湖北省十堰市丹江口市2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析

湖北省十堰市丹江口市2019-2020八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2. 在平面直角坐标系中，点𝑃(2,−5)关于x轴对称的点的坐标为( )

A. (−2,5)

1

B. (2,5) C. (−2,−5) D. (2,−5)

3. 若分式𝑥+5有意义，则x的取值范围是( )

A. 𝑥>−5 B. 𝑥<−5 C. 𝑥≠5 D. 𝑥≠−5

4. 下列运算一定正确的是

A. (𝑚+𝑛)2=𝑚2+𝑛2 C. (𝑚3)2=𝑚5

B. (𝑚𝑛)3=𝑚3𝑛3 D. 𝑚·𝑚2=𝑚2

5. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )

A. 𝑎(𝑥+𝑦)=𝑎𝑥+𝑎𝑦 C. 10𝑥2−5𝑥=5𝑥(2𝑥−1)

6. 下列式子是最简二次根式的是( )

A. √12

B. 𝑥2−4𝑥+4=𝑥(𝑥−4)+4 D. 2𝑥2+𝑥−3=𝑥(2𝑥+1)−3

B. √2 C. √𝑎2 D. √24 7. 如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长

方形(如图②)，则上述操作所能验证的公式是( )

A. (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2 C. (𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2

B. (𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 D. 𝑎2+𝑎𝑏=𝑎(𝑎+𝑏)

8. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠𝐴′𝑂′𝐵′等于已知角∠𝐴𝑂𝐵的示意图，请你根据所学的三角形

全等这一章的知识，说明画出∠𝐴′𝑂′𝐵′=∠𝐴𝑂𝐵的依据是( )

A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS

9. 下列各式从左到右的变形一定正确的是( )

A. 𝑎+0.2𝑏=𝑎+2𝑏 C. −𝑥−𝑦=𝑥−𝑦

𝑥+1

𝑥−1

0.2𝑎+𝑏2𝑎+𝑏

B. 2𝑏=2𝑏𝑐 D. 1𝑥+𝑦=𝑥+2𝑦

2

𝑎𝑎𝑐

𝑥−𝑦

12

2𝑥−𝑦

10. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=4，将矩形沿EF折叠，

使点A与点C重合，连接CE，则CE长为( )

A. 3.5

2.5

B. 3 C. 2.8 D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034𝑚，这个数用科学记数

法表示为__________________ 𝑚．

12. 如果√𝑥+1有意义，那么x的取值范围是______．

13. 已知4𝑦2+𝑚𝑦+1是完全平方式，则常数m的值是________．

14. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB

边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△𝐶𝐷𝑀周长的最小值为_________．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 15. 计算：

(1)1√2+1−√8+(√3−1)0+(−3)−1

(2)(3+2√5)2−(4+√5)(4−√5) 21

(3)√54÷(−√3)×√27 33(4)(−2𝑥3𝑦)−2÷(𝑥2𝑦−2)2

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分） 16. 计算：

(1)3√3−√8+√2−√27

(2)(5√2+2√5)(5√2−2√5)+(√3−1)2

17. 分解因式：(1)𝑎𝑥+𝑎𝑦

(2)𝑥4−𝑏4

(3)3𝑎𝑥2−6𝑎𝑥𝑦+3𝑎𝑦2

18. 如图，已知A(−2,4)，B(4,2)，C(2,−1)

(1)作△ABC关于x轴的对称图形△A 1B 1C 1，写出点C关于x轴的对称点C 1的坐标； (2)P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P并直接写出此时点P的坐标(保留作图痕迹)．

19. 如图，有一个池塘，要到池塘两侧AB的距离，可先在平地上取一个

点C，从C不经过池塘可以到达点A和B，连接AC并延长到点D，使𝐶𝐷=𝐶𝐴，连接BC并延长到点E，使𝐶𝐸=𝐶𝐵，连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？

20. 先化简，再求值：(𝑥2−1−𝑥−1)÷𝑥+1，其中𝑥=√2．

21. 阅读下面材料，回答问题：

(1)在化简√5−2√6的过程中，小张和小李的化简结果不同；

小张的化简如下：√5−2√6=√2−2√2×3+3=√(√2−√3)2=√2−√3 小李的化简如下：√5−2√6=√2−2√3×2+3=√(√3−√2)2=√3−√2 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由． (2)请你利用上面所学的方法化简：①√3+2√2；②√6−2√5．

