八年级（上）期末数学试卷
题号得分
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.二次根式x+y的一个有理化因式是（ ）
A. x−yB. x+yC. x+yD. x−y2.下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ）
A. x2−x−1=0B. 4x2−6x+9=0C. x2=−xD. x2−mx−2=03.已知函数y=kx中y随x的增大而减小，那么它和函数y=kx在同一直角坐标系内的
大致图象可能是（ ）
一
二
三
四
总分
A. B.
C. D.
4.
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=12AB，BD平分∠ABC，BD=2，则以下结论错误的是（ ）
A. 点D在AB的垂直平分线上B. 点D到AB的
距离为1
C. 点A到BD的距离为2D. 点B到AC的距离为3二、填空题（本大题共14小题，共42.0分）5.化简：32=______．
6.方程x（x-5）=2x的根是______．
7.已知函数f(x)=2x−1，则f（3）=______．
8.直角坐标平面内的两点P（-2，4）、Q（-3，5）的距离为______．9.已知方程x2+3kx-6=0的一个根是2，则k=______．
10.若最简根式2b+5和a3b−4是同类二次根式，则a•b的值是______．
11.命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是______，这个逆命题是______命题；12.某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那
么两次降价后的价格为______元．
13.已知A（m，3）、B（-2，n）在同一个反比例函数图象上，则mn=______．14.到点A的距离等于5cm的点的轨迹是______．
15.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交
于点D、E，如果AB=CD，∠C=20°，那么∠A=______度．
16.比较大小：4−x______3x−6．
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AD是角平分线，AC=4cm．DE⊥AB，E为垂足．DE=3cm．△ABC中，则△ADC17.如图，
的面积是______cm2．
18.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别
是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4=______．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）19.当t=22时，求二次根式9−6t+t2的值．
四、解答题（本大题共6小题，共42.0分）20.解方程：x(x−2)2=x+6．
21.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-（2m-1）x+m+1=0（m为常数）有两个实数
根，求m的取值范围．
22.已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
DF⊥AC，F，AB=AC．垂足分别为E、且BD=CD．求证：
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AC=83，∠B=60°，23.如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，
点D在边BC上，BD=3CD，线段DB绕点D顺时针旋转α度后（0＜α＜180），点B旋转至点E，如果点E恰好落在Rt△ABC的边上，求：△DBE的面积．
24.如图，在平面直角坐标系xOy内，点A在直线y=3x上（点
A在第一象限），OA=210．（1）求点A的坐标；
（2）过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，如果点E和点A都在反比例函数y=kx（k≠0）图象上（点E在第一象限），过点E作EF⊥y轴，垂足为点F，如果S△AEF=S△AOB，求点E的坐标．
25.已知，如图，在△ABC中，AE平分∠CAB交BC于点E，
AC=6，CE=3，AE=35，BE=5，点F是边AB上的动点（点F与点A，B不重合），连接EF，设BF=x，EF=y．（1）求AB的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△AEF为等腰三角形时，直接写出BF的长．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：×=（
）2=x+y，
故选：C．
二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是
．
本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式．2.【答案】B
【解析】
解：A、△=5＞0，方程有两个不相等的实数根； B、△=-108＜0，方程没有实数根；
C、△=1=0，方程有两个相等的实数根； D、△=m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况．没有实数根的一元二次方程，即判别式的值是负数的方程．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
3.【答案】D
【解析】
解：∵函数y=kx中y随x的增大而减小，∴k＜0，
∴函数y=kx的图象经过二、四象限，故可排除A、B；∵k＜0，
∴函数y=的图象在二、四象限，故C错误，D正确．
故选：D．
先根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据反比例函数的性质利用排除法求解即可．
本题考查的是正比例函数及反比例函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
4.【答案】C
【解析】
解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=∴∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠A=∠ABD，CD=BD=1，∴AD=BD=2，
，
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∴点D在AB的垂直平分线上，过D作DE⊥AB于E，∴DE=DC=1，
∴点D到AB的距离为1，BC=CD=∴点B到AC的距离为，
过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，∴AF=AB=BC=
，
，
∴点A到BD的距离为，故选：C．
根据三角函数的定义得到∠A=30°，根据三角形的内角和得到∠ABC=60°，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=30°，求得点D在AB的垂直平分线上，过D作DE⊥AB于E，求得点D到AB的距离为1，BC=CD=，得到点B到AC的距离为，过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，得到点A到BD的距离为．
