心理统计学

心理统计学

前言：本课程主要考察各种统计方法在不同的心理和教育研究中应用的条件和具体方法，及其统计计算结果的解释。考试也主要在这两块，大家可以着重复习。重点章节是第三章至第八章。

另：复习心统很枯燥，但是坚持下去你就不挂科了。。。。

等下你看到不想看的时候就回来看这句话吧。。。

题型：

1.选择：20X1=20分

2.填空：8X1=8分

3.判断：10X1=10分

4.名词解释：5X3=15分

5.问答：5X5X=15分

6.计算：4题共12分

一：概念

1. 数据类型：（一）观测方法和来源：①计数数据—计算个数的数据，具有的分类单位，如人口数、学校数

②测量数据—借助于一定的测量工具或一定的测量标准而获得的数据，如身高、体重

（二）反映的测量水平：①称名数据—某一事物与其他事物在属性上的不同或类别上的差异，具有的单位，其数值一般都取整数形式，只计算个数，不说明事物之间差异的大小，如性别、颜色类别

②顺序数据—既无喜爱南瓜灯单位，也无绝对零的数据，是按实物某种属性的大小或多少，按次序将各个事物加以排列后获得的数据资料，如喜爱程度、能力等级、兴趣等

③等距数据—有相等单位，但无绝对零的数据，如温度、智商等。只能使用加减运算，不能使用乘除运算

④比率数据—既表明量的大小，也有相等的单位，同时还具有绝对零点。如身高、体重、反应时等

（三）是否具有连续性：①离散数据—又称不连续数据，在任何两个数据点之间所取的数值的个数有限，如球赛分数、班级个数等

②连续数据—任意两个数据点之间都可以细分出无限多个大小不同的数值，如年龄、长度、重量等

2. 变量：心理与教育实验、观察、调查中想要获得的数据，数据获得前用“X”表示，即为一个可以取不同数值的物体的属性或时间，其数值具有不确定性，如头发的颜色、自信心。

3. 观测值：一旦确定了某个值，就称这个值为某一变量的观测值，即具体数据

4. 随机变量：取值之前不能预料取到什么值的变量

5. 常数：与变量相反的

6. 总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。总体是所欲研究的某一类对象的全体，总体的大小随研究的问题而改变

7. 个体：构成总体的每个基本单位

8. 样本：从总体中抽取的一部分个体

9. 次数：某一事件在某一类别中出现的数目，又称为频数

10. 比率：两个数的比；当所比的两个数中，分子所表示的事物是做分母的那个数（基数）所表示事物的一部分时，比率又称为比例

11. 频率：又称相对次数，即某一事件发生的次数被总的事件数目除，亦即某一数据出现的次数被这一组数据总个数去除

12. 概率：又称几率或然率，用P表示，指某一事件在无限的观测中所能预料的相

对出现的次数，也就是某一事物或某种情况在某一总体中出现的比率，是反映某一事件发生可能性大小的量

13. 参数：又称总体参数，描述一个总体情况的统计指标，代表总体的特征，是一个常数

14. 统计量：样本的那些特征值，也称特征值。代表样本的特性，是一个变量

15. 集中量数：对一组数据集中趋势的度量，就是确定描述一组数据这种特点的代表性的统计量。用于描述数据集中程度的统计量，就是集中量数

16. 平均差：次数分布中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值，用A.D.或M.D.表示

17. 方差：也称变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数

18. 标准差：即方差的平方根。

19. 标准分数：又称基分数或Z分数，是以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数

20. 相关系数：两列变量间相关程度的数字表现形式，或者说是用来表示相关关系强度的指标

21. 概率的加法定理：两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事件概率之和，

写作P(A+B)=P(A)+P(B)

22. 概率的乘法定理：适用于几种情况组合的概率，即几种事件同时发生的情况，公式写作P(AB)=P(A)X(B)

23. 标准误：平均数分布的标准差，也称平均数的标准误，有时用SE表示

24. 点估计：用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，所以估计的结果也以一个点的数值来表示

25. 区间估计：根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围，它是用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围，它虽不具体指出总体参数等于什么，但能指出未知总体参数落入某一区间的概率有多大

