概率论与数理统计课后习题答案

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：

（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. 现奇数点’；

（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.

（5）

S{0,1,2,},A{0,1,2,3,4},B{3,4,}。

2．设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用

A‘出

AA,B,C表示下列事件：

（1）仅A发生；

（2）A,B,C中至少有两个发生； （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB‘两次点数之和为10’，B‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；

（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A‘球的最小号码为1’；

（4）将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A‘甲盒中至少有一球’；

（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，

ACBC或

ABCABCABCABC； （3）ABC或

ABCABCABCABCABC；

（4）ABC （5）ABABCABCA‘通过汽车不足5台’，B‘通过的汽车不

少于3台’。

解 （1）S{e1,e2,e3,e4,e5,e6}其中ei‘出现i点’i1,2,ABCACABCABC； ABC；

BC或

,6，

A{e1,e3,e5}。

（2）

ABCABC 3．一个工人生产了三件产品，以Ai(i1,2,3)表示第i件产品是正品，试用Ai表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。

解 （1）A1A2A3；（2）A1S{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；

A{(4,6),(5,5),(6,4)}； B{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}。 （3）

A2A3；（3）

A1A2A3A1A2A1A2A3A1A3A1A2A3；（4）

A2A3。

2, 4),4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面S{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,(1,2,5) （4）

四个数字全不相同的概率。

解 设A‘任取一电话号码后四个数字全不 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求

（1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。

S{(ab,,),(,ab,),(,,ab),(a,b,),(a,,相同’，则b),(b,a, ),

(b,,a),(,a,b,),(,b,a)}，其中‘’表示空盒；

)} 解 （1）设A‘5只全是好的’，则 A{(ab,,),(a,b,),(a,,b),(b,a,),(b,,a5C37。 P(A)50.662； C40 （2）设B‘5只中有两只坏的’，则

P(B)C2C3337C50.0354.

40 6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求

（1）3个球的最小号码为5的概率； （2）3个球的最大号码为5的概率. 解 （1）设A‘最小号码为5’，则

P(A)C2 51C312；

10 （2）设B‘最大号码为5’，则

P(B)C241C320.

10 7．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；

（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

解 （1）设A‘他们的生日都不相同’，则

P(A)Pr365365r； （2）设B‘至少有两个人的生日在同一个月’，则

21222P(B)C3214C12P11C4C12C4P12C124112496；或 4

P(B)1P(B)1P124112496. 8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.

解 设A‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则 26

P(A)C7(22)760.01107. 9．将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排

成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？

解1 设A‘恰好排成SCIENCE’ 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：

字母C在7个位置中占两个位置，共有C27种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C25种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为

C227C53!1260，而A中的基本事件只有一个，

故

P(A)1C221；

7C53!1260 解2 七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素有n2个…，第k种元素有nk个

(n1n2nkn)，将这n个元素排成一排

称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为

n!n，

1!n2!nk! 对于本题有

P(A)17!47!11260. 2!2! 10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：A1‘三个数字中不含0和5’，A2‘三个数字中不含0或5’，A3‘三个数字中含0但不含5’.

解 P(AC3871)C315.

1033 P(ACC39C98142)C33C3，

10C101015或

P(AC18142)1P(A2)1C315，

10 P(A)C2 873C3.

1030 11．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A‘每堆各成一双’的概率.

解 n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不 P(AB)0.4， 同的分法共

(2n)!故

2!2!2!(2n)!(2!)n‘每堆各成一双’

P(AB)0.6；

共有n!种情况，故

0.2P(B)P(AB)P(B)0.4. 12．设事件A与B互不相容，

所以

P(A)0.4,P(B)0.3，求P(AB)与 17．设ABC，试证明

P(AB)

P(A)P(B)P(C)1

解

[证] 因为ABC，所以

P(AB)1P(AB)1P(A)P(B) 0.故3

因为A,B不相容，所以AB，于是 P(A)P(B)P(C)1. 13．若P(AB)P(AB)且P(A)P，求

证毕.