本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．5.【答案】42
【解析】
==解：．
故答案为：．
根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，而的平方根为±，所以算术平方根为
．
他主要考查了算术平方根的定义，注意算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．规律总结：弄清概念是解决本题的关键．6.【答案】x1=0，x2=7
【解析】
解：将方程x（x-5）=2x整理成一般式得：x2-7x=0， 则x（x-7）=0， ∴x=0或x-7=0， 解得：x1=0，x2=7， 故答案为：x1=0，x2=7．
将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．
本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．7.【答案】3+1
【解析】
解：f（3）=故答案为：
=+1．
==；
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根据函数关系式，把x的值代入，即可解答．
本题考查了函数关系式，解决本题的关键是用代入法求解．8.【答案】2
【解析】
解：∵P（-2，6）、Q（2，3），∴PQ=故答案为：
．
可直接得到答案．
=
，
根据两点间的距离为
此题主要考查了两点间的距离公式，关键是熟记公式，直接套用即可．9.【答案】13
【解析】
解：把x=2代入方程x2+3kx-6=0得4+6k-6=0，解得k=．故答案为．
把x=2代入方程x2+3kx-6=0得4+6k-6=0，然后解关于k的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10.【答案】18
【解析】
解：∵最简根式解得：
，
和是同类二次根式∴，
∴a•b=18，
故答案为：18．
根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．
此题主要考查了同类二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．11.【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 真
【解析】
解：命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形．
因为，在同一个三角形内有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此逆命题是真命题．
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
要根据逆命题的定义来回答，逆命题与原命题互换题设和结论．12.【答案】405O
【解析】
解：第一次降价后价格为5000×（1-10%）=4500元，
第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为4500×（1-10%）=4050元． 答：两次降价后的价格为405O元． 故答案为：405O．
先求出第一次降价以后的价格为：原价×（1-降价的百分率），再根据现在的价
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格=第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）即可得出结果．
本题考查一元二次方程的应用，根据实际问题情景列代数式，难度中等．若设变化前的量为a，平均变化率为x，则经过两次变化后的量为a（1±x）2．13.【答案】−23
【解析】
解：设反比例函数解析式为y=根据题意得：k=3m=-2n∴
=-
，
故答案为：-．
设反比例函数解析式为y=
（k为常数，k≠0），根据反比例函数图象上点的坐
的值．
（k为常数，
标特征得到k=3m=-2n，即可得
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=
k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．14.【答案】以点A为圆心，以5cm为半径的圆
【解析】
解：根据圆的定义可知，到点A的距离等于5cm的点的集合是以点A为圆心，5cm为半径的圆．
故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．
圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离等于5cm的点的集合是圆．
本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键．15.【答案】40
【解析】
解：连接DB，
∵DE是边BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠DBC=∠C，∴∠BDA=2∠C，
∵AB=CD，DB=DC，∴BA=BD，∴∠A=∠BDA，∴∠A=2∠C，∵∠C=20°，∴∠A=40°，故答案为40．
连接DB，根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠BDA=2∠C，证明BA=BD，得到∠A=∠BDA，只要证明∠A=2∠C即可解决问题；
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
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16.【答案】＞
【解析】
解：由算术平方根的定义可得4-x≥0，解得x≤4，则x-6＜0，则＜0，
≥0，∵
∴＞．故答案为：＞．
根据算术平方根的定义可得4-x≥0，解得x≤4，进一步得到x-6＜0，再根据立方根的定义可得＜0，再根据非负数大于负数即可求解．
≥0．考查了实数大小比较，解题的关键是得到＜0，
17.【答案】6
【解析】
别解：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分
为E、F，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3cm，
∴S△ADC=•DF•AC=×3×4=6（cm2），
故答案为：6．
过点D作DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，又由AC=4cm，可求得△ACD的面积．
此题考查了线段垂直平分线的性质与角平分线的性质，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意辅助线的作法．18.【答案】2
【解析】
解：在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3，同理可证FG2+LK2=HL2=1，∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4．∵S2+S3=2，∴S1+S4=2，故答案为：2．
首先证明△CDE≌△ABC可得AB=CD，BC=DE，同理可得FG2+LK2=HL2=1，进而得到S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4．再由S2+S3=2，可得S1+S4=2．
