿元,小明认为这个数字精确到0。1亿元，而小亮认为这个数字精确到1000万元，你认为谁的说法对？为什么?

小亮，数位只存在个、十、百、千、万、十万等,不存在0。1万之类的

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