第３２卷第ｌ１期２０１３年ｌ１月 数学教学研究 １５ 强化学生数学辩证思维能力培养之研究 龚彦琴 （－－州职业技术学院基础教学部，甘肃兰州７３００７０） 根据课改新理念要强化学生辩证思维能 力的研究，许多教师发表了有关这方面的文 章．特别是写有关微积分是提升学生数学思 维与方法的能力的最理想内容的文章很多． 众说纷纭，归纳起来不外乎是：由于微积分不 但研究常数，而且还涉及到变量与常量的相 互转化；由于微积分中引进了“以直代曲”的 思维等等．各有其理，但要么只谈了局部的理 由，要么只作了浅层面的说明．鉴于此，笔者 认为有必要从哲学的视角，辩证的观点，作深 层次追本溯源，谨供读者参考． １变换思维方法 所谓数学变换思维方法，就是在研究和 解决数学问题时采取迂回的手段来达到目的 的一种思维方法，就是把将要解决的问题先 进行变换，使之转化．具体的讲，将复杂问题 通过变换转化成简单的问题；将难的问题通 过变换转换成容易的问题；将未解决的问题 通过变换转化成已解决的问题．其变换思维 方法的逻辑路线图如图１所示． 图１ 以下３个方面的实例，详细阐述了变换 思维方法在高等数学中的作用和意义．它的 主要功能还在于启示我们寻求进一步解决问 题的途径和方法． ｒ １ 例Ｉ 求不定积分Ｊ 如・ 解 因为 １ ｓｉｎｚ —｝－ＣＯＳ２Ｘ ＿—一 —ｓｉｎ ｘ。 ｃｏｓ 。ｚ Ｓｌｒｒ ｘｃ ｏｓ ：＝＝ １ 十 ． １ ’ 所以 Ｉ 一Ｊ． 如＋．『 如 ＝ｔａｎ ｚ—ｃａｔ ｚ＋ｃ． 点评通过三角恒等变换，将复杂的问 题通过表达式的变形，变换成易解决的简单 问题． 纳皮尔等人在１６世纪末为了简化大数 字乘方的数值计算创立了对数法． 例２计算Ａ一口｛６吾ｃ专的值． 解两边取对数得 ｌｇ Ａ＝ｌｇ口｛６．｝ｃ｛ ＝ｌｇ ａ＋ｌｇ ＋ｌｇ ｃ 一 ｌｇ ａ＋吉ｌｇ ６＋专ｌｇ ｃ， 贝Ⅱ Ａ一１Ｏ（｛ｌｇｎ＋吾ｌｇ６＋专ｌ譬ｃ）． 点评若用常法，先做方根，后做乘法， 运算量大，但我们利用映射来做乘法转化为 加法，方根运算变换为除法运算．大大减小计 算量． 例３证明：若函数厂（ ）在闭区间［ｏ， １］上连续，则 Ｉ。ｆ（ｓｉｎ ）ｄｘ—Ｉ，工。 ｆ（ｃｏｓ ｚ）ｃｌｘ． 证明 引入参数ｆ，设 ＝罢－－ｔ，则如 １６ 数学教学研究 第３２卷第１１期２０１３年１１月 一一ｄｔ，ｆ（ｓｉｎ ）一ｆ（ｃｏｓ￡）．当Ｘ一０，ｔ＝ 丌－５－；当ｚ一要，ｔ一０．则 ｓｉｎ ｘ）ｄｘ 一一胁０ ｃｏｓ ｔ）ｄ ｒ号 一Ｉ ｆ（ｃｏｓ￡）ｄｔ， 即Ｉ ｆ（ｓｉｎ ）ｄｘ＝Ｉ ｆ（ｃｏｓ ｚ）ｄｘ． 从以上实例可以看出，变换思维方法，由 于它的灵活性，应用比较广泛，数学中的很多 解题方法都可归到数学变换法中．但也有其 局限性，主要是因为它只能是结构形式的变 化，不能深入到本质的转化，因此，还必须将 “变换”延伸到事物发展变化的根本原因，即 事物的内在矛盾“转化”． ２辩证思维方法 ２．１从认识论和方层面追本溯源 所谓辩证思维方法，就是在研究解决数 学问题时，在辩证思想的指导下，利用事物内 部的对立统一规律（矛盾转化的方法），将未 知的问题转化为已知的，再由已知的转化成 要解决的问题．其转化思维方法的逻辑路线 图如图２所示． 图２ 例４导数概念中所蕴涵的辩证思维方 法． 实质：为寻求变量变化的瞬时速度而抽 象出的数学模型． 定义（略述）：设函数 一，（ ），ｘＥＤ，．