2021浦东高三数学二模试卷

高三数学试卷 2021.04

考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；

2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相

应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．

1．已知集合A{1,0,1,2}，B{x|x1}，则A2B=_______.

2．已知1i是实系数一元二次方程x2axb0的根(i为虚数单位），则2ab_____. 3．已知关于x,y的二元一次方程组的增广矩阵为4．已知球的主视图的面积为

n215，则xy_______

120，则该球的体积为___________. 415．若x展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项的值为___________.

xxy06．已知实数x、y满足条件y0，则目标函数z2xy的最大值为___________.

xy127．方程(log3x)log93x2的解集为__________.

8．某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：

高一 高二 高三 6 6 3 6.5 7 4.5 7 8 6 7.5 9 7.5 8 10 9 11 10.5 12 12 13.5 则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为________. 9．已知A(1,0)、B(0,1)，若曲线C:y1x上存在两个不同的点

2P满足条件BPBAt，则t的取值范围为___________.

10．将函数f(x)2sin2x的图像向左平移

yP个单位，再向下平移1个6BO单位，得到函数的yg(x)图像．若yg(x)在0,b(b0)上至少含有2021个零点，则b的最小值为___________.

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Ax11．已知a、b、m、n均为正实数，且满足2021a2020bab0，mn8(20202021)，则ab(m11)(n)的取值范围为___________. mn12．已知a、b、c为正整数，方程ax2bxc0的两实根为x1,x2，且|x1|1,|x2|1，则abc的最小值为___________.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相

应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知实数a0，则“a1”是“

11”的 （ ） a （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 14．以圆xy4x30的圆心为焦点的抛物线标准方程为 （ ） （A）y24x （B）y24x （C）y28x （D）y28x

15．已知函数f(x)(xD)，若对任意的xD，都存在tD，使f(t)f(x)成立，称f(x)是“拟奇函数”．下列函数是“拟奇函数”的个数是 （ ） ①f(x)x2； ②f(x)lnx； ③f(x)x（A）1个

（B）2个

（C）3个

221； ④f(x)cosx x （D）4个

16．数列{an}的前n项和为Sn，a1m，且对任意的nN都有anan12n1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是 （ ） ①存在实数m，使得{an}为等差数列； ②存在实数m，使得{an}为等比数列；

③若存在kN*使得SkSk155，则实数m唯一. （A）①

（B）①② （C）①③ （D）①②③

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三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）.本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知圆锥SO底面圆的半径r1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为（1）求圆锥SO的侧面积；

（2）若E为母线SA的中点，求二面角ECDB的大小(结果用反三角函数值表示).

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数f(x)sinx，xR

BDOCAES. 3（1）设g(x)3f(2x)2f2(x)，求函数g(x)的值域；

2（2）在ABC中，角A,B,C所对应的边为a,b,c.若f(A)

3,b1，ABC的面积为3.求sinC的值. 2 3 / 11

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.

在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成

ax249x,x(0,50]本hx万元，已知hx．通过市场分析，该中药材可以每吨50万13635860,x(50,100]51x2x1元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．

（1）求a的值；

（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．

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20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

x2已知椭圆C：y21的左右焦点分别为F1,F2，过点A0,2的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q.

2（1）若直线l经过F2，求F1PQ的周长；

（2）若以线段PQ为直径的圆过点F2，求直线l的方程； （3）若AQAP，求实数的取值范围．

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21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知无穷实数列an，nN*，若存在M0，使得对任意nN*，anM恒成立，则称an为有界数列；

记biai1ai,(i1,2,3*若存在T0，使得对任意n2,nN，b1b2b3,n1)，

bn1T恒成立，则称an为有界变差数列. （1）已知无穷数列an的通项公式为an列，并说明理由；

（2）已知首项为c11，公比为实数q的等比数列cn为有界变差数列，求q的取值范围；

（3）已知两个单调递增的无穷数列dn和en都为有界数列，记fndnen，nN*，证明：数列fn为有界变差数列．

1,nN*，判断an是否为有界数列，是否为有界变差数2n 6 / 11

参

1． {1,0,1} 2． 2 3． 2 4． 5．20 6．2 7． 3,

968．140 9． [2,21) 10． 13----16． B C C A

17．解:（1）由母线SA与底面所成的角为

34041 11．2652, 12． 9．

4S, 3DB又因为OAr1,所以SA2 所以S侧rl2

（2）(法一)由EA1.联结OE,因为SO垂直圆O所在的平面,CD圆O所在的平面,所以CDSO,

又因为CDAB,所以CD平面SOA.