26. 置信区间：在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。其上下二端点值称置信界限

27. 显著性水平：估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用α表示。有时也称为意义阶段、信任系数等。1-α为置信度或置信水平。

28. 假设检验：通过样本统计量得出的差异做出一般性结论，判断总体参数之间是否存在差异，这种推论的过程称作假设检验

29. 对立假设或者责备假设：在进行任何一项研究时，都需要根据已有的理论和经验事先对研究结果作出一种预想的希望证实的假设，这种假设称科学假设，统计术语称研究假设，记作H1

30. 虚无假设：在统计学中不能对H1 真实性直接检验，需要建立与之对立的假设，就是虚无假设，也称无差假设、零假设、原假设，记作H0

31. Ⅰ型错误：拒绝H0 时所犯的错误，即虚无假设H0 本来是正确的，却拒绝了H0 ，这类错误也称α型错误

32. Ⅱ型错误：接受H0 时所犯的错误，即虚无假设H0 本来是不正确的，却接受了H0 ，这类错误也称β型错误

33. 事后检验：当虚无假设被拒绝的结果一旦出现，就必须对各实验处理组的多队平均数进一步分析，做深入比较，判断究竟哪一对或者哪几对的差异显著，哪几对不显著，确定两变量关系的本质

34. 单侧检验：强调某一方向的检验

35. 双侧检验：只强调差异而不强调方向性的检验

二：理解

（一）统计图表：主要考察各种图表适用于什么情况。

1.次数分布表：①简单次数分布表--依据每一个分数值在一列数据中出现的次数或总计数资料编制成的统计表。关于态度、兴趣、偏好等测验结果可以制成此表，计数数据和连续数据都可用，但更适合计数数据。

②分组次数分布表--当数据量很大时，把所有数据先划分为若干分组

区间，之后将数据按其数值大小规划到相应的组别内，分别统计各个组别中包含的数据个数。适用于连续数据。

③相对次数分布表--将次数分布表中各组实际次数转换为相对次数，即用频数比率或百分比来表示次数。

④累加次数分布表--把各组的次数由下而上或由上而下累加在一起，最后一组的累加次数等于数据的总次数。心理实验中对感知阀限、各种心理量表的编制等都可使用。

⑤双列次数分布表--对有联系的两列变量用同一个表表示其次数分布。

⑥不等距次数分布表---适用于如工资级别、年龄分组等不等距情况。

2.次数分布图：①直方图--以矩形的面积表示连续性随机变量次数分布的图形，显示数据分布的情况会更生动、直观。而没有画矩形，只使直方图包围的面积成封闭的图形，叫组织图。

②次数多边形图--表示连续性随机变量次数分布的线形图。对次数的轮廓显示得更好，如果样本很大还可以描绘出一条分布曲线，并可据此找到次数分布的经验公式。

③累加次数分布图--累加直方图、累加曲线

3.其他类型统计表：①简单表--只列出名称、地点时序或统计指标名称的统计表。

②分组表--只有一个分类标志的统计表，如年龄。

③复合表--统计分组的标志有两个（双向表）或两个以上（三个称为三向表）的表。

4.其他类型统计图：①条形图--主要用于表示离散型数据资料，即计数资料。分为，简单条形图、分组条形图、分段条形图三种。

②圆形图--又称“饼图”，主要描述间断性资料，目的是为显示各部分在整体中所占的比重大小，以及各部分之间的比较。

③线形图--更多适用于连续性资料，能较好表示两个变量之间的函数关系，或描述某种现象在时间上的发展趋势，或一种现象随另一种现象变化的情形。

④散点图--用相同大小圆点的多少或疏密表示统计资料数量大小以及变化趋势的图。

（二）集中量数：主要考察各种集中量数适用于什么情况，不会单独考，但是是基础，所以会和其他的一起考。

1.平均数的特点：①在一组数据中每个变量与平均数之差（离均差）的总和等于0.

