用复杂网络理论研究疾病的传播

２００５年１２月重庆师范大学学报（自然科学版）Ｄｅｃ．２００５星丝查星兰塑！型翌型堕曼皇！！盟！坚盟！竺生旦！堕坐ｆ翌翌堡！竺竺兰！！生竺２∑！！：丝翌！：兰用复杂网络理论研究疾病的传播＋孙胜秋（北京交通大学理学院，北京１０００４４）摘要：概述了用复杂网络的理论来研究两个传染病模型，即ＳＩＲ模型和ＳＩＳ模型，吡及在这两个模型中如何计算疾病的传播闯值。由复杂网络的局部渐近性质——在图中节点的总个数趋于∞时，图具有局部树形结构，可知ＳＩＲ模型可以用分支过程理论来研究，从而根据母函数的方法可得到一些很好的性质＝而ＳＩＳ模型可以通过平均场的理论得毗理解，且知不论在度相关Ｓｃａｌｅ—Ｆｒｅｅ网络中还是度不相关Ｓｅｓｌｅ－Ｆｒｅｅ网络中都不存在非零传播阈值。关键词：复杂网络；度分布；渗流；传播阉值中图分类号：ｍ１１１２；Ｒ１８１．２＋５文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—６６９３（２００５）０４—０００１—０５ＳｔｕｄｙｏｆＤｉｓｅａｓｅＳｐｒｅａｄｉｎｇ－ＵｓｉｎｇｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＣｏｍｐｌｅｘＮｅｔｗｏｒｋｓＳＵＮＳｈｅｎｇ—ｑｉｕ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉｊｉｎｇＪｉａｏＴｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｔＢｅｉｊｉｎｇ１０００４４，Ｃｈｉｎａ）ＩＬｅｃｅ／ｔｔｔｏＡｂｓｔｒａｃｔ：ＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｒｅｖｉｅｗｂｒｉｅｆｌｙｔｈｅｍｏｄｅｌａｎｄＳＩＳｍｏｄｅｌａｎｄｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｈｏｗｔｈｅｌｏｃａｌａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｉｎｌｉｔｅｒａｔｕｒｅａｂｏｕｔｔｈｅｔｗｏｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓｄｉｓｅａｓｅｓｍｏｄｅｌｓ：ＳＩＲｔｗｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｔｈｒｅｓｈｅｌｄｉｎｖａｌｕｌｅｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌｓＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔａｃｏｍｐｌｅｘｎｅｔｗｏｒｋｓ，ｗｈｅｎｔｈｅｐｉｔｃｈｐｏｉｎｔｎｕｔｉｔｂｅｒｉｎｔｈｅｇｒａｐｈｇｏｅｓＳＩＲｍｏｄｅｌｔｏｉｒｆｆｉｎｌｔｙ。ｔｈｅｇｒａｐｈｉｓｌｏ－ｔｏｃａｌｌｙｓｈａｐｅｄｉｎｔｏｔｒｅｅ－ｌｉｋｅｓｔｕｅｔｔｔｒｅｂｅｓｔｕｄｉｅｄｕｓｉｎｇｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｂｒａｎｃｈｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ．Ｉｔｌｅａｄｓｇｅｔｓｏｍｅｇｏｏｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ＳＩＳｍｏｄｅｌｗｈｅｔｈｅｒｉｎｄｅｇｒｅｅｃｏｒｒｅｌａｔｅｄＳｃａｌｅ—ＦｒｅｅｎｅｔｗｏｒｋｓｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｔｈｒｅｓｂｏｈｔｏｒｂｅｕｎｄｅｍｍｏｄｂｙｔｈｅｍｅｓＪｆｌｆｉｅｌｄｔｈｅｏｒｙ．ａｎｄｎｏｔｉｎｄｅｇｒｅｅｕｎｃｏｎ＇ｅｌａｔｅｄＳｃａｌｅ—Ｆｒｅｅｎｅｔｗｏｒｋｓ。ｔｈｅｒｅｄｏｅｓｅｘｉｓｔＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘｎｅｔｗｏｒｋｓ；ｄｅｇｒｅｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｐｅｒｃｏｌａｔｉｏｎ；ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｔｈｒｅｓｈｏｌｄ疾病的传播可看作是一个随机复杂网络，在这里用点代表可能通过传染或感染影响疾病传播行为的个体，如果两个个体之间通过某种方式可能直接发生传染与被传染的关系，就在他们之间连一条边。ｌ模型把人划分为３类：易感类（ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ，此类人并未染病但会被传染类个体传染），传染类（ｉｎｆｅｃｔｉｖｅ，此类人已患有疾病并会传染给其他人），康复类（ｒｅ－ｃｏｖｅｒｅｄ，此类人已从疾病中康复过来，并具有免疫力）。ＳＩＲ模型用于研究这３类人的数量随着时间的变化规律。用Ｓ（ｔ），，（ｔ），Ｒ（ｔ）表示这３类人在某时刻ｔ的数量，ｓ（￡）＝Ｓ（ｔ）／Ｎ，ｉ（￡）＝，（ｔ）／Ⅳ，ｒ（ｔ）＝Ｒ（ｆ）／Ｎ，用口表示单位时间内任意易感类个体被一传染类个体传染的一致概率，ｙ表示单位时间内传染类个体康复并具有免疫力的比率，则此模型可用下列微分方程来描述：两个传统的传染病模型先介绍两个传统的传染病模型，此模型被称为充分混合模型。在此模型中，假定在网络中任意两个节点之间都可能存在传播疾病的边，相当于在完全图上讨论问题”“ｏ。１．１ＳＩＲ模型１９世纪２０年代ＬｏｗｅｌｌＲｅｅｄ和ＷａｄｅＨａｍｐｔｏｎＦｒｏｓｔ…最初构建了ＳＩＲ模型（充分混合模型）。该收稿日期：２００５·０９—０５资助项目：国家自然科学基金重点项目（Ｎｏ１０５３１０７０）作者简介．剥、胜秋（１９８２一），女，山东临沂』、，硕｛：研究生，研究方向为复杂网络。万　方数据２重庆师范大学学报（自然科学版）第２２卷一ｄｔ２一胁，面２肛一Ｔｔ，面２Ｔ。１．２ＳＩＳ模型并不是任何疾病其康复者都会对这种病产生免疫力，一些不能自我控制但能通过药物治疗的疾病，康复的人通常会被病人再次传染上。结核病和淋病是两个大量研究的例子。计算机病毒也属于这种类型（计算机可以通过杀毒软件清除其中的计算机病毒，却抵御不了病毒的再次袭击）。所谓的ＳＩＳ模型就是携带这种病的人治愈后不是从传染类转到康复类，而是转回到易感类。