因为OE平面SOA,所以OECD,又ABCD,所以EOB为二面角ECDB的平面角. 在BOE中,OBOE1,BE3,所以cosEOB (法二)建立空间直角坐标系（略）

OCEA21,所以EOB

3218．解：（1）g(x)3f(2x)2f2(x) 3sin2x2sin2(x)

223sin2x2cos2x 3sin2xcos2x1 2sin(2x)1

6所以，函数的值域为1,3． （2）由f(A)332 ，A0, A或A ,sinA22331SABCbcsinA3,b1 得c4

2①若A3，则a2b2c22bccosA13，a13，

c239 sinCsinAa13②若A

2，则a2b2c22bccosA21，a21 3c27 sinCsinAa7 7 / 11

综上，sinC

23927或sinC 13719．解：（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为1600a4940250万元， 利润为5040(1600a4940250)190 解得a（2）当x(0,50]时，y50x1； 4121x49x250x2x250， 44因为对称轴20，在(0,50]上为增函数， 所以当x50时，ymax425万元；

1363513635y50x51x860250610xx(50,100]当时，，

2x12x1136352x113635610.5610.52445.4 22x12当且仅当

2x1136351363521，即x82.1时取等号； 22x12所以当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.4万元．

20．解：（1）PF1PF222 QF1QF222 则F1PQ的周长等于PF1PF2QF1QF242 （2）当直线l斜率不存在时, 直线l:x0,此时Q(0,1),P(0,1)，

F2PF2Q0，符合题意；

当直线l斜率存在时，设直线l:ykx2,P(x1,y1),Q(x2,y2)，

x2y21联立直线与椭圆2，有(12k2)x28kx60，

ykx2此时x1x28k6xx,， 1212k212k23k24(12k2)602k230k2，

2F2P(x11,y1)，F2Q(x21,y2)，F2PF2Q(x11)(x21)y1y2

(x11)(x21)(kx12)(kx22)0

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2∴(k1)x1x2(2k1)(x1x2)50

即(k1)268k11(2k1)()50k，解得

12k212k28∴直线l的方程为x0或11x8y160； （3）①当直线l斜率不存在时, 直线l:x0，

若Q(0,1),P(0,1)，则AQ(0,1),AP(0,3)，AQ11AP，此时； 33 若Q(0,1),P(0,1)，则AQ(0,3),AP(0,1)，AQ3AP，此时3； ②当直线l斜率存在时，设直线l:ykx2,P(x1,y1),Q(x2,y2)，

x2x2x1又AQAP，即，故，

xy2(y2)112xx2又1x1x2128kx1x232k2， 12k226x2x13(12k2)12k22即10161032k，因为，故3(12k2)12， 233(12k)3210161102(2,)， ，33(12k2)3显然由12(1)，

110102515412得3, 33993333综上[,1)(1,3].

21．解：（1）an1311 2n则M1即可，则an为有界数列. 由an1，知anan1 n2

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biai1aiaiai1,(i1,2,3,n1)b1b2b3bn1a1ana11则T1即可，则an为有界变差数列.

n1（2）cnq

则bici1ciqqii1q1qi1

当q1时，则bi0，显然满足题意. 当q1时，则bi2，则b1b2b3若2(n1)T，则nbn12(n1)，

T1，舍去，矛盾. 2当q1时，则bn为首相为q1，公比为则b1b2b3q的等比数列，

bn1q11qn11qn11qq1

若0q1时，q11qn11，则符合题意. 1q若q1时，q11q1q趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去.

则q的取值范围为1,0(0,1].

（3）因为dn和en为有界数列，

则存在M10，使得对任意nN*，dnM1恒成立， 则存在M20，使得对任意nN*，enM2恒成立，

bidi1ei1diei

di1ei1diei1diei1diei (di1di)ei1(ei1ei)di (di1di)ei1(ei1ei)di

dn和en为单调递增数列的有界数列，

bidi1ei1diei(di1di)ei1(ei1ei)di

M1(di1di)M2(ei1ei)

则biM2(di1di)M1(ei1ei) 则b1b2b3bn1M2(dnd1)M1(ene1)

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M2(|dn||d1|)M1(|en||e1|)M2(2M1)M1(2M2)4M1M2

存在T4M1M2即可，则数列fn为有界变差数列.

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