②在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原来的平均数加常数C。

③在一组数据中，每一个数都乘以一个常数C所得的平均数为原来

的平均数乘以常数C。

2.平均数的优点：①反应灵敏 ②计算严密 ③计算简单 ④简单易解 ⑤适合于进一步用代数方法演算 ⑥较少受抽样变动的影响

3.平均数的缺点：①易受极端数据的影响 ②若出现模糊不清的数据时，无法计算。

4.加权平均数：有些数据单位权重不相等时，计算平均数就要用加权平均数。权数是指各变量在构成总体中的相对重要性。公式参考书本P68-69

5.几何平均数：①一组数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布呈偏态时。心理物理学的等距与等比量表实验中，只能用几何平均数。

②一组数据彼此间变异较大，几乎是按一定的比例关系变化时。如学生人数的增长数等，都要用几何平均数计算平均比率。公式参考课本P70。

6.调和平均数：主要用来描述学习速度方面的问题，公式参考书本P73。

（三）差异量数：主要考察各种差异量数适用于什么情况，不会单独考，但是是基础，所以会和其他的一起考。

1.百分位差：①百分位数是指量尺上的一个点，在此点一下，包括数据分布中全部数据各数的一定百分比，第P百分位数就是指在其值为P的数据一下，包括分布中全部数据的百分之p。而百分位差就是用P10和P90之间的距离作为差异量数。

②百分等级是一种相对位置量数，就是利用百分位数的计算公式计算出

任意分数在整个分数分布中所处的百分位置。

③四分位差是百分位差的一种，指在一个次数分配中，中间50％的次数的距离的一半。在两极端数据不清楚时，可以计算四分位差，但其稳定性差。不适合代数方法运算，反应不够灵敏。

2.平均差：是次数分布中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值，可较好的反映次数分布的离散情况，属于一种低效差异量数，在统计实践中不太常用。公式参考书本P86。

3.方差与标准差：主要了解其公式及概念。概念参考上面，公式参考书本P87。

4.方差与标准差的性质：①方差是对一组数据中各种变异的综合的测量，具有可加性和可分解性。

②标准差是一组数据方差的平方根，它不可以进行代数运算，但有以下特性：（1）每一个观测值都加一个相同常数C后，计算得到的标准差等于原标准差。

（2）每一个观测值都乘以一个相同常数C后，所得的标准差等于原标准差乘以这个常数

（3）以上两点相结合，每一个观测值都乘以用一个常数C（不等于0），再加上一个常数d，所得的标准差等于原标准差乘以这个常数C。

5.方差与标准差的意义：①反应灵敏 ②计算公式严密确定 ③容易计算 ④适合代数运算 ⑤受抽样变动影响小 ⑥简单明了

6.差异系数：知道什么时候用，无需记公式但要认得。

适用情况：①同一团体不同观测值离散程度的比较。

②对于水平相差较大，但进行的是用一种观测的各种团体，进行观测值离散程度的比较。

7.标准分数：非常重要，记住概念、公式还有例子。

①概念参考上面，公式参考书本P95。

②性质：1.无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量。

2.一组原始分数转换得到的Z分数可以是正值，也可以是负值。Z分数的平均数也为零

3.一组原始数据中，各个Z分数的标准差为1.

4.若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数值的均值为0，标准差为1的标准正态分布。

③优点：可比性、可加性、明确性、稳定性

④应用：1.用于比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。（所谓相对位置，一是指某原始数据以平均数为中心以标准差为单位所处距离的远