此模型可用微分方程描述：老＝巾＋＇ｙｉ，面ｄｉ＝膨一Ｔｉ在上述２个模型中，虽然给出了疾病传播的基本的动力系统，但在实际生活中是不现实的，因为疾病只能在有实际身体接触的人之间传播，而在上述模型中任意人都有可能被所有病人传染，亦即疾病传播网络中所有结点具有相同的度（结点的度是指它连接边的个数）。在现实世界的疾病传播中，有必要考虑度分布不均匀的情况”１（度分布是指具有某个度的结点出现的概率分布）。近年来文献中有不少关于疾病在任意度分布网络中传播的研究‘８“３。笔者已经严格证明了在度序列给定的随机图中，有一个渐近局部性质：在图中节点的总个数趋于＊时，随机选择一个点ｙ，距离它小于等于ｍ的所有点形成的导出子图Ｌ（ｙ）无圈。在巨大分支还没出现的情况下，分支的大小都是有限的，结果表明有限分支包含圈的概率是趋于０的，是一个树形结构，所以可用Ｇ—Ｗ分支过程的理论来讨论疾病在任意度分布网络中传播的性质。本文简要介绍如何把传统的疾病传播模型推广为任意度分布网络上的传染过程。把传统的ＳＩＲ模型推广到任意度分布网络之上的传染过程，在数学上可以把它看作在同一个网络上的边渗流过程”ｏ。在疾病传播网络中，边以一定概率丁传播疾病相当于边渗流理论中边以一定概率ｒ被占据，从而可以根据渗流模型得到有关传染病的预测情况。比如疾病爆发规模的分布，疾病的传播闽值，以及相变发生后传染病规模的大小。万　方数据下面所介绍的这个ＳＩＲ模型，是讨论随机出现一个病人，在给定度分布的网络上传播疾病的过程，而源于很多实际情况。它描述某疾病有一个传染源，再在人群中传播开来的过程，例如ＳＡＲＳ疾病的传播。作为初步近似，假定个体对之间的传播概率。与传染类个体的患病周期ｎ均是同分布的。２．１．１度不相关网络在本小节简要介绍度不相关网络中几个重要的量。以Ｐ（ｋ’ｌｋ）记以从网络中ｋ度点出发到达ｔ’度点的概率。所谓度不相关网络，是指Ｐ（ｋ７Ｉｋ）与ｋ无关。假设网络中具有某个度ｋ的节点出现的概率（度分布）是Ｐ。。对ｘ∈［０，１］，记Ｇ。（ｍ）＝三ｐ。ｘ‘，称Ｇｏ（ｘ）为｛ＰＩ｝的母函数（母函数是研究非负整数值随机变量的有力数学工具）。在度不相关网络中，从任意点出发，到达一个度为ｔ的邻居点的概率为黾。记吼一ｔ＝妻ＺＪ≥Ｐｉ或吼＝…乙ｊｐ。坐ｊ：；：；睑，叽表示以任意点出发到达一个邻居点，厶强ｊ而这一邻居点另外还有ｋ个邻居（称ｋ为出度）的概率（在这里邻居是指有边相连的结点）。记｛吼｝的母函数为Ｇ。（ｚ）＝∑ｑｋｚ‘。以Ｈ，（ｚ）记在网络中随机选择一条边，该边所到达的有限分支的节点个数分布所对应的母函数。以凰（ｘ）表示在网络中随机选择一点，该点所在分支的节点个数所对应的母函数。可以得到日．（ｚ）＝ｘｑｏ＋ｘｑｌ日１（ｚ）＋ｘｑ２［Ｈ１（Ⅲ）］２＋…＝ｘＧｌ（Ｈｌ（ｚ））１４０（ｚ）＝ｘｐｏ＋ｘｐｌⅣｌ（ｚ）＋ｘｐ２［Ⅳｌ（ｘ）］２＋…＝ｘＧｏ（Ｈｌ（￥））笔者已证明网络中渐近地无圈，因此上述公式渐近地成立。由上述二公式可得随机选择点所在有限分支的平均大小（ｓ）＝１ｔ＇ｏ（１）＝１＋＃蒜－一Ｌ，１ＬＪ当Ｇ’．（１）＝１时，（ｓ）＝＊，相变发生，出现巨分支。巨分支所占比例大小Ｓ＝１一有限分支所占比例大小，因此皿（１）＝Ｇ。（哦（１）），Ｓ＝１一峨（１）＝１一Ｇｏ（Ｈ．（１））设ｕ是Ｇ。（“）＝ｕ的最小非负实数解，由上式知日，（１）＝“，故Ｓ＝１一ｃ０（ｕ）。而ｕ＝ｔｔ，（１）是随机边到达有限分支的概率。２．１．２任意度分布网络中疾病的传播具体描述这个传播过程：随机出现的一个病人，通过与其邻居２现实世界中的传染病模型２．