ＴＯ ∈Ｄ，若极限 ｌｉｍｆ（ｘ）－ｆ（ｘｏ）． 一ｌｉｍ ｘ－，．ｘｏ 一ｌｉｍ △ 存在，则称该函数在Ｘｏ点可导，记作 一ｆ（Ｘｏ）． 新问题引出的新矛盾：宏观与微观的矛 盾，具体地讲，区间上的平均变化率与一点的 变化率之间的矛盾． 解决矛盾的方法：“欲进而先退”的迂回 方法．具体地讲，欲求一点的变化率，从该点 出发，先退回求平均变化率，然后再反方向用 极限的方法进而求出该点的变化率． 蕴涵的辩证方法：一是“进”与“退”的互 补；二是精确与近似互转；三是宏观与微观的 对立统一． 例５ 积分概念中蕴涵的辩证思维方 法． 实质：求变量的总和的数学模型（例求曲 边梯形的面积． 定义（略述）：设函数 一厂（ ），ｚ∈［口， ６］，若对区间［ｎ，６］，任意 分割，若极限 ｉ ∑厂（８）△五存在，则称该函数在Ｉ－ａ，ｂ－１上 可积，记作 ｉｍ ∑ｆ（￥ｉ）Ａｘ —Ａ—Ｉ ｏ，（ ）如． 新问题引出的新矛盾：“直”与“曲”的矛 盾（以曲边梯形面积为其几何模型）． 第１步“化整为零”，即Ａ一∑△Ａ ； 第２步“以直代曲”，即△Ａ≈ ； Ｈ 第３步“积零为整”，即∑ 一 ； 第４步“无限求和”，即 ＾’ Ｕ ｉ ∑ 一１ 一Ａ． 蕴涵的辩证思维方法：一是“分”与“合” 的互转；二是“直”与“曲”的互转；三是量与质 第３２卷第１１期２０１３年１１月 数学教学研究 １７ 的互转．由于微积分两个基本概念蕴涵辩证 思维方法，所以在以它们为基础而建立起来 的微积分必然充满辩证思维方法． 反之，从微积分中蕴涵的辩证思维方法为 解因为 １ ／（ ）＝Ｅｘ（ｅ￣－－１）一告 ］ 一ｅｚ一１＋ ｅｆ－－Ｘ 实例去认识和理解哲学中的基本规律：对立统 一（ 一１）（ ＋１）， 一规律、质量互变规律、否定之否定规律等既 具体又深刻，从这侧面可以更好的说明英国大 哲学家、逻辑学家、数学家罗素（ｒｕｓｓｅｌｌ，１８７２— １９７０）的名言：“没有数学，我们无法看透哲学 的深度”的真理性．也可更好的理解哲人所说， 数学特别是微积分是朴素的哲学． ２．２从应用层面剖析说明 由于微积分中引进了辩证思维方法，将 初等数学解题中常用的各种形式“变换”方 法：图形变换、知识点变换、途径变换、射映变 换等，延伸到矛盾“转化”． 下面通过一些实例来说明这个问题． 初等数学只能求某些特殊函数的极值， 例如二次函数Ｙ—ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０），有极 小值． —ｎ ＋ ＋ｃ（ａ＜Ｏ）有极大值．而学 了导数后我们可以求较为复杂的函数的极值 问题． 例６求函数厂（ ）一ｚ ｅ 的极值． 解函数定义域为Ｒ， ／（ ，）－￣２ｘｅ一 ～ｚ。ｅ一 ＝ｘ（２－－ｘ）ｅ一 ． 令／（ ）：＝：０，得ｘ＝０或 ＝２． 当ｚ＜０或ｚ＞２时，厂（１ｚ）＜０，所以函 数厂（ｚ）在（一∞，Ｏ），（２，＋。ｏ）上是减函数； 当０＜ｚ＜２时，／（ｚ）＞０，所以函数 ，（ｚ）在（０，２）上是增函数． 故当ｘ＝０时，函数取得极小值，（Ｏ）＝ ０，当ｘ＝２时，函数取得极大值 （２）＝４ｅ＿。． 初等数学只能判断某些简单函数的单调 性．对于一些复杂函数则不宜判断其单调性． 但学习了导数后，我们可以判断任意能求导 数的初等函数的单调性． １ 例７设函数，（ ）－－ｘ（ｅ＝一１）一告 。，厶 求函数．厂（ｚ）的单调区间。 令／（ ）－－－０得 一一１或ｘ＝０．