P(B).

18．对任意三事件A,B,C，试证

解

P(AB)P(AC)P(BC)P(A).

P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P( A B )[证]

P(AB)P(AC)P(BC)P(AB)P(AC)P(ABC)由P(AB)P(AB)得

14．设事件A,B及AB的概率分别为

p,q,r

，求P(AB)及P(AB)

P(ABAC)P{A(BC)}P(A). 解

证毕.

P(AB)P(A)P(B)P(AB)pqr

19．设A,B,C是三个事件，且

1qpqr1pr.

P(A)P(B)P(C)14,P(AB)P(BC)0，

15．设P(A)P(B)0.7，且A,B仅发生P(AC)1一个的概率为0.5，求A,B都发生的概率。 8，求A,B,C至少有一个发生的概率。

解 解

1 由题意有

0.72P(AB)， P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(A)C所以

P(AB)0.1.

因为 0P(ABC)P(AB)，所以0 解P(ABC)0，于是

2 A,B仅发生一个可表示为

ABAB，故

20．随机地向半圆0y2axx2（a为

所以

正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与 P(AB)0.1. 区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的 16．设

夹角小于/4的概率.

P(A)0.7,P(AB)0.3,P(BA)0.2，

解：半圆域如图

求P(AB)与P(AB). y 设A‘原点与该

解

点连线与x x轴夹角小于/4’

0.3P(AB)P(A)P(AB)0.7PA(B 由几何概率的定义

， 21．把长为a的棒任意折成三段，求它们可以所以

构成三角形的概率0a . x

(PB) 解1 设A‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为

x,y,axy，则

0xa,0ya,0xya，不等式构

成平面域S. a A发生

0S xaaa2,0y2,2xya

a /2 A 不等式确定S的子

域A，所以 0 a P(A)A/2 的面积a 1S的面积4 解2 设三段长分别为x,y,z，则

0xa,0ya,0za且

xyza，不等式确定了三维空间

上的有界平面域Sz . A发生xyz A 不等式确定S的子域A，所以 y

P(A)x A的面积S的面积14. 22．随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.

解 0x1,0y，1不等式确定平面域S. y 1 S

A‘xy1,A xy0.09’则A发生的

充要条件为0x0y0.1 1,1xy0.9 0.09不y 1 等式确定了

S的子域A，故

23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离a(a0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l(la)的针，求针与任一平行线相交的概率.

解 设A‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，

设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。

为针与平行

a线的夹角，则 a

0xa2,0，不等式确定了平面上

x 的一个区域S. A发生

xLS 2sin，不等式确定S的子域A

A 0 故

P(A)1La02sind2La 2习 题 二

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

解 设Ai‘任取一件是i等品’

i1,2,，3

所求概率为

P(AP(A1A3)1|A3)P(A，

3)因为 A3A1A2 所以

P(A3)P(A1)P(2A)0.60.3 0.故

P(A1|A3)6293. 9 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

解 设A‘所取两件中有一件是不合格品’ Bi‘所取两件中恰有i件不合格’

P(BA)P(B)P(AB)0.60.40.2.

6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。 解 设A‘从乙袋中取出的是白球’，Bi‘从甲袋中取出的两球恰有i个白球’i0,1,2. 由全概公式

112C21C32613C24C3222. C510C52C51025i1,2.

则

112C4C6C4P(A)P(B1)P(B2)22，

C10C10所求概率为

2P(B2)C41. P(B2|A)112P(A)C4C6C45 7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。

解 设A‘第二次取出的均为新球’， Bi‘第一次取出的3个球恰有i个新球’i0,1,2,3. 由全概公式

3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.