１任意度分布的ＳＩＲ模型第４期孙胜秋：用复杂网络理论研究疾病的传播３接触，把病传给这些邻居，然后每个邻居再各自进行接触传播，如此进行下去，就可知道在整个网络中疾病的传播情况。假设ｉ是传染类个体』是易感类个体，ｉ把病传播给，的概率是ｏ，个体ｉ的患病周期为ｆ．，个体康复后不会再传染他人，记ｔ，为ｉ传播疾病给Ｊ的概率。则ｉ与Ｊ之间不传播疾病的概率为当Ｔ＞Ｔ时，巨分支产生，在这里称之为有瘟疫发生，即疾病爆发。瘟疫影响人所占比例大小Ｓ（ｒ）＝１一‰（１，，）＝１一ｃ０（“，ｒ）这里“；Ｈ．（１，Ｔ）是ｕ；Ｇ。（ｕ，Ｔ）的最小非负实数解。ｕ表示随机边到达一有限分支的概率。一个一度点不受瘟疫影响的概率”＝１一Ｔ＋儿，这是因为与这点相连的边没有被占据的概率为１一Ｔ，与这点相连的边被占据但又指向一有限分支的概率为ｍ，故一度为ｋ的点不受瘟疫影响的概率为。‘，所以随机选择一度为ｋ的点且没受瘟疫影响ｌ一巧２舰（１一ｒ。釉叫“２ｅ”“，因此ｔ．＝１一ｅ”ｎ。设ｏ，ｔ均是同分布的随机变量，设其分布分别为Ｐ（ｒ），Ｐ（ｒ），则ｎ也是同分布的随机变量，由此可得任意两个人之间传播疾病的概率为的概率为茄，其母函数为哿’故不受瘟疫影响的点（巨分支以外的点）的平均度为口Ｇ’。（＂）屯ｍＴ＝＜％）＝１一【Ｐ（ｒ）Ｐ（７）ｅ～ｄｒｄ，＂，（０≤ｒ≤１）。从而在此网络中，每条边传播疾病的概率为ｒ，对应到渗流理论中，每条边被占据的概率为ｒ。从而若随机选择一个点的度为ｋ，与它相连的ｍ条边被占据的概率为ｃ？ｒ（１一Ｔ）“…，故随机出现的一个病人，传染疾病给其邻居的个数分布的母函数为２ｉ五ＦＳ２梨ｚ：皿二！型瓣（卜ｓ≤Ｈ）１一………Ｇ（＂）。Ｇ０（＊，Ｔ）＝Ｚ∑仇ｃ？ｒ（一）…ｘ。＝，却＾（一＋ｏ＊ｒ）‘＝（１＋（Ｔ１ＴＧｏ１＊一１）Ｔ）因为在任意度分布的网络中，随机选择点的邻点的出度分布的母函数为Ｇ。（ｘ）＝∑吼＊‘，所以随机出现的一个病人，其每个邻居传播疾病人数分布的母函数为皇丢苦三击，母函数为鱼导掣，所以受瘟疫ｇ—ｉｎ：糍：生坠Ｓ旦墼巩影响的点（巨分支以内的点）的平均度为一１一繇（＂）４一随机选择一度为ｋ的点且受瘟疫影响的概率为…。上式表明受瘟疫影响的点的平均度比不受瘟疫影响的点的平均度要大或至少相等。这跟实际情况吻合：在瘟疫发生时受瘟疫影响的人平均接触的人数要比不受瘟疫影响的人平均接触的人数要多。２．１．３度相关网络中的讨论在度相关网络中两邻点之间有某种相关性，即Ｐ（ｋ’ｌｋ）与ｋ和＾’都有关。以联合概率分布ｅｗ＝ｐ（ｋ’Ｉｋ）ｑ；表示随机选择的边的两端顶点的出度分别为ｋ和ｋ７的概率∑ｐ（ｋ’ｌｋ）＝１，ｅ“，＝ｅ“。Ｇ。（ｚ，Ｔ）＝ｚ∑吼ｃ？ｒ（一）…ｘ‘＝∑＾一同理日，（ｘ，Ｔ）＝ｘＧ。（Ｈ．（ｘ，Ｔ），Ｔ），风（ｘ，Ｔ）＝ｘＧ。（Ｈ，（ｚ，Ｔ），Ｔ）。Ｈｏ（ｚ，Ｔ）表示由随机出现的一个病人所在有限分支中被传染上疾病人数的分布的母函数，所以疾病爆发规模的平均大小为１ＴｘＴＧ１—１）Ｔ）从ｋ度点出发到达有限分支大小的母函数为吧：＝赤＝黜＝志时发蜘用（ｓ）表示随机变量ｓ的均值，当１一ＴＯ；（１）＝Ｏ时，变。即该疾病在此网络的传播阈值为∑和。１。一∑☆（％一１）Ｐ＾（ｓ）：＝日’。ｃ·，ｒ，＝－＋器＝，＋ｉ；；；；；；；ｉ万方数据　风（＊）＝＊旦—弋‘一，随机点所在整个分支大寺钆。∑ｅ。【风，（ｘ）］。小的母函数为日（ｘ）＝ｐ。