2020-2021高三八省大联考金牌测试卷（一）
注意事项：
1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.
4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1. 已知集合𝐴={1,2，3，4}，𝐵={2,4，6，8}，则𝐴∩𝐵中元素的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 命题p：∀𝑥≥0，𝑥2−𝑎𝑥+3>0，则￢𝑝为( )
A. ∀𝑥<0，𝑥2−𝑎𝑥+3≤0 C. ∀𝑥≥0，𝑥2−𝑎𝑥+3<0
B. ∃𝑥≥0，𝑥2−𝑎𝑥+3≤0 D. ∃𝑥<0，𝑥2−𝑎𝑥+3≤0
⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6)，则|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( ) 3. 设向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴=(3,−2)，𝐴𝐶
A. 2√6 B. 5 C. √26 D. 6
4. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，
广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )
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A. 128𝜋平方尺 B. 138𝜋平方尺
1
C. 140𝜋平方尺 D. 142𝜋平方尺
5. 已知𝑥>−2，则𝑥+𝑥+2的最小值为( )
A. −2
1
B. −1 C. 2 D. 0
6. 若直线𝑙1：(𝑚−2)𝑥−𝑦−1=0，与直线𝑙2：3𝑥−𝑚𝑦=0互相平行，则m的值等
于( )
A. 0或−1或3 B. 0或3 C. 0或−1 D. −1或3
(𝑥2−2𝑥−3)的单调递减区间是( ) 7. 函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔12
A. (−∞,1) B. (−∞,−1) C. (3,+∞) D. (1,+∞)
8. 若𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，在(−∞,0]上是减函数，且𝑓(2)=0，则使得
𝑓(log2𝑥)<0的x的取值范围是( )
A. (0,4)
C. (0,4)∪(4,+∞)
1
B. (4,+∞) D. (4,4)
1
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有 选错的得0分.） 9. 函数
列命题中的真命题是( )
的部分图象如图所示，下
A. 将函数𝑓(𝑥)的图象向左平移3个单位，则所得函数的图象关于原点对称 B. 将函数𝑓(𝑥)的图象向左平移6个单位，则所得函数的图象关于原点对称 C. 当𝑥∈[2,𝜋]时，函数𝑓(𝑥)的最小值为−√2
6
D. 当𝑥∈[2,𝜋]时，函数𝑓(𝑥)的最大值为√ 2
𝜋𝜋
𝜋
𝜋
𝑦10. 已知曲线C的方程为𝑘𝑥()，则下列结论正确的是( ) 2−2−6−𝑘=1𝑘∈R
22
A. 当𝑘=8时，曲线C为椭圆，其焦距为4√15 B. 当𝑘=2时，曲线C为双曲线，其离心率为√3 C. 存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D. 当𝑘=−3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(𝑥−4)2+𝑦2=9相切
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11. 已知数列{𝑎𝑛}是等差数列，前n项和为𝑆𝑛，满足𝑎1+5𝑎3=𝑆8，给出下列结论中一
定正确的选项是( ) ．．
A. 𝑎10=0 B. 𝑆10最小
C. 𝑆7=𝑆12
D. 𝑆20=0
12. 下列说法不正确的是( )
A. 若x，𝑦>0，𝑥+𝑦=2，则2𝑥+2𝑦的最大值为4 B. 若𝑥<2，则函数𝑦=2𝑥+2𝑥−1的最大值为−1 C. 若x，𝑦>0，𝑥+𝑦+𝑥𝑦=3，则xy的最小值为1 D. 函数𝑦=√𝑥2+2的最小值为4
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个
球的体积为______． 𝐹2分别是双曲线−14. 如果𝐹1，
16
𝑥2
𝑦29
𝑥2+61
1
AB是双曲线左支上过点𝐹1的弦，右焦点，=1的左、
且|𝐴𝐵|=6，则△𝐴𝐵𝐹2的周长是______ ．
15. 在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1−𝑎5=−2，𝑆4=−5，则𝑎4=
______ ．
15
16. 如图，△AB𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且满足(𝑏+𝑐)cos𝐴=𝑎(2−cos𝐵−cos𝐶)，𝑏=𝑐，设∠𝐴𝑂𝐵=𝜃(0<𝜃<𝜋)，OA=2OB=4，则四边形OACB面积的最大值为________．
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.） 17. 在①𝑐𝑜𝑠2𝐵−√3𝑠𝑖𝑛𝐵+2=0，②2𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶=2𝑎−𝑐，
任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若____，且a，b，c成等差数列，则△𝐴𝐵𝐶是否为等边三角形⋅若是，写出证明;若不是，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
三个条件中
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18. 已知等差数列{𝑎𝑛}的公差𝑑≠0，𝑎1=1，且𝑎1，𝑎3，𝑎
(1)求数列{𝑎𝑛}的公差d及通项𝑎𝑛； (2)求数列{2𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛．
9成等比数列．
发现其19. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，
注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当𝑡∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当𝑡∈(14,40]时，曲线是函数𝑦=log𝑎(𝑡−5)+83(𝑎>0且𝑎≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果
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最佳．
(1)试求𝑝=𝑓(𝑡)的函数关系式；
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．
20. 如图，点P是菱形ABCD所在平面外一点，∠𝐵𝐴𝐷=60°，△𝑃𝐶𝐷是等边三角形，
𝐴𝐵=2，𝑃𝐴=2√2，M是PC的中点．
(Ⅰ)求证：𝑃𝐴//平面BDM； (Ⅱ)求证：平面𝑃𝐴𝐶⊥平面BDM；
(Ⅲ)求直线BC与平面BDM的所成角的大小．
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𝑥𝑦
21. 已知椭圆𝐶：𝑎+=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分2𝑏2
2
2
别为𝐹1、𝐹2，离心率为2，直线𝑦=1与C的两个交点间的距离为
4√6
． 3
1
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
B两点，(Ⅱ)分别过𝐹1、𝐹2作𝑙1、𝑙2满足𝑙1//𝑙2，𝑙2与C的上半部分分别交于A、设𝑙1、求四边形𝐴𝐵𝐹2𝐹1面积的最大值．
22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥(𝑙𝑛𝑥−𝑘−1)，
．
(1)当𝑥>1时，求函数𝑓(𝑥)的单调区间和极值；
(2)若对于任意𝑥∈[𝑒,𝑒2]，都有𝑓(𝑥)<4𝑙𝑛𝑥成立，求实数k的取值范围； (3)若𝑥1≠𝑥2，且𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)，证明：𝑥1⋅𝑥2<𝑒2𝑘．
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