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本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键．19.【答案】解：当t=22时，
9−6t+t2=(3−t)2=|3-t|=|3-22|=3-22．【解析】
将t的值代入==|3-t|计算可得．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的基本性质．
20.【答案】解：x（x-2）=2（x+6），（1分）
x2-2x=2x+12，（1分）x2-4x-12=0，（1分）
（x-6）（x+2）=0，（1分）x1=6，x2=-2．（2分）
∴原方程的根为x1=6，x2=-2．【解析】
首先将原式整理得出x2-4x-12=0，再利用因式分解法将方程分解为两式相乘等于0的形式，求出即可．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，此题型应用比较广泛同学们应熟练掌握．21.【答案】解：
∵关于x的一元二次方程（m-1）x2-（2m-1）x+m+1=0（m为常数）有两个实数根，∴△≥0且m-1≠0，即（2m-1）2 -4（m-1）（m+1）≥0且m≠1，解得m≤54且m ≠1．【解析】
由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
22.【答案】证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠EAD=∠FAD（角平分线的定义），∵DE⊥AB，DF⊥AC （已知），∴∠DEA=∠DFA（垂直的意义），又∵AD=AD（公共边），∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE=DF（全等三角形对应边相等），∵DB=DC（已知），∠BED=∠DFC=90°，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等），
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∴AB=AC（等角对等边）．【解析】
欲证明AB=AC，利用全等三角形的性质证明∠B=∠C即可；
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，∴AB=2BC
∵在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，∴4BC2=BC2+×3，∴BC=8，∴AB=16，
∵点D在边BC上，BD=3CD，∴BD=6，CD=2，
如图，当点E在AB上时，过点E作EF⊥BC于点F，
∵旋转
∴DE=BD=6，且∠ABC=60°，∴△BDE是等边三角形
∴BE=6，且EF⊥BD，∠ABC=60°，∴BF=3，EF=3BF=33∴S△BED=12BD×EF=93，如图，当点E在AC上时，
∵旋转
∴BD=DE=6
在Rt△CDE中，CE=DE2−CD2=36−4=42，∴S△BED=12BD×EC=122，
综上所述：△DBE的面积为122或93．【解析】
根据勾股定理可求AB，BC的长，即可求BD=6，CD=2，分点E落在AB上，或AC上两种情况讨论，根据勾股定理和等边三角形的性质以及三角形面积公式可求△DBE的面积．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
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24.【答案】解：（1）∵点A在直线y=3x上（点A在第一象限），
∴设A（x，3x），其中x＞0，∵OA=210，
∴x2+9x2=（210）2，解得：x=2，
点A的坐标为（2，6）；
（2）∵点A在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，∴k=12，
可得 反比例函数解析式为y=12x，由题意得 点B的坐标为（2，0），∴S△ACB=6，∵S△AEF=S△AOB，
设点E（n，12n），可得F（0，12n）；①点E在点A的上方，
由S△AEF=12n•（12n-6）=6，得n=0（舍去），∴点E的坐标不存在；②点E在点A的下方，
由S△AEF=12n•（6-12n）=6，得n=4，∴点E的坐标为（4，3），
综上所述：满足条件的点E（4，3）．【解析】
（1）根据点A在直线y=3x上（点A在第一象限），可设A（x，3x），其中x＞0，再根据勾股定理可得BO2+AB2=OA2，即x2+（3x）2=（2
）2，解得x=2即可
计算出A点坐标；
（2）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，然后由点E在反比例函数在第一象限的图象上，设出点E的坐标为（n，
）（n＞0）．利用三角形的面积公
式利用含n的代数式表示出S△AEF，根据点A在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ABO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点E的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程．本题属于中档题，难度不大．25.【答案】解：（1）∵AC=6，CE=3，AE=35，
∴AC2+CE2=62+32=45，AE2=（35）2=45，∴AC2+CE2=AE2，∴∠ACE=90°，∵BE=5，∴BC=8，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=62+82=10；（2）如图1，过E作EG⊥AB于G，∵AE平分∠BAC，∠C=90°，
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∴EG=EC=3，∵AE=AE，
∴Rt△ACE≌Rt△AGE（HL），∴AG=AC=6，∴BG=10-6=4，∵BF=x，∴FG=|4-x|，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF=EG2+FG2，∴y=32+(4−x)2=x2−8x+25（0＜x＜10）；（3）分两种情况讨论：
①当AE=AF=35时，如图2，∵AB=10，∴BF=10-35，
②当AF=EF时，如图3，过F作FP⊥AE于P，∴AP=12AE=352，
∵∠CAE=∠FAP，∠APF=∠C=90°，∴△ACE∽△APF，
∴AEAC=AFAP，即356=AF352，AF=154，
∴BF=10-154=254，
综上，当△AEF为等腰三角形时，BF的长为10-35或254．【解析】
（1）先根据勾股定理的逆定理可得∠ACE=90°，再由勾股定理计算AB的长；（2）作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得：EG=CE=3，表示FG的长，因为F可能在G的左边或右边，所以FG=|4-x|，最后根据勾股定理可得y关于x的函数解析式；
时，如图2，（3）当△AEF为等腰三角形时，存在两种情况：①当AE=AF=3②
当AF=EF时，如图3，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
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