2𝑥

1

𝑥

22. 小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别

从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．

23. 已知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐴=𝐶𝐵，O为AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且∠𝐸𝑂𝐹=2∠𝐴．

(1)如图1，若∠𝐴=45°，求证：𝑂𝐸=𝑂𝐹． (2)如图2，若∠𝐴=45°，求证：𝐶𝐹−𝐶𝐸=𝐴𝐶．

(3)如图3，若∠𝐴=30°，探究：𝐶𝐹−𝐶𝐸与AC之间的数量关系，并说明理由．

24. 已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，𝐵(0,1)，∠𝑂𝐴𝐵=30°．

(1)如图1，已知𝐴𝐵=2.点C在y轴的正半轴上，当△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为______；

(2)如图2，以AB为边作等边△𝐴𝐵𝐸，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵交OA的垂直平分线于D，求证：𝐵𝐷=𝑂𝐸； (3)如图3，在(2)的条件下，连接DE交AB于F，求𝐷𝐸的值．

𝐷𝐹

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意． D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C．

根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.答案：B

解析：

此题主要考查了关于x轴对称点的性质，点𝑃(𝑥,𝑦)关于x轴的对称点𝑃′的坐标是(𝑥,−𝑦).利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出结论． 解：点𝑃(2,−5)关于x轴对称的点是：(2,5)． 故选B．

3.答案：D

解析：

根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．

本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： (1)分式无意义⇔分母为零； (2)分式有意义⇔分母不为零；

(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

解：由题意得，𝑥+5≠0， 解得𝑥≠−5． 故选：D．

4.答案：B

解析：

此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 解：𝐴.(𝑚+𝑛)2=𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2，故此选项错误； B.(𝑚𝑛)3=𝑚3𝑛3，正确； C.(𝑚3)2=𝑚6，故此选项错误； D.𝑚⋅𝑚2=𝑚3，故此选项错误； 故选：B．

5.答案：C

解析：

本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 根据因式分解的定义，结合因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，逐一进行判断． 解：𝐴.是整式的乘法，故A错误；

B.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误； C. 等式右边是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确． D.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误； 故选C．

6.答案：B

12解析：解：A、√=√，此选项不符合题意；

2

2

B、√2是最简二次根式，符合题意；

C、√𝑎2=|𝑎|，此选项不符合题意； D、√24=2√6，此选项不符合题意； 故选：B．

根据最简二次根式的定义逐一判断即可得．

本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

7.答案：A

解析：

本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键.由大正方形的面积−小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 解：大正方形的面积−小正方形的面积=𝑎2−𝑏2， 矩形的面积=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)， 故𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)． 故选A．

8.答案：D

解析：

本题考查的是作图−基本作图，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．由作法易得𝑂𝐷=𝑂′𝐷′，𝑂𝐶=𝑂′𝐶′，𝐶𝐷=𝐶′𝐷′，利用SSS得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等

解：由作法易得𝑂𝐷=𝑂′𝐷′，𝑂𝐶=𝑂′𝐶′，𝐶𝐷=𝐶′𝐷′， 在△𝑂𝐷𝐶和△𝑂′𝐷′𝐶′中，

𝑂𝐶=𝑂′𝐶′∵{𝑂𝐷=𝑂′𝐷′ 𝐶𝐷=𝐶′𝐷′

∴△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶′𝑂′𝐷′(𝑆𝑆𝑆)，

∴∠𝐷′𝑂′𝐶′=∠𝐷𝑂𝐶，即∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴′𝑂′𝐵′， 故选D．

9.答案：D

解析：

本题考查了分式的基本性质，掌握f分式的基本性质是解决问题的关键． 解：A．𝑎+0.2𝑏=10𝑎+2𝑏，故此选项错误； B.2𝑏=2𝑏𝑐，当𝑐=0时，此选项错误； C.−𝑥−𝑦=D.12