解 设A‘发现是同一颜色’，B‘全是白色’，C‘全是黑色’，则

ABC，

所求概率为

4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率. 解 设A‘至少有3张黑桃’，Bi‘5张中恰有i张黑桃’，i3,4,5， 则

AB3B4B5， 所求概率为

5280.0. 5915 8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。

解 设A‘收到‘·’’，B‘发出‘·’’， 由贝叶斯公式

P(B5|A)P(AB5)P(B5)P(A)P(B3B4B5)53P(B)P(A|B)385P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)533148583.

9．在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率. 解 事件如第6题所设，所求概率为 10．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一

5C139. 32415C13C39C13C39C131686 5．设

P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8求

P(AB)与P(BA).

解

P(A

B)P(A)P(B)P(AB)1.1P(A)P个次品被误认为是合格品的概率是(B|A)1.10.0.05，求在检查

后认为是合格品的产品确是合格品的概率。 解 设A‘任取一产品，经检查是合格品’，

则

B‘任取一产品确是合格品’，

（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率

.

解 设A‘顾客买下该箱’，

0.960.980.040.050.9428，

所求概率为

B‘箱中恰有i件残次品’，

i0,1,2，

P(B)P(A|B)0.960.980.998P(A)0.9428 （1）

P(B|A)P(A)P(B0)P(A|B0)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2.

11．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.

解 设Ai‘第i次取出的零件是一等品’，

i1,2.

Bi‘取到第i箱’，i1,2. 则 （1）

P(A1)P(B1)P(A1|B1)P(B2)P(A1|B2)12(1535)25. （2）

P(A2|AP(A1A2)P(A1A2B1A1A2B2)1)P(A1)P(A1)

1C2C21018222C50C302949512940.4856. 5 12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求：

（1）顾客买下该箱的概率；

0.80.1C4419C18C40.140.94；

20C20 （2）

P(B0)0|A)P(ABP(A)0.80.940.85.

13．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份

（1）求先取到的一份为女生表的概率p；

（2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的

一份是女生表的概率q.

解 设A‘先取到的是女生表’，

B‘后取到的是男生表’，

Ci‘取到第i个地区的表’，

i1,2,3.

（1）

pP(C1)P(A|C1)P(C2)P(A|C2)P(C3)P(A|C3)

133107155252990； （2）因为先取出的是女生表的概率为2990，所以先取出的是男生表的概率为

6190，按抓阄问题的道理，后取的是男生表的概率P(B)6190.

于是 （2）

qP(A|B)P(AB)P(ABC1ABC2ABC3P(B))P(B)

17．甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率.

解 设A‘飞机被击落’，Bi‘飞机中i弹’ i1,2,. 3则

设 Ci‘第i个人命中’，i1,2,3，则

1377852031091514252420.

616190 14．一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币

（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？

解 设A‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’， 则 所求概率为

B‘任取一枚硬币是正品’， ABABA，

0.40.50.30.60.50.70.60.50.30.36，

0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41，

m1mn2rrm1nmn2mnm. rmn2P(B3)P(C1C2C3)0.40.50.70.14，

所以

15．甲、乙两人地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.

解 设A‘目标被击中’，Bi‘第i个人击中’ i1,2 ,所求概率为

P(A)0.20.360.60.410.140.458.

18．某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互，求该生能借到此书的概率.

解1 设A‘该生能借到此书’，Bi‘从第i馆借到’i1,2,3. 则

P(B1)P(B2)P(B3)P(第i馆有此书且能借到)

0.6 0.75.

10.40.5 16．三人地破译一个密码，他们能译出的

111,,，求他们将此密码译出的概率. 534 解1 设A‘将密码译出’，Bi‘第i个

概率分别是

人译出’ i1,2,3. 则

11130.6. 5345111， 2241111 P(B1B2B3).

444 于是

解2 事件如上所设，则

331374233P(BB)P(BBB). P(A)1P(A)1P(B1B2B3)10.6231234165345.

解2

3要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相

37互的，教室里的二年级女生应为多少名？ 3P(A)1P(A)1P1(B2B3B)1 解 设还应有N名二年级女生，A‘任选4.

