高数第一章习题

高等数学第一章习题

一、填空

1.设yf(x)的定义域是(0,1],(x)1lnx,则复合函数yf[(x)]的定义域为[1,e) 2. 设yf(x)的定义域是[1,2],则f(1)的定义域 [-1/2,0] . x113.设f(x)10x11x2 , 则f(2x)的定义域 [0,1] . 5.设f(x)的定义域为(0,1),则f(tanx)的定义域x(k,k24),kZ

2 .

6.已知f(x)sinx,f[(x)]1x,则(x)的定义域为 2x7. 设f(x)的定义域是0,1,则f(e)的定义域(,0]

x8.设f(x)的定义域是0,1,则f(cosx) 的定义域2k9. lim2,2k 2sinx＝ 0

xx3617. 5116x23x610.limx5x21711.lim(1)＝ e

x2xx212.当x时,

1是比x3x1 高阶 的无穷小 x32

13.当x0时,31ax21与cosx1为等价无穷小,则a14.若数列{xn}收敛,则数列{xn}是否有界有界. 15.若limf(x)A〔A为有限数〕,而limg(x)不存在,

xx0xx0则lim[f(x)g(x)]不存在.

xx016.设函数f(x)在点xx0处连续,则f(x)在点xx0处是否连续.〔不一定〕 17.函数y2x1的间断点是－1、－2 2x3x218.函数f(x)在x0处连续是f(x)在该点处有定义的充分条件；函数f(x)在x0处有定义是f(x)在该点处有极限的无关条件.〔填：充要,必要,充分,既不充分也不必要,无关〕.

19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件,是函数连续的 必要 条件.〔填：充分、必要、充要、既不充分也不必要〕

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21.函数y1在区间1,2内的最小值是不存在 xsin2xln(x1),x022.已知f(x)在x＝0处连续,则k＝2. 3x22xk,x023.设f(x)处处连续,且f(2)3,则 limsin3xsin2xf()＝ 9

x0xx24.xa是yxaxa2的第1类间断点,且为跳跃间断点.

25.x0是ycos1的第2类间断点,且为振荡间断点. x11(x1)2e,x12(x1) x1,当a 0 ,b －1 时,函数f(x)在点x=126．设函数f(x)a, bx1, x1处连续.

27.在\"充分〞、\"必要〞和\"充分必要〞三者中选择一个正确的填入下列空格内：

〔1〕数列xn有界是数列xn收敛的 必要 条件.数列xn收敛是数列xn有界的 充分 条件.

〔2〕f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的 必要 条件.limf(x)存在是f(x)在x0xx0xx0的某一去心邻域内有界的 充分 条件.

〔3〕f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)存在的 必要 条件.limf(x)存在是

xx0xx0f(x)在x0的某一去心邻域内无界的 充分 条件.

二、选择

1.如果limf(x)与limf(x)存在,则〔C 〕.

xx0xx0〔A〕limf(x)存在且limf(x)f(x0)

xx0xx0〔B〕limf(x)存在但不一定有limf(x)f(x0)

xx0xx0〔C〕limf(x)不一定存在

xx0〔D〕limf(x)一定不存在

xx02.如果limfx,limgx ,则必有〔 D 〕.

xx0xx0A、limfxgx B、limfxgx0

xx0xx02 / 9

.

C、limxx010 D、limkfx〔k为非零常数〕

xx0fxgx3.当x时,arctgx的极限〔 D 〕. A、2 B、2 C、 D、不存在,但有界

4.limx1x1x1〔 D 〕.

A、1 B、1 C、=0 D、不存在

5.当x0时,下列变量中是无穷小量的有〔 C 〕. A、sin1sinx B、 C、2x1 D、lnx xx16. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有〔 A 〕.

x2

x D、exx0 A、lgxx0 B、lgxx1 C、3

x1

7.无穷小量是〔 C〕.