0.2𝑎+𝑏2𝑎+10𝑏

𝑎𝑎𝑐

𝑥+1

12

−𝑥−1𝑥−𝑦

，此选项错误；

𝑥−𝑦𝑥+𝑦=𝑥+2𝑦，故此选项正确．

2𝑥−𝑦

故选D．

10.答案：D

解析：解：由题意得：𝐴𝐵=𝐶𝐷=2，𝐵𝐶=𝐴𝐷=4， 设𝐷𝐸=𝑥，则𝐴𝐸=4−𝑥， ∵沿EF翻折后点C与点A重合， ∴𝐶𝐸=𝐴𝐸=4−𝑥，

在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷2+𝐷𝐸2=𝐶𝐸2， 即22+𝑥2=(4−𝑥)2， 解得𝑥=1.5， ∴𝐶𝐸=4−𝑥=2.5， 故选D．

设𝐷𝐸=𝑥，则𝐴𝐸=4−𝑥，根据翻折的性质可得𝐶𝐸=𝐴𝐸=4−𝑥，然后在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，利用勾股定理列出方程求出x，即可得出CE长．

本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出CE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．

11.答案：3.4×10−10

解析：

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一

般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解：0.00000000034=3.4×10−10， 故答案为3.4×10−10．

12.答案：𝑥≥−1

解析：

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键，根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可． 解：由题意得，𝑥+1≥0， 解得，𝑥≥−1， 故答案为𝑥≥−1．

13.答案：±4

解析：

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征确定出m的值即可． 解：∵4𝑦2+𝑚𝑦+1是完全平方式，

∴4𝑦2+𝑚𝑦+1=(2𝑦±1)2

∴𝑚=±2×2=±4， 故答案为±4．

14.答案：10

解析：

本题考查的是轴对称，最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接AD，由于△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥𝐵𝐶，再根据三角形的面积公式

求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为𝐶𝑀+𝑀𝐷的最小值，由此即可得出结论． 解：连接AD，

∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=2×4×𝐴𝐷=16，解得𝐴𝐷=8， ∵𝐸𝐹是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴𝐴𝐷的长为𝐶𝑀+𝑀𝐷的最小值，

∴△𝐶𝐷𝑀的周长最短=(𝐶𝑀+𝑀𝐷)+𝐶𝐷=𝐴𝐷+2𝐵𝐶=8+2×4=8+2=10． 故答案为：10．

1

1

1

1

15.答案：解：(1)原式=√2−1−2√2+1−3

=−√2−3；

(2)原式=9+12√5+20−(16−5)

=29+12√5−11

=18+12√5；

(3)原式=−××√54××27

333=−2√6； (4)原式=4𝑥6𝑦2⋅𝑥4

𝑦2

=10 4𝑥

=

𝑦24𝑥10

1

𝑦4

2

1

1

1

1

．

解析：(1)根据零指数幂、负整数指数幂的意义和分母有理化进行计算； (2)利用完全平方公式和平方差公式计算； (3)根据二次根式的乘除法则运算；

(4)先进行乘方运算，再把除法运算化为乘法运算．

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了整式的运算．

16.答案：解：(1)原式=3√3−2√2+√2−3√3 =−√2；

(2)原式=50−20+3−2√3+1 =34−2√3．

解析：(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； (2)利用平方差公式和完全平方公式计算．

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

17.答案：解：(1)𝑎𝑥+𝑎𝑦=𝑎(𝑥+𝑦)；

(2)𝑥4−𝑏4 =(𝑥2+𝑏2)(𝑥2−𝑏2) =(𝑥2+𝑏2)(𝑥+𝑏)(𝑥−𝑏)； (3)3𝑎𝑥2−6𝑎𝑥𝑦+3𝑎𝑦2 =3𝑎(𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2) =3𝑎(𝑥−𝑦)2．

解析：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键． (1)提取公因式a分解因式即可；

(2)两次利用平方差公式分解因式得出答案；

(3)首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．

18.答案：解：(1)如图1所示：

∵点C与点𝐶1关于x轴对称， ∴𝐶1(2,1)； (2)如图2所示：

根据图形可知点P的坐标为(2,0)．

解析：本题主要考查的是轴对称变换，掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题的关键．

(1)根据关于x轴对称点的坐标特点得到△𝐴1𝐵1𝐶1各顶点的坐标，然后描出各点，然后顺次连接即可，然后写出点𝐶1的坐标即可；

(2)作点A关于x轴的对称点𝐴1，连接𝐴1𝐵交x轴与点P，然后写出点P的坐标即可．

19.答案：解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下：

𝐶𝐵=𝐶𝐸

在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶中，{∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，