近与方向；二是指某原始数据在该组数据分布中的位置，即在该数据以下或以上的数据各有多少。）

2.计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置。

3.表示标准测验分数。（以上应用的例子参考书本98-100）

8.差异量数的选用：会用就可以了。

①通过比较，标准差、方差价值较大，应用较广泛，因此为高效差异量。而其他差异量数如全距、平均差、百分位差和四分位差等缺点较明显，为低效差异量。

②如何选用：参考书本P103

（四）相关关系：用于描述双变量数据相互之间的关系。比较重要。

1.相关系数：①相关系数r的取值范围介于-1.00至+1.00之间，它是一个碧绿，常用小数形式表示。

②其“+、-”号表示双变量数列之间的相关的方向，正值表示正相关，负值表示负相关。

③相关系数r=+1.00时表示完全正相关，r=-1.00时表示完全负相关。r=0时表示完全，也就是零相关，即无任何联系。

④相关系数取值的大小表示相关的强弱程度。

2.积差相关（皮尔逊相关）：（1）适用条件：①要求成对数据，即若干个体中每个个体都有两种不同的观测值，如每个学生的算术和语文成绩。

②两列变量各自总体的分布都是正态，即正态双变量，至少两个变量服从的分布是接近正态的单峰分布。

③两个相关的变量是连续变量，也即两列数据都是测量数据。

④两列变量之间的关系应是直线性的。

（2）公式：无需记，但要认得且会用，参考书本P1113-120。

3.等级相关：（1）斯皮尔曼等级相关：知道其适用条件，计算及解释结果。

①使用条件：只有两列变量，而且属于等级变量性质的具有线性关系的资料，主要解决称名数据和顺序数据的相关问题。

②公式：无需背，但知道如何用，参考书本P123-128。注重看例子及其解释。

（2）肯德尔W系数：知道什么时候用即可。

①是表示多列等级变量相关程度的一种方法，适用于两列

以上的等级变量，即让K个被试对N件事务或N种作品进行等级评定。

②例子参考书本P130。

（3）肯德尔U系数：适用于对K个评价者的一致性进行统计分析，例子参考课本P132。

4.点二列相关：了解其适用条件，公式以及解释。较重要。

（1）适用条件：考察两列观测值一个为连续变量，另一个为“二分”称名变量之间相关程度的统计方法，多用于评价由是非类测验题目组成的测验的内部一致性等问题。

（2）公式及例子解释：参考书本P135。此相关关系结合例子会比较好理解。

5.二列相关：知道什么时候用即可，参考例子理解。P137.

6.多列相关：知道什么时候用即可，参考例子理解。P140.

7.四分相关、Φ系数、列联表相关：知道什么时候用即可，参考例子理解。P141-P145

8.如何选择合适的相关系数：参考书本P147的表格理解。

9.相关系数值的大小与相关程度描述：参考书本P150的图片。

（五）概率分布：是后面两章的基础。重要。

1.正态分布：（1）公式：参考书本P161，无需记，但要认得会用。

（2）特征：①正态分布的形式是对称的（但对称的不一定是正态的），它的对称轴是经过平均数点的垂线。

②正态分布的点（即平均数点）最高，然后逐渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐点位于正负1个标准差处，曲线两端的靠近基线处无限延伸，但终不能与基线相交。

③正态曲线下的面积为1，由于它在平均数处左右对称，故过平均数点的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两部分，即各为0.50

④正态分布是一族分布。它随随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。

⑤正态分布中各差异量数值相互间有固定比率，参考P163

⑥正负1.96个标准差之间，包含总面积的95％；正负2.58个标准差之间，包含总面积的99％。

（3）正态分布表的使用：会看即可。

（4）应用：①化等级评定为测量数据

②确定测验题目的难易度

③在能力分组或等级评定时确定人数

④测验分数的正态化（以上应用参考书本P167-173例子理解）

2.二项分布：主要掌握其应用。

二项分布主要用于解决含有机遇性质的问题，所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由于猜测而造成的，如选择题目的回答。区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限。应用例子理解参考书本P181

3.样本分布：主要需了解什么时候用什么分布，如果看了不是很懂的话，可先浏览一遍下面的内容，之后看第六部分参数估计以及第七部分假设检验的内容，里面会有例子理解，最后再回来看这里，就会明白了。