ｘ＋＊王Ｐｄ砜一，（ｘ）］‘。当有巨分支出现时，巨分支所占比例大小Ｓ＝１一Ｐ。一Ｇ。（‰，），‰＝巩（１）＝上ｉ＿。这里‰表示从ｋ寺％７度点出发的随机边到达有限分支的概率。类似１．２节其它讨论，在此不再详细表述。２．２现实世界的ＳＩＳ模型∑ｅ从，ｕ∥”４重庆师范大学学报（自然科学版）第２２卷因为康复的病人不具有免疫力，有可能再次被传染上，疾病的传播过程对应到网络中就相当于存在圈，因此不能用分支过程的思想来刻画疾病的传播过程。文献中用另外一种统计物理的平均场方法来研究在任意度分布网络中ＳＩＳ模型疾病的传播。Ｐａｓｔｏｒ．Ｓａｔｏｒｒａｓ和Ｖｅｓｐｉ目ｌａｎｌ＿６’针对ＳＩＳ传染病给出了一个详细的平均场解法。用ｉ，５。分别表示度为ｋ的点中传染类个体和易感类个体各占比例。对于一个ｋ度的点，用ｋＡｏ（Ａ）来代替传统模型中的口．（见第二节）。它表示的是单位时间内间易感类个体被传染所占的比例，这里Ａ表示经接触一个传染类个体而被传染上疾病的概率。ｐ（Ａ）表示随机边到达的点属于传染类个体的概率。一般而言，日（Ａ）与顶点度数有关，但在后面的讨论ｐ（Ａ）中对所有结点都相同（这也是统计物理中平均场近似的思想）。作为初步近似，在下面的讨论中还假设传染类个体的康复概率，＝１。２．２．１度不相关情形在度不相关网络中，因为随在ｓｃａｌｅ—ｆｒｅｅ网络中不存在非零传播闽值。因为在ｓＦ网络中（ｋ２）一＊，所以Ａ。＝０，表明无论传播概率有多小，只要大于０，总会用瘟疫发生，Ｉｎｔｅｒ—ｎｅｔ网上疾病的传播就是这种情况。２．２．２度相关情形本小节在度相关的网络中运用度的平衡性来讨论是否存在传播阚值。所谓网络度的平衡性是指，从ｋ度点出发到达＆７度点的总边数等于从Ａ７度点出发到达ｋ度点的总边数，用公式表述为如俨（ｋ’ｌｋ）＝＆＿＾，Ｐ（ｋｌｋ’）。在度相关网络中，从一ｋ度点出发的边到达一％７度点的概率为Ｐ（ｋ’Ｉｋ），而该＆７度点为传染类个体的概率为ｉ。故从ｋ度点出发的边到达度为ｋ’的传染类个体的概率为Ｐ（ｋ’ｌｋ）ｉ。所以从ｋ度点出发的边到达的点为传染类个体的平均概率为口（Ａ）＝∑Ｐ（ｋ’１ｋ）ｉ∽从而在康复概率Ｔ＝１时，有微分方程机边到达一ｋ度点的概率为磐，而此点为传染类Ｌｙｙｐｊ些ｄｔ＝ｋａ０Ｕｔ）（１一ｉ。）一ｉ。即个体的概率为ｉ。，从而随机边到达的点是传染类个∑印。ｉ。掣叫ｍ）＋Ａｋ［１屯㈤】ｐⅢｔｋ）ｉ“ｆ）成立。若ｉ。（ｔ）的值很小，则（２）式的一阶近似为（２）体的平均概率为口（＾）２专忑■。从而在７２１时有以下微分方程成立。掣＝从日（Ａ）（１一“（ｔ））一ｉ（ｆ）考虑系统在一段时间以后的稳定状态，此时掣，乳““叭伊一“。…７’山其中￡Ⅲ＝一６“．＋ＡｋＰ（ｋ７ｌｋ）为Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵（６ｎ．是Ｋｒｏｎｅｅｋｅｒ业ｄｔ－０＇扣拦１Ａ‰ｋＯＭ吣）＝豢得～＋‘一＋（Ａ）’““”“’一∑如ｋ”（１）ｄｅｌｔａ函数）。当Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵￡“至少存在一个非负特征值时，“＝０不是上述方程的稳定解。而如果Ｌ。的特征值都严格小于０，则易知ｉ。＝Ｏ是上述方程的稳定解。设以。是矩阵ｃ。．＝细（％’１％）的最大特征值，则￡ｗ的特征值为一１＋ＡＡ。，所以当一１＋ＡＡ。＜０时，方程的解ｉ；＝０是稳定解。