趋势曲线模型预测

一．正规方程组所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，当预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟时，利用一元非线性回归技术，来作出模拟并用于预测。设实际值为（xi,yi）,为方便多项式次数测定，数ˆiy据选取xi－xi－1 = ∆x = C，模型模拟值为(xi, )2mˆy就有i= f(x) = a0+ a1x + a2x +……+ amx.显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数据为n组：(xi,yi) i = 1,2,……n. ni1假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yiˆi且ei= yi－y由回归分析，最佳拟合为Q = ∑ei2= Q min利用最小二乘法，对系数求偏导数，有(Q/ak)’= 0 →2∑ei(ei)’ak= 0其中k = 0,1,2,3,……,m因为ei= yi－yi= yi－a0－a1x－……akxik……amxim所以有：∑(yi－a0－a1x1--……amxim)(-xik)= 0得yixikk (k+1)k+m=a0∑xi+a1∑ xi+……am∑xini1ni1•令•ukyixi,ki1ytKabtnskxi1nki可建立m+1个方程组成的正规方程组：s0a0+s1a1+……+smam= u0(k = 0)s1a0+s2a1+………+sm+1am= u1(k = 1): : : :sma0+sm+1a1+……..+s2mam= um(k = m)记为矩阵式：s0 s1 s2 ……sm a0 u0s1 s2 s3 ……sm+1 a1 u2×=

记为S 记为A 记为U则：U = SA →A = S(-1)U = 1/|S| S*U有唯一解，故a0,a1,……,am可唯一求出，于是预测方程可以求得。{2004/11/1}sm sm+1s0 …s2mam um二、案例某地1972---1979工业产值统计资料如表，企业多项式模型，并预测1980、1981年工业产值年1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979序号1 2 3 4 5 6 7 8产值7.54 8.76 8.23 9.92 10.65 11.65 12.56 13.78解：（1）描点，观察，做趋势图。2

由图所示，用二次曲线描述合理。（2）由正规方程组U = SA，求A = S(-1)Uk∵Sk=∑Xii = 1,2,………,8. K = 0,1,2,3,4.012