（1）正态分布及渐进正态分布：①总体分布为正态，方差已知，样本平均数的分布为正态分布。

②总体分布非正态，但方差已知，这时当样本足够大时（n>30），其样本平均数的分布为渐进正态分布

③自正态分布的总体中抽取容量为n的样本，当n足够大时（n>30），样本方差及标准差的分布，渐趋于正态分布

（2）t分布：是统计分析中应用较多的一种随机变量函数的分析。

①当总体分布为正态，方差未知时，样本平均数的分布为t分布。

②当总体分布为非正态而其方差又未知时，若满足n>30这一条件，样本平均数的分布近似为t分布。

（3）χ2（卡方）分布：是刻画正态变量二次型的一种重要分布，在统计分析中应用于计数数据的假设检验以及样本方差与总体方差差异是否显著的检验。

（4）F分布：自一个正态总体中随机抽取容量为n1和n2两个样本，其方差的比率分布为F分布。

（六）参数估计：本章结合例子理解会比较容易。重要。

1.含义：当在研究中从样本获得一组数据后，如何通过这组信息，对总体特征进行估计，也就是如何从局部结果推论总体的情况，称为总体参数估计。

2.良好估计量的标准：①无偏性--用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏差的平均数为0

②有效性--当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，方差越小越好。

③一致性--当样本容量无限增大时，估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数，估计值越来越精确，逐渐趋近于真值。

④充分性--指一个容量为n的样本统计量，是否充分地反映了全部n个数据所反映的总体信息。如平均数就可以。

3.区间估计：就是根据样本分布理论，用样本分布的标准误（SE）计算区间长度，解释总体参数落入某置信区间可能的概率。

4.总体平均数的估计：①总体方差已知时，对总体平均数的估计---参考P203例7-1、7-2

②总体方差未知时，对总体平均数的估计---参考P204例7-3、7-4

5.标准差与方差的区间估计：①标准差的区间估计--参考P206例子

②方差的区间估计--参考P207-208例子

③二总体方差之比的区间估计---参考P209例子

6.第四节相关系数的区间估计和第五节比率及比率差异的区间估计，老师说重点的时候没有提到，但是其中涉及了各种分布的应用，如果第五部分不是很理解的同学，可以看下其中的例子理解下。

（七）参数估计：本章结合例子理解会比较容易。重要。

1.了解假设检验、虚无假设、备择假设、两类错误的含义。上面第一模块有写。

2.两类错误的关系：①α+β不一定等于1

②在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大。

③统计检验力，即1-β，假如真实差异很小，某个检验仍能以较大的把握接受它，就说这个检验的统计检验力比较大。（还是不懂的话看P227）

3.单侧检验与双侧检验的区别：了解其含义就可知道，概念在第一模块。

4.假设检验的步骤：①根据问题要求，提出虚无假设和备择假设。

②选择适当的检验统计量。

③规定显著性水平α，即如果虚无假设正确却把它当成错误的加以拒绝，犯这类错误的概率就是α。

④计算检验统计量的值。

⑤作出决策：根据显著性水平α和统计量的分布，查相应的统计表，查找接受域和拒绝域的临界值，用计算出的统计量的具体值与临界值相比较，作出接受虚无假设或拒绝虚无假设的决策。

5.平均数的显著性检验：需知道各种情况使用什么方法进行检验。

①总体正态分布、总体方差已知：用样本平均数分布的标准误按正态分布去计算临界比率，并从正态分布表中查出临界点的值。参考P231-232例子理解。

②总体正态分布、总体方差未知：原理与上面相同，只是计算标准误的时候，要用无偏估计量代替标准差。这时临界比率的分布服从t分布，因此此时所进行的检验称作t检验。参考P233例子理解。

③总体非正态分布：当样本容量较大时可近似地用Z检验，如果n<30，就只能用非参数方法或对数据进行转换。

6.平均数差异的显著性检验：同样需理解各种情况使用什么方法进行检验。

（1）两个总体都是正态分布、两个总体方差都已知

①样本的平均数差异检验：参考P236例子理解

②相关样本的平均数差异检验：参考P237例子理解

（2）两总体都是正态分布、两总体方差都未知

①样本的平均数差异检验：1.两个总体方差一致或相等。P238例子。

2.两个总体方差不齐性。P240例子理解。

②相关样本的平均数差异检验：1.相关系数未知。P241例子理解。

2.相关系数已知。P242例子理解。

（3）两个总体非正态分布：①样本的平均数差异检验

②相关样本的平均数差异检验（了解即可）

以上内容理解整理可参考书本P244表格。

7.第四节之后的内容老师说重点时没提到，要以防万一的话就看下吧。

（八）方差分析：主要需知道用在什么地方。

1. 组间变异与组内变异：①组间变异--由于接受不同的实验处理而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差表示，可以看做是组间平均数差异大小的一个指标，两组平均数的差异越大，组间变异就越大。