〔A〕比0稍大一点的一个数 〔B〕一个很小很小的数 〔C〕以0为极限的一个变量〔D〕常数0 8. 如果f(x),g(x)都在x0点处间断,那么〔D 〕

〔A〕f(x)g(x)在x0点处间断 〔B〕f(x)g(x)在x0点处间断 〔C〕f(x)g(x)在x0点处连续 〔D〕f(x)g(x)在x0点处可能连续. 9.已知limx0f(x)0,且f(0)1,那么〔 A 〕 x 〔A〕f(x)在x0处不连续.〔B〕f(x)在x0处连续. 〔C〕limf(x)不存在. 〔D〕limf(x)1

x0x010.设f(x)2xx ,则limf(x)为〔D〕

x04x3x11 231 不存在

4 〔A〕

x,11.设 f(x)|x|0,x0x0 则〔 C 〕

〔A〕 f(x)在x0的极限存在且连续；〔B〕f(x)在x0的极限存在但不连续；

f(x)在x0的左、右极限存在但不相等；〔D〕f(x)在x0的左、右极限不存在. 12. 设f(x)232,则当x0 时,有〔 B 〕

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xx.

〔A〕f(x)与x是等价无穷小； 〔B〕f(x)与x是同阶但非等价无穷小； 〔C〕f(x)是比x高阶的无穷小； 〔D〕f(x)是比x低阶的无穷小.

13.当x0时,下列四个无穷小量中 ,哪一个是比另外三个更高阶的无穷小〔 D 〕 〔A〕 x ； 〔B〕 1cosx； 〔C〕1x21 ；〔D〕 xtanx.

214. 当x0时,arctan3x与ax 是等价无穷小,则：a＝〔 C 〕 cosx〔A〕 1 ； 〔B〕 2； 〔C〕 3； 〔D〕1/2 15下列运算正确的是〔 C 〕

111limsinxlimcos0limcos0

x0x0x0xx0xxtanxsinxxx〔B〕limlimlim00

x0x0x3x0x3sinxsinxlim(100)=limlim100 =0 + 100=100

xxxxxtan3x3x3 limlim

xsin5xx5x5〔A〕limsinxcos三、基本计算题

〔一．求极限〕 1.limxx2xx2x

1.解：－1 2. limx3x2xx2x

2.解：1 3.lim92x5x212 5x8

3. 解：4.lim1cosxx(1cosx)1 22x0

4.解：

5.limnsin(n2n)

n5. 解： 6.lim(1x1)sinxx01cosx

6.解：1

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2sinxsin2x

x03x317.解：

37.lim8.limtanxsinx

x0ln(1x3)8.解：

1 2exesinx9.lim x0xsinx9.解：1

10.设x0时,(1ax)1与cosx1 是等价无穷小,求a的值 10.解：a11limx02133 2sinxtanx231x11sinx1

11解：－3

112.lim(secx)x

x02212.解：e

n13.lim nn113.解e

1n2xx1) 14.lim(x1x114解：e 15.lim1x2xabcx03xxxa0,b0,c0

15.解：3abc 1x16.lim(2x) xx16.解 ：e1ln21

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17.limt01te 121tetarctant41t17. 解：1 18.lim(2n28222)

n18.解：2

19.设 f(x)a（a0,a1),求 lim19. 解lnx1ln[f(1)f(2)f(n)]

nn2a

1n220.lim (123(n1)2．nn220.解：1 21 n21.lim1n21.解： 1

12n)

nn21n22n2n122.解：

2123.limx[] x0x22.lim(23.解：1

24.lim(235)xxxx1x

24.解：5

12exsinx25.lim 4x0|x|1ex25.解：1

〔二．连续与间断〕 26.f(x)arcsin(tanx)　(x0)补充定义f(0)之值，使f(x)在x0处连续． 2x26.解limf(x)x01x61x,

的间断点,并判定其类型.

27.指出函数y212127.解x0是函数的第一类间断点〔跳跃间断点〕. 四、综合计算题

〔一．连续与间断〕

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1x,讨论f(x)在其定义域内的连续性,若有间断点,指出其类型.

n1x2nx101x11. 解f(x)x=－1 是第一类跳跃间断点.

1x1x1x101．设f(x)limcosx,x0x22．设f(x),试问：a为何值时,使f(x)在x＝0处连续？

aax,x0x2. 解：a＝1.

x2axb1,求a与b的值, 3．已知limx11x3.解：b＝2,a＝－3.

xx24．讨论函数y2的连续性,并指明间断点的种类.

(x4)sinx4.解 当x＝－2或0或2时函数无定义故,－2、0、2为间断点

x＝－2为函数的第二类间断点. x＝0为函数的可去间断点. x＝2为函数的跳跃间断点.

x21,x1x1,应怎样选取数a,b,才能使f(x)在x＝－1处连续？ 5．设f(x)b,aarccosx,1x15.解 a,b＝0.

x216．讨论函数y2的连续性,并指明间断点的种类

x3x26.解当x＝1或2时函数无定义,故x＝1和2为函数的间断点, x＝1为函数的可去间断点. x＝2为函数的第二类间断点. 7．求极限 limsinttxsinxxsinxxsintsinx, 记此极限为f(x),求函数f(x)的间断点并指出其类型.