S0= ∑xi =8; S1= ∑xi =36; S2= ∑xi =204;43

S3= ∑xi =1296; S4= ∑xi =87728 36 204∴ S = 36 204 1296204 1296 8772uk8i10iinyixik,i1,2...8,k0,1,2882iiu0yx83.09u1yx410.74u2yx2458.381iii1i1i183.09U410.742458.388 36 204 -1 83.09A = S(-1)U = 36 204 1296 410.74204 1296 8772 2458.381.9464 -0.9013 0.0893 83.09= -0.9107 0.5100 -0.0536 410.740.0893 -0.0536 0.006 2458.387.1602= 0.44470.0480故预测模型y = 7.1602 + 0.4447x + 0.0480 x21980:x = 9y9 = 7.1602 + 0.4447×9+ 0.0480×92= 15.05051981:x = 10:2y10 = 7.1602 + 0.4447×10+ 0.0480×10= 16.4072 绝对误差相对误差与实际值比较:1980年为14.77 0。2809 –1。9%1981年为15.64 0。7672 -4。9%三、拟合多项式的次数确定1、作图法利用实际数据，选择合适坐标，采用图上打点，观察打点曲线，并选择一条比较合用的多项式趋势线。若趋势线出现拐点：由拐点定义，若出现一个拐点，至少应用3次多项式拟合；若出现k个拐点，至少应用k+2次多项式拟合。2.差分判断法①差分定义：当自变量呈等距分布时，即xi = xi-1 + △x则▽yi = yi –yi-1=f(xi)-f(xi-1)称为当x 从xi-1变到xi时,yi 的一阶差分。所有更高阶的差分由进一步的差分得到:二阶差分▽2iy=▽(▽yi )=▽(yi –yi-1)=▽yi -▽yi-1= (yi –yi-1) -(yi-1–yi-2)= yi-2 yi-1+ yi-2可类推至yi 的k阶差分▽kyi=▽(▽k-1yi )=………k!=(kj)!(1)y②差分对多项式判断中的应用例：含线性趋势确定性时间序列数据（yt=2t)t 0 1 2 3 4 5yt 0 2 4 6 8 10一阶差分2 2 2 2 2 kjikjj0二阶差分0 0 0 0例:二次曲线y = ax2+ bx + cx 0 1 2 3 4 5yt c a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+c 25a+5b+c一阶差分a+b 3a+b 5a+b 7a+b 9a+b二阶差分2a 2a 2a 2a三阶差分0 0 0由此可得出判据若一批自变量为等距分布的数据，经n次差分之后，形成常数或差分后在某一定值上下波动，则可用n次多项式拟合此批数据变动趋势。3. 在利用数据确定曲线时，要排除偶然发生的那一类数据。第二节成长曲线预测模型一. Gompertz曲线成长曲线主要应用两个原则：相似性原则与延续性原则①决定过去技术发展的因素，很大程度的也将决定未来的发展，条件是不变的或变化不大的；②发展过程属于渐进的，影响过程的规律不发生突变；③增长曲线即生命周期与生物生长过程相似孕育—出生—成长—成熟—老化—死亡发明—定型—推广—成熟—老化—淘汰1.经验公式,有三个系数K，a,b(双层指数)t取常用对数lgyt=lgK+blgaly2.参数k,a,b的确定（三和法）假定有若干原始数据，取△t=1,t=1,2,3,…….3n且满足ytKabt即：lgyt=lgK+blgaytKangtt1btt排列成表如下t123……nlgytlgy1lgy2lgy3……lgynn+1n+2n+3……2n第一组lgyn+1lgyn+2lgyn+3……lgy2n2n+12n+22n+3……3n第二组lgy2n+1lgy2n+2lgy2n+3……lgy3n共有3n个数据，平均分为3组，第三组

第一组：求和：lgytt1n=nlgK+(b1+b2+……bn)lga……①第二组：求和：∑lgyt=nlgK+((2)bn+1+bn+2+……b2n)lga②第三组：求和:2n+1+b2n+2+……b3n)lga③∑lgyt=nlgK+(b(3)n(b+b1+b2+……bn)(bn-1)lga…4③-②:lgyt-lgyt=b(3)(2)1+b2+……bn)(bn-1)lga……⑤②-①:lgyt-lgyt=(b+b(2)(1)(4)(5)lgytlgyt(3)(2)blylygtgt(1)(2)1n由5(lgytlgyt)(b1)lga(2)(b1)(1)n2......(6)带6入1得1lgkn2lyly(ly)gtgtgt(1)(3)(2)l(1)gytlgyt2lgyt(3)(2)......(7)3.例：某厂产品销售总额历史数据：（万元）年份(t)1968196919701971197319724632.6719786442.81yt4854074182.6219755352.734322.6419765662.754472.6519776022.78logyt2.612.69年份(t)19741979yt694logyt2.845082.71上述数据的模型识别，一般采用作图法或计算机模拟。由上述公式，可求出K=305,a=1.3;b=1.1yt=预测1988年销售额：t1.1t=21,y1==2125.7(万元)305.33051.31.1t4.关于Gompert曲线的讨论①. a > 1a) 0 < b <1 b) b > 1细胞分裂核爆后继t→0, yt →Kat ↗, yt↘t→+∞ yt →K