𝐶𝐴=𝐶𝐷∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐵=𝐷𝐸．

解析：利用“边角边”证明△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶全等，再根据全等三角形对应边相等解答． 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

20.答案：解：原式=[(𝑥+1)(𝑥−1)−(𝑥+1)(𝑥−1)]÷𝑥+1

=

=， 𝑥

当𝑥=√2时， 原式=

1√1

2𝑥𝑥+1𝑥

𝑥−1𝑥+1

⋅ (𝑥+1)(𝑥−1)𝑥=2√2． 2

解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

21.答案：解：(1)小李化简正确，小张的化简结果错误；

因为√(√2−√3)2=√3−√2；

(2)①√3+2√2=√2+2√2+1

=√(√2+1)2=√2+1；

②√6−2√5=√5−2√5+1

=√(√5−1)2=√5−1．

解析：(1)直接利用完全平方公式将原式变形开平方即可得出答案； (2)①直接利用完全平方公式将原式变形开平方即可得出答案； ②直接利用完全平方公式将原式变形开平方即可得出答案．

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．

22.答案：解：设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，

根据题意得：

20004𝑥

−

12003𝑥

=4，

解得：𝑥=25，

经检验，𝑥=25是分式方程的根，且符合题意， ∴3𝑥=75，4𝑥=100．

答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分．

解析：设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，根据时间=路程÷速度结合小明比小刚提前4min到达剧院，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

23.答案：(1)证明：连接CO，

∵𝐶𝐴=𝐶𝐵，∠𝐴=45°， ∴∠𝐵=∠𝐴=45°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∵𝑂为AB的中点，

∴𝐶𝑂⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝑂=∠𝐵𝐶𝑂=45°，𝐶𝑂=𝑂𝐴=𝑂𝐵， ∴∠𝐵𝑂𝐹+∠𝐶𝑂𝐹=90°， ∵∠𝐸𝑂𝐹=2∠𝐴=90°， ∴∠𝐸𝑂𝐶+∠𝐶𝑂𝐹=90°， ∴∠𝐸𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐹， 在△𝐸𝑂𝐶和△𝐹𝑂𝐵中， ∠𝐸𝑂𝐶=∠𝐹𝑂𝐵{𝐶𝑂=𝐵𝑂， ∠𝐸𝐶𝑂=∠𝐹𝐵𝑂∴△𝐸𝑂𝐶≌△𝐹𝑂𝐵(𝐴𝑆𝐴) ∴𝑂𝐸=𝑂𝐹； (2)证明：连接CO， 由(1)得，△𝐸𝑂𝐶≌△𝐹𝑂𝐵， ∴𝐵𝐹=𝐶𝐸，

∴𝐶𝐹−𝐶𝐸=𝐶𝐹−𝐵𝐹=𝐶𝐵=𝐴𝐶；

(3)解：𝐶𝐹−𝐶𝐸=2𝐴𝐶，

理由如下：连接OC，作BC的中点G，连接OG， ∵𝐶𝐴=𝐶𝐵，∠𝐴=30°， ∴∠𝐵=∠𝐴=30°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=120°，

∵𝐶𝐴=𝐶𝐵，O为AB的中点， ∴𝐶𝑂⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝑂=∠𝐵𝐶𝑂=60°， ∴∠𝑂𝐶𝐸=120°，