记Ａ。＝Ａ。～，由上述讨论知Ａ，是疾病的传播阈值。根据Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ定理，对任意的非负不可约矩阵（Ａ。），令／Ｌ。为其最大特征值，有口（＾）２南莩概——口（＾）＝击莩概—Ａｋ—０１＋ＡｋＯ（＆）表示随机变量的均值。有下面求ｉ。的非零稳定解。对（１）式两端求导，未（南军＂，盅）。≥ｔ即学：静巩趴：％，抓删，ｉ。（ｔ）在有限时间内减小到０，表明系统处于稳定状态时，疾病不会传播开来；而当Ａ≥＾。时，“（ｔ）有非零解，表明系统处于稳定状态时，网络中疾病以大于０的概率持续传播，因此有疾病爆发。称＾，为传播阈值。Ａｍ≥叩高善Ａａ，妒（６妒（ｋ）＝ｋ，Ａ＝ｃ２得７），（３）其中妒为任意的ｍ维向量。在上述讨论中特别令Ａ：≥ｎ÷ｎ善军＾’扣（１Ｉ＾）Ｐ（ｋ’１１）根据网络度的平衡性，有万方数据　第４期孙胜秋：用复杂网络理论研究疾病的传播５如伊（ｋ’ｌｋ）＝ｋ＇ｐＩｒＰ（ｋｌｋ’），（４）对（４）式两边同乘以＾，再对ｋ，∥求和，得到（ｋ２）＝善☆＿Ｆ；如（ｋＩｋ７）令；。（ｋ’）＝∑如（ｋｌ☆）表示＆’度点的最近邻的平均度，故（＾２）＝∑＆’‘．ｋ。（ｋ’）。在度相关ｓｃａｌｅ－ｆｒｅｅ网络中，可以证明如果幂率指数ｙ＜３时，（ｋ２＞随着节点增加而趋于＊，此时ｋ。（ｋ’）一＊，故有Ａ：≥ｎｉｎ王如（１Ｉｋ）ｋ。。（２）—＋＊，因此由上述的讨论知＾，＝０，即此时疾病传播的阈值为０。３结束语通过复杂网络的理论来研究疾病的传播，能深入理解到网络的拓扑结构对疾病传播有重要影响，从而找到控制疾病传播的更有效的方法，这对于社会上的很多流行病提供了一些理论研究的基础。本文介绍的两个模型只是真实情况的简单抽象，能够说明一些问题，当然也存在一些与实际不符的地方，比如缺少与实际传染病学和计算机病毒学所对应的参数等。因此建立更加真实的模型，并在此基础上研究疾病的传播是目前一个很重要的课题。参考文献：［１］ＡＮＤＥＲＳＯＮＲＭ，ＭＡＹＲＭ．ＩｎｆｅｃｔｉｏｕｓＤｉｓｅａｓｅｓｏｆＨｕ—ｌ＇ｌｆｔａｎ￥［Ｍ］Ｏｘｆｏｒｄ：ＯｘｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９１．［２］ＢＡＲＡＢＡ’ＳＡＬＢＥＲＴＲ，ＪＥＯＮＧＨ．ＭｅｍｔｔｌｅｌｄＴｈｅｏｒｙｆｏｒＳｃａｌｅ－ｆｒｅｅＲａｎｄｏｍＮｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］ＰｈｙｓｉｃａｌＡ，１９９９，２７２．１７３．１８７万　方数据［３］ＣＡＬＬＷＡＹＤＳ，ＮＥＷＭＡＮＭＥＪ，ＳＴＲＯＧＡＴＺＳＨ，ｅｔａ１．ＮｅｔｗｏｒｋＲｏｂｕｓｔｎｅｓｓａｎｄＦｒａｇｉｌｉｔｙ：ＰｅｒｃｏｌａｔｉｏｎＲａｎ－ｄｏｍＧｒａｐｈｓ［Ｊ］．ＰｈｙｓＲｅｖｌｅｔｔ，２０００，８５：５４６８－５４７１．［４］ＣＯＨＥＮＲ，ＥＲＥＺＫ，ＢＥＮ·ＡＶＲＡＨＡＭＤ，ｅｔａｌＲｅｓｉｌｉ—ｅｎｅｅｏｆｔｈｅＩｎｔｅｍｅｔｔｏＲａｎｄｏｍＢｒｅａｋＤｏｗｎｓ［Ｊ］．ＰｈｙｓＲｅｖ１ｅｔｔ，２０００．８６：３６８２－３６８５．［５］ＮＥＷＭＡＮＭＥＪ，ＳＴＲＯＧＡＴＺＳＨ，ＷＡＴＴＳＤＪ．