t→0, yt →Ka无抑制上升

t ↗, yt↗t→-∞ yt →K

②. a > 1

a) 0 < b <1 b) b > 1

t→-∞ yt →0t→+∞ yt →K

t→0yt →Ka

动植物生命衰减以上“K”称为最大步长值，或饱和点值如：家电生产及销售，农田亩产，机器工作效率等，耐用消费品③Gompert曲线是双层指数，又称双指数模型。二.Logistic曲线该曲线为美国生物学家，人口统计学家R.Pearl 博士通过利用微分方程表示生物生长速度，求解得到的公式，为Logistic增长曲线。1.数学模型微分方程形式为：dy/dt=ky(K-y)其中k,K>o常数且0二.参数估计解法1:三点法,取已知三点;第一点为起点t=0,另两点分别为t=n和t=2n,即从时间上均匀分段.设曲线序列始点选定为y|t=0=y0→y0=k/(1+a)…①中点:y|t=n=y1,→y1=k/[1+ae-bn]………②终点:y|t=2n=y2,→y2=k/[1+ae-2bn]……③由①式,推出a=(K-y0)/y0……………④由②式:y1•[1+ae-bn]=K得e-bn=(K-y0)/ay1有b = [ln a +ln y1–ln(K-y1)]/n………⑤将公式②中解出e-bn及公式④代入公式③,得:y2{1+(K-y1)2/[(K-y0)y12/y0]}=K整理得出K=[y0y12+y12y2-2y0y1y2]/[y12-y0y2]…...6公式⑥⑤④三式共同组成参数估计公式.解法2:线性回归法,前提是假定K已知公式变形:y=K/[1+a-bte]K/y=1+ae-bt)ae-bt=K/y-1取自然对数lna–bt=ln(K/y-1)令ln(K/y-1)=y’,lna=a0,–b=a1则构成线性方程y’=a0+a1t利用一元线性回归方法,解出y’,进而求出预测值y解法3:为近似积分法,见书介绍解法4:为三和法三.举例:我国家用缝纫机市场需求量转折点预测1970—1982年统计资料年份:197019711972197319741975普及率%5.496.6767.9109.12510.54412.029197619771978197919801981198213.69415.36317.28219.45922.98027.05431.227由于欧洲市场已饱和,可参考统计数据(饱和值K)同名日英法苏芬美饱和值(%)803547.61962.5030.30371.429据专家估计:中国由于广阔的农村市场,饱和率可达70% 解:yt’=K/[1+ae-bt]且K=70%用回归分析1)线性化及预测方程：yt=a0+a1t式中a0=lna,a1=-b,yt’=ln(K/yt-1)∵K,yt为已知,∴yi’为已知∑yi’=18.1174,y’=1.39365,∑2yi’=30.96707n=13,t=7.0,∑ti=819,∑tiyi’=76.55192

利用线性回归中求参数公式:a0=y-bx=y’-bt及(1/n)∑xiyi-x(1/n)∑yi(1/n)∑tiyi’-t(1/n)∑y’=a1=22

(1/n)∑xi-x(1/n)∑xi(1/n)∑ti-t(1/n)∑ti得a0=2.453620→a=ea0=11.6304a0=-0.176662→b=-a=0.176662相关系数n∑xiyi-∑xiyir =

[n∑xi2–(∑xi)2][n∑yi2–(∑yi)]2=0.9997yt=70/[1+11.6304e-0.176662t]%2)求转折点y’=[K/(1+ae-bt)]’=-K[-b·ae-bt]/(1+ae-bt)Kabe-bt/(1+ae-bt)2dy/dx=Kbae-bt(ae-bt-1)/(1+ae-bt)32

2

2

2=令y”=0,→a=ebt,→bt=lna→t=(lna)/b即转折点为((lna)/b,K/2]t=(lna)/b=ln11.6304/0.176662≈13.89≈14y=K/2=70/2(%)即:当t =14,即1983年为缝纫机市场需求量转折点,1983年,我国缝纫机普及率为35% .研究转折点原因:由于持续增长率将开始下降,如无其他原因,将逐步趋于饱和.a)生产增长速度亦应下降,生产规模不要再扩大;b)库存尽可能不要积压;c)应重点抓住更新如促销手段,增强竞争力;d)加紧试制新品,以便及时转向. 三.转折点公式:1.对公式yt=K/[1+ae-bt],有[(lna)/b,k/2]2.对公式yt= 1/(k+a bt) ,有[(ln k –ln a)/ln b,1/(2k)]2004/11/8