解3 事件如解1所设，则

AB1B1B2B1B2B3， 故

一名学生为男生’，B‘任选一名学生为一年级’，则

P(A)13133137. 444444 19．设P(A)0,P(B)0，证明A、B互

1010，P(B)，

N16N161044， P(AB)N1610N16P(AB)P(A)P(B)，41010 N16N16N16欲性别和年级相互，即

A、B相互不能同时成立.

证 若A、B互不相容，则AB，于是P(AB)0P(A)P(B)0所以A、B不相互

不相容与.

若A、B相互，则

所以N9，即教室里的二年级女生应为9名。

且设各继电p，

22．图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为

器闭合与否相互，求L至R是通路的概率.

解 设A‘LR是通路’，Bi‘第i个2 1 接点闭合’ i1,2,3,4,5，则 L 3 23．一射手对同一目标地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率。

4 5 P(AB)P(A)P(B)0，于是AB，即A、

B不是互不相容的.

注：从上面的证明可得到如下结论： 1）若A、B互不相容，则A、B又是相互的P(A)0或P(B)0. 2）因ABABA，所以

P(A)P(BA)P(BA)

如果 P(B)1，则P(BA)0，从而 可见概率是1的事件与任意事件，自然，必然事件与任意事件. 如果P(B)0，则

解 设该射手的命中率为

p，由题意

P(AB)0P(A)P(B)，即概率是零的事件与

任意事件，自然，不可能事件与任何事件。 20．证明若三事件A,B,C相互，则A及AB都与C。 证

80111(1p)4，(1p)4，1p 818132所以 p.

3 24．设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率。

BP{(A 即AB)C}P(ACBC)P(A)C(PB)C 解 P4(1)C4(0.01)(0.99)0.0388.

(pABC13B与C.

2P4(2)C4(0.01)2(0.99)20.000588.

即

AB与C相互.

25．考试时有四道选择题，每题附有4个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。 解 答对每道题的概率为

21．一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为

1，所求概率为 4 34P3131134(3)P4(4)C4444256. 26．设在伯努里试验中，成功的概率为p，求

第n次试验时得到第r次成功的概率.

解 设A‘第n次试验时得到第r次成功’，则

A‘前n1次试验，成功r1次，

第n次试验出现成功’， 所以

P(A)P（前n1次试验，成功r1次）P（第n次试验成功）

Cr1r1nrr1rnrn1p(1p)pCn1p(1p). 27．设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了n(n2)台仪器（假定各台仪器的生产过程相互）。求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率。 解 设A‘任取一台可以出厂’，B‘可直接出厂’，C‘需进一步调试’。

则

ABACA，

将n台仪器看作n重伯努里试验，成功的概率为p，于是

（1）(0.94)n， （2）C222n(0.06)(0.94)n，

（3）1(0.94)nn(0.06)(0.94)n1。

28．设昆虫产k个卵的概率为pkkk!e，

又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为

p，

若卵的孵化是相互的，问此昆虫的下一代有L条的概率是多少？

解 设A‘下一代有L条’，BK‘产k个卵’kL,L1,, 则

(p)L(1p)(pL!ee)LpL!e.

29．一台仪器中装有2000个同样的元件，每个元件损坏的概率为0.0005，如果任一元件损坏，则仪器停止工作，求仪器停止工作的概率. 解 考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000个元件为2000重贝努里试验。np1，利用泊松逼近定理，所求概率为

20002000pp2000(k)1k!e10.63216. k1k1 30．某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r根的概率。

解 设A‘发现一盒已经用完另一盒还有r根’。 B‘发现甲盒已经用完乙盒还有r根’。 则

B发生甲盒拿了n1次，乙盒拿了nr次，共进行了2n1r次试验，而且前2nr次试验，甲发生n次，第2n1r次试验甲发生。

故 从而

2nr P(A)2P(B)Cn12nr2.