②组内变异---由组内各被试因变量的差异范围决定的，主要指由实验误差，或组内被试之间的差异造成的变异。

2.方差分析的基本假定：①总体正态分布

②变异的相互性

③各实验处理内的方差要一致

3.与方差分析有关的实验设计：了解两种设计师怎样设计的，能够区分，知道怎么做。

①组间设计---把被试分成若干组，每组分别接受一种实验处理，有几种实验处理，被试也就相应的被分为几组，即不同的被试接受自变量不同水平的实验处理。

②组内设计---又称被试内设计，是指每个被试都要接受所有自变量水平的实验处理。

③混合设计--一般涉及两个以上自变量，其中每个自变量的实验设计各不相同，如一个用组间设计，一个用组内设计。

4.事后检验：知道概念，明白为什么要做。

方差分析的主要目的是通过F检验讨论组间变异在总变异中的作用，借以对两组以上的平均数进行差异检验，得到一个整体性的检验结果。如果方差分析F检验的结果表明差异显著，拒绝了虚无假设，就表明几个实验处理组的两两比较中至少有一堆平均数间的差异达到了显著水平，至于是哪一对，方差分析并没有回答。

虚无假设被拒绝的结果一旦出现，就必须对各实验处理组的多对平均数进一步分析，做深入比较，判断究竟是哪一对或哪几对的差异显著，哪几对不显著，确定两变量关系的本质，这就是事后检验。

（九）χ2（卡方）检验：

1.χ2检验的假设（前提条件）：①分类相互排斥，互不包容

②观测值相互

③期望次数的大小---每一个单元格中的期望次数应该至少在5个以上。

2.χ2检验的类别：①配合度检验---用来检验一个因素多项分类的实际观察数与某理论次数是否接近。

②性检验---用来检验两个或两个以上因素各种分类之间是否有关联或是否具有性的问题。

③同质性检验---主要目的是在于检定不同人群母总体在某一变量的反应是否具有显著差异，当用同质性检验检测双样本在单一变量的分布情形，如果两样本没有差异，就说两个母体是同质的，反之，是异质的。

（十）线性回归：主要需知道线性回归与相关回归的关系与区别

关系与区别：①回归分析和相关分析均为研究及度量两个或两个以上变量之间关系的方法。

②从广义上说，相关分析包括回归分析，但严格地讲，二者有区别。

③回归分析是以数学方式表示变量间的关系，而相关分析则是检验或度量这些关系的密切程度，两者相辅相成。

④如果通过相关分析显示出变量间的关系非常密切，则通过所求的归回模型可获得相当准确的推算值。

⑤确定变量之间是否存在这关系，是回归与相关分析的共同起点。

⑥当旨在分析变量之间关系的密切程度时，一般用相关系数，这个过程叫相关

分析。倘若研究的目的是确定变量之间数量关系的可能形式，找出表达它们之间依存关系的合适的数学模型，并用这个数学模型来表示这种关系，就叫做回归分析。

（十一）多变量统计分析简介：主要需知道因素和水平是什么。

1.因素：是指实验中的自变量。当研究中包括一个自变量时就称单因素设计，包含两个自变量时就称二因素设计，相应的方差分析程序称为二因素方差分析，有三个自变量的设计就称为三因素设计，相应的方差分析程序称为三因素方差分析。一般两个以上自变量的实验设计统称为多因素实验。

2.水平：一个因素的不同情况称为这一因素的不同水平。如考察男女儿童在数理推理能力方面的差异，则这个实验就是两因素实验。其中一个因素是儿童的性别，它有男、女两种水平，另一个因素是数理推理能力，它有高、中、低三中水平。

注：本资料只涉及老师说的重点部分。

技术有限，如有错误，自己修改。