∵𝐶𝑂⊥𝐴𝐵，点G为BC的中点， ∴𝑂𝐺=𝑂𝐵=𝐶𝐺，又∠𝐵𝐶𝑂=60°， ∴△𝑂𝐶𝐺为等边三角形，

∴∠𝐶𝑂𝐺=∠𝐶𝐺𝑂=60°，𝑂𝐶=𝑂𝐺， ∴∠𝑂𝐺𝐹=120°，∠𝐶𝑂𝐸=∠𝐺𝑂𝐹， ∴∠𝑂𝐶𝐸=∠𝑂𝐺𝐹， 在△𝐸𝑂𝐶和△𝐹𝑂𝐺中， ∠𝐶𝑂𝐸=∠𝐺𝑂𝐹{𝑂𝐶=𝑂𝐺， ∠𝑂𝐶𝐸=∠𝑂𝐺𝐹∴△𝐸𝑂𝐶≌△𝐹𝑂𝐺(𝐴𝑆𝐴) ∴𝐺𝐹=𝐶𝐸，

∵𝐶𝑂⊥𝐴𝐵，∠𝐴=30°， ∴𝑂𝐶=2𝐴𝐶，

∴𝐶𝐹−𝐶𝐸=𝐶𝐹−𝐺𝐹=𝐶𝐺=𝑂𝐶=2𝐴𝐶．

1

1

1

(1)连接CO，𝐶𝑂⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝑂=∠𝐵𝐶𝑂=45°，𝐶𝑂=解析：根据等腰三角形的性质得到∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝑂𝐴=𝑂𝐵，证明△𝐸𝑂𝐶≌△𝐹𝑂𝐵，根据全等三角形的性质证明结论； (2)连接CO，根据△𝐸𝑂𝐶≌△𝐹𝑂𝐵，得到𝐵𝐹=𝐶𝐸，证明结论；

(3)连接OC，作BC的中点G，连接OG，证明△𝐸𝑂𝐶≌△𝐹𝑂𝐺，根据全等三角形的性质得到𝐺𝐹=𝐶𝐸，根据直角三角形的性质得到𝑂𝐶=2𝐴𝐶，得到答案．

1

本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

24.答案：(1)(0,3)

(2)证明：连接OD，如图2所示： ∵△𝐴𝐵𝐸是等边三角形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸=60°， ∵∠𝑂𝐴𝐵=30°，

∴∠𝑂𝐴𝐸=30°+60°=90°， ∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，

∴∠𝐷𝐴𝐵=90°=∠𝑂𝐴𝐸，∠𝑂𝐴𝐷=90°−30°=60°，∵𝑀𝑁是OA的垂直平分线， ∴𝑂𝐷=𝐴𝐷，

∴△𝑂𝐴𝐷是等边三角形， ∴𝐴𝑂=𝐴𝐷， 在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐸𝑂中， {𝐴𝐵=𝐴𝐸

∠𝐷𝐴𝐵=∠𝑂𝐴𝐸， 𝐴𝐷=𝐴𝑂

∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝑂(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐷=𝑂𝐸；

(3)解：作𝐸𝐻⊥𝐴𝐵于H，如图3所示： ∵△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，𝐸𝐻⊥𝐴𝐵， ∴𝐴𝐻=1

2𝐴𝐵，

∵∠𝐴𝑂𝐵=90°，∠𝑂𝐴𝐵=30°， ∴𝑂𝐵=1

2𝐴𝐵， ∴𝐴𝐻=𝑂𝐵，

在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐻和𝑅𝑡△𝐵𝐴𝑂中， {𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐻=𝐵𝑂

， ∴𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐻≌𝑅𝑡△𝐵𝐴𝑂(𝐻𝐿)， ∴𝐸𝐻=𝐴𝑂=𝐴𝐷，

在△𝐻𝐹𝐸和△𝐴𝐹𝐷中， ∠𝐸𝐻𝐹=∠𝐷𝐴𝐹=90°{∠𝐸𝐹𝐻=∠𝐷𝐹𝐴， 𝐸𝐻=𝐴𝐷

∴△𝐻𝐹𝐸≌△𝐴𝐹𝐷(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐸𝐹=𝐷𝐹， ∴𝐷𝐸=2𝐷𝐹， ∴

𝐷𝐹𝐷𝐸

=． 2

1

解析：

本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

(1)由题意得出𝐵𝐶=𝐴𝐵=2，得出𝑂𝐶=𝑂𝐵+𝐵𝐶=3，即可得出点C的坐标为(0,3)；

(2)连接OD，证明△𝑂𝐴𝐷是等边三角形，得出𝐴𝑂=𝐴𝐷，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝑂(𝑆𝐴𝑆)，即可得出结论； (3)作𝐸𝐻⊥𝐴𝐵于H，证明𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐻≌𝑅𝑡△𝐵𝐴𝑂(𝐻𝐿)，得出𝐸𝐻=𝐴𝑂=𝐴𝐷，再证明△𝐻𝐹𝐸≌△𝐴𝐹𝐷(𝐴𝐴𝑆)，得出𝐸𝐹=𝐷𝐹，即可得出答案． 解：(1)解：∵𝐵(0,1)， ∴𝑂𝐵=1，

∵𝐴𝐵=2，点C在y轴的正半轴上，△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐵=2， ∴𝑂𝐶=𝑂𝐵+𝐵𝐶=3， ∴点C的坐标为(0,3)， 故答案为：(0,3)； (2)见答案； (3)见答案．