高中数学高考重点难点讲解函数图像与图像变换

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场

(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围.

●案例探究

［例1］对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.

命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目. 知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.

错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化. 技巧与方法：数形结合、等价转化.

(1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)=

(2ax0)x02f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图象上，而=a,

∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.

［例2］如图，点A、B、C都在函数y=x的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).

(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；

(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.

命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.

知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口. 错解分析：图形面积不会拆拼. 技巧与方法：数形结合、等价转化.

解：(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B

11=2(A′A+C′C)=2(aa2),

1g(a)=S△A′BC′=2A′C′·B′B=B′B=a1.

1(2)f(a)g(a)(aa22a1)21111[(a2a1)(a1a)]()022a2a1a1a ∴f(a)1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.

2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视. ●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★)当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图象只可能是( )

2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )

二、填空题

3.(★★★★★)已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________. 三、解答题

4.(★★★★)如图，在函数y=lgx的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1).

(1)若△ABC面积为S，求S=f(m); (2)判断S=f(m)的增减性.

35.(★★★★)如图，函数y=2|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，3AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>2)是△ABC的BC边的中点.

(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t); (2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标.

1x6.(★★★★★)已知函数f(x)是y=101－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－x2的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x). (1)求函数F(x)的解析式及定义域；

(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由.

21x7.(★★★★★)已知函数f1(x)=,f2(x)=x+2,

2(1)设y=f(x)=

x[1,0)f1(x), x[0,1]3f2(x), ，试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周

所得几何体的表面积；

(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a的范围.

1(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，2］，求b的值.

18.(★★★★★)设函数f(x)=x+x的图象为C1，C1关于点A(2，1)对称的图象为C2，C2对应的

函数为g(x).

(1)求g(x)的解析表达式；

(2)若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标；

9(3)解不等式logag(x)参

难点磁场

解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1，0)，

∴f(x)=a+b+c①,又有f(－1)＜0,即－a+b－c＜0②,①+②得b＜0,故b的范围是(－∞,0) 解法二：如图f(0)=0有三根，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax,∴b= －3a,∵a>0,∴b＜0. 歼灭难点训练

一、1.解析：∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1.故选择支B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合. 答案：A

2.解析：由题意可知，当x=0时，y最大，所以排除A、C.又一开始跑步，所以直线随着x的增大而急剧下降. 答案：D

二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x>－2) F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2)

x1x11loglog2222(x2)2x4x4x4x4x1=log2 log211x12x1log2∵x+1>0,∴F(x)≤

(x1)

12(x1)12x1log214=－2

1当且仅当x+1= x1,即x=0时取等号.

∴F(x)max=F(0)=－2. 答案：－2

三、4.解：(1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C. (2)S=f(m)为减函数.

335.解：(1)依题意，设B(t,2 t),A(－t, 2t)(t>0),C(x0,y0). 3ty0tx022∵M是BC的中点.∴2=1, =m.

33∴x0=2－t,y0=2m－2t.在△ABC中，|AB|=2t,AB边上的高hAB=y0－2t=2m－3t. 11∴S=2|AB|·hAB= 2·2t·(2m－3t),即f(t)=－3t2+2mt,t∈(0,1).

m0132m3mmm32 (2)∵S=－3t2+2mt=－3(t－3)2+3,t∈(0,1],若，即2＜m≤3,当t=3时，m2m3mSmax=3,相应的C点坐标是(2－3, 2m),若3>1,即m>3.S=f(t)

∴Smax=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3).

(0，1］上是增函数，

1xx6.解：(1)y=101－1的反函数为f(x)=lg1x(－1＜x＜1). 1x11由已知得g(x)=x2,∴F(x)=lg1x+x2,定义域为(－1，1).

1x2(2)用定义可证明函数u=1x=－1+x1是(－1，1）上的减函数，且y=lgu是增函数.∴f(x)是(－

1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A、B.

21x2,x[1,0)x1,x[0,1]7.解：(1）y=f(x)=.图略.

y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+2)π. (2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a的取值范围为2－2＜a≤1.

531(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，2］，则可解得b=2.

18.(1)g(x)=x－2+x4.(2)b=4时，交点为(5，4)；b=0时，交点为(3，0). 9(3)不等式的解集为{x|4＜x＜2或x>6}.