7. 解：f(x)e

时,函数无定义,所以,是函数f(x)的间断点,

当 xk,k0,1,2x0是可去间断点；

xk,k1,2,是第二类间断点.

1x1,x0 ,求函数f(x)的间断点并指出其类型. 8．设 f(x)eln(1x),1x08. 解x1是第二类间断点；x0是跳跃间断点.

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9．确定a,b的值，使f(x)xb有无穷间断点x0,，有可去间断点x1

(xa)(x1)9.解a0,b1

〔二．已知某些极限,求另外的极限或常数〕

x2axb2, 求a,b的值 10．若lim2x2xx210.解c4,a2,b8

11．已知 lim11. 解：e

2f(x)f(x)4,求lim1.

x0x01cosxx21x12． 设 lim(3xaxbx1)2 ,试确定a与b的值.

x12. 解：a9,b12

p(x)x3p(x)2,lim1,求p(x). 13． 设p(x)是多项式,且lim2xx0xx3213.解：p(x)x2xx

〔三．零点定理、介值定理〕

14．设f(x)在[0,1]上连续.且0f(x)1,则必存在(0,1)使f() 14解 设F(x)f(x)x

15.设函数f(x)在[a,b]上连续,c,d(a,b),q0,g0.证明：在[a,b]上至少存在一点,使得

qf(c)gf(d)(qg)f().

15.解：利用最值、介值定理

16．设f(x)在[1,3]上连续,且f(1)f(2)f(3)3,则[1,3],使得f()1. 16.解：利用最值、介值定理 六、提高题 〔一．求极限〕

1．当 |x|1时,求lim(1x)(1x)(1x)(1x)

n242n1. 解 原式＝lim2．设xn1(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)1lim

nn1x1x1x242n2n2n111 求limxn n1212312nn2.解limxnlimn211112lim()2lim(1)2 ＝nn12nk(k1)23n(n1)n1k1tan(sinx)sin(tanx)

x0tanxsinxtan(sinx)sin(tanx)tan(sinx)sin(sinx)sin(sinx)sin(tanx)lim3.解lim

x0x0tanxsinxtanxsinx3.lim〔二．零点定理、介值定理〕

4．设f(x)在[0,n]上连续,f(0)f(n),证明：存在

,1[0,n]使

f()f(1).

4.解 设F(x)f(x1)f(x),x[0,n1]且连续,

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则：F(0)f(1)f(0),F(1)f(2)f(1),F(2)f(3)f(2),,F(n1)f(n)f(n1). 将以上各式相加得

F(i)f(n)f(0)0 ,

i0n1n1另一方面,因为f(x)连续,所以

1n1有,mF(i)Mi0,1,,n1nmF(i)nM,mF(i)M由介值定理知

ni0i01n1[0,n1][0,n] 使F()F(i)0 即f()f(1)

ni02n1a1x2na2nxa2n10至少有一个实根a00. 5．证明：奇次方程a0x2n1a1x2na2nxa2n1 5. 证 不妨设 a00,令f(x)a0x则

a1ana2n122n1) ,limf(x)，limf(x)2nxxxxxX1f(X1)0,X2f(X2)0又f(x)在(,)连续,那么,在[X1,X2]上也连续, 由零点定理知,至少存在一个[X1,X2](,)使得 f()0,即方程a0x2n1a1x2na2nxa2n10至少有一个实根. f(x)x2n1(a06． 设f(x)在(a,b)内为非负连续函数,ax1x2xnb,证明：在(a,b)内存在点,使得

f()nf(x1)f(x2)f(xn)

6.证设F(x)lnf(x),F(x)在[x1,xn]上连续且有最小值m和最大值M,即有

F(x1)F(x2)F(xn)M由介值定

nF(x1)F(x2)F(xn)理知,存在[x1,x2](a,b),使得F(),即

nln[f()]lnnf(x1)f(x2)f(xn),从而f()nf(x1)f(x2)f(xn)成立. mF(x1)M,mF(x2)M,,mF(xn)Mm9 / 9