所以当ｚ∈ （一∞，－１）时，／（ ）＞ｏ；当 ∈（～１，ｏ）时， ／（ ）＜ｏ；当 ∈（０，＋∞）时，／（ ）＞０．故 （ｚ）的单调递增区间是（一∞，一１）Ｕ（０，＋ ｏｏ）；单调递减区间是（一１，Ｏ）． 对于初等数学无法解决的函数的凹凸 性，利用微积分将判曲线凹凸性问题转化为 求某一函数值的符号问题． 例８判断曲线 — －－２ｘ。＋３的凹凸 性． 解因为函数 — 一２ｚ。＋３在区间 （一∞，＋。。）上连续，且 ｖ ＝４ｘ３－－６ｘ２， 一１２ｘ２—１２ｘ＝１２ （ 一１）， 当ｘ＜０或ｘ＞ｌ时， ＞０；当ｏ＜ｚ＜１时， ｄ０．所以曲线在区间（一∞，Ｏ）和（１，＋∞）内 是凹的，而在（Ｏ，１）内是凸的． 由此可见，辩证思维方法在解数学题和 实际问题方面有广泛的运用性和算法的优越 性． ３变换思维与辨证思维的综合应用 除以上所述外，还有一些数学问题的解 决，仅用单一的变换思维方法或辩证思维方 法是不够的，还需两种方法的综合运用．其变 换与转化思维方法的逻辑结构图如图３所 示． 图３ 例９求函数ｗ＝ｆ（ｚ，Ｙ，２） ＋ ＋ 在满足条件ｚ一１一 一字的最小值． 解引人参数．令ｘ－－１一￡，得ｘ＝ｔ＋１． １８ 数学教学研究 第３２卷第ｌ１期２０１３年１１月 于是，由已知条件有 一２￡一１，ｚ＝３ｔ＋２． 从而， 叫一ｚ。＋ 。＋ ＝（ｆ＋１）。＋（２￡一１） ＋（３ｔ＋２）？ ＝１４ｔ ＋ｌＯｔ＋６。 。 一（１４ｔ。＋ｌＯｔ＋６） ＝２８ｔ＋１０， 当Ｗ！－＿２８ｔ＋１０＝０，即 一一矗时，函数 ＝＝＝ ｆ（ｘ，Ｙ，２）＝ 。＋ ＋ 取得最小值． 再消去参数ｔ，便得：当ｚ＝譬， ＝ 一 ， ＝ １３时，函数硼＝ ＋ 。＋ 在满足 上述条件下取得最小值，且其最小值为 。＋ ＋ 。 ． 一（ ）。＋（一 ）。＋（鬟） ５９ ：＝一 １４’ 点评首先利用变换思维方法引入参 数，将一个多元函数的有关条件极值问题转 化为二次函数的有关极值问题；其次利用辩 证思维方法，将二次函数的有关极值问题转 化为求一元一次方程的根的问题． 例１０求 （刍一 ）． 解这是∞一∞型的未定式，首先经过 变换可将其化为苦型的未定式． （ｘ土－１一 ） 一 ｘｌｎ 一（ —１） ＿ｉ ：錾 ｚ ＋ｌｎ －－１ ｌｉｍ ．ｘ ＝—１ｌｎｎ ＋ — Ｉｎ ｘ ‘ １一 ＋ｌｎ ｚ 喵 一坚 Ｔｊ ： １ｔ ｌ 一． Ｌ 。 ： ２。 点评首先利用变换思维的方法将ｏ。一 ｏ。型的未定式转化为苦型的未定式；其次利 用辩证思维方法，将不易求解的 型的未定 式，通过两次用洛比达法则将问题解决（实则 将函数求极限问题转化为其一阶导数求极 限，化难为易）． 总之，许多解题方法都是辩证思维的具 体体现，因此在教学中，应重视培养学生用辩 证思维与方法去思考问题，用对立统一观点 去观察问题、分析问题、转化问题、解决问题． 从而，在解决问题时能够有所遵循，从根本上 提高解题能力．进而在分析问题、解决问题的 过程中提升学生辩证性能力，培养良好的思 维品质和科学的世界观． 参考文献 ［１］邝荣雨．数学分析中的两种基本思想方法—— 转换与估值［３－１．数学通报。１９９５。（９）． Ｅ２ｌ周宇剑．基于思堆能力培养的微积分概念教学 ［Ｊ］．湖南科技学院学报，２ＯｌＯ，（４）． Ｅ３］贺胜平．在微积分教学中培养学生的辩证逻辑 思维能力口］．重庆职业技术学院学报，２００５， （４）． （收稿日期：２０１３－０９－０６）