ＲａｎｄｏｍＧｒａｐｈｓＷｉｔｈＡｒｂｉｔａｒｙＤｅｇｒｅｅＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓａｎｄ１１ｌｅｈＡｐｐｌｉ·ｃａｔｉｏｎｓ［ｊ］．ＰｈｙｓＲｅｖＥ，２００１，６４：０２６１１８．［６］ＰＡＳＴＯＲ．ＳＡＴＯＲＲＡＳＲ，ＶＥＳＰＩＧＮＡＮＩＡ．Ｅｐｉｄｅ叫ｃＳｐｒｅａｄｉｎｇｉｎＳｃａｌｅ－ｆｒｅｅＮｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］，ＰｈｙｓＲｅｖｌｅｔｔ，２００１，８６：３２００－３２１３．［７］ＢＯＧＵＮＡ’Ｍ，ＰＡＳＴＯＲ—ＳＡＴＯＲＲＡＳＲ，ＶＥＳＰＩＧＮＡＮ［Ａ．ＡｂｓｅｎｃｅｏｆＥｐｉｄｅｍｉｃＴｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎＳｃａｌｅ—ｆｒｅｅＮｅｔｗｏｒｋｓＷｉｔｈＣｏｎｎｅｃｔｉｖｉｔｙＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ．［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ａｒｘｉｖ．ｏｒｇ／ａｂｓ／ｅｏｎｄ－ｍａＩ／０２０８１６３，２００２［８］ＰＡＳＴＯＲ．ＳＡＴＯＲＲＡＳＲ，ＶＥＳＰＩＧＮＡＮＩＡＩｍｍｕｎｉｚａｔｉｏｎｏｆＣｏｍｐｌｅｘＮｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］．ＰｈｙｓＲｅｖＥ，２００２，６５：０３６１０４．［９］ＣＯＨＥＮＲ，ＢＥＮ—ＡＶＲＡＨＡＭＤ，ＨＡＶＬＩＮＳ．Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｍ—ｍｕｎｉｚａｔｉｏｎｏｆＴｈｅＰｏｐｕｌａｔｉｏｎａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒｓ［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔ－ｔｐ：／／ｗｗｗ．ａｒｘｉｖ．ｏｒｇ／ａｂｓ／ｅｏｎｄ—ｍａｔ／０２０７３８７，２００２．ｒ１０］ＮＥＷＭＡＮＭＥＪＳｐｒｅａｄｏｆＥｐｉｄｅｍｉｃＤｉｓｅａｓｅｏｎＮｅｔ．ｗｏｒｋｓ［Ｊ］ＰｈｙｓＲｅｖｌｅｔｔ，２００２，８９：２０８７０１［１１］ＶＡＺＱＵＥＺＡ，ＭＯＲＥＮＯＹＲｅｓｉｌｉｅｎｃｅｔｏＤａｍｄａｅｏｆＧｒａｐｈｓＷｉｔｈＤｅｇｒｅｅＧａ＇ｒｅｌａｒｉｏｍ［Ｊ］．ＰｈｙｓＲｅｖＥ，２００３，６７：０１５１０１『１２］ＮＥＷＭＡＮＭＥＪ．ＴｈｅＳｔｒａｅｔｕｒｅａｎｄＦｕｎｃｔｉｏｎｏｆＣｏｍｐｌｅｘＮｅｔｗｏｒｋｓ［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗａｒｘｌｖ．ｏｒｇ／ａｂｓｄｃｏｎｄ—ｍａｉ／０３０３５１６．２００３．（责任编辑游中胜）用复杂网络理论研究疾病的传播

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

孙胜秋， SUN Sheng-qiu

北京交通大学,理学院,北京,100044

重庆师范大学学报（自然科学版）

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