多元统计历年试题计算题答案

一、设对六个样品X1，X2，X3，X4，X5，X6，测试了六项指标，计算样品之间的相关系数如下表，试用最长距离法对这六个样品进行聚类，并画出谱系图。 答案：该题目有问题，无法进行相关解答。

二、类G1和G2的Fisher线性判别函数为：U=0.3X1-0.45X2-0.06X3，且U1=0.3332，U2=0.0665，N1=7，N2=9，U*=(N1U1+U2N2)/(N1+N2)计算临界值，判别新样品X0=(2.5,0.95,0.9)T属于哪一类？

解：将U1，U2，N1，N2带入U*=(N1U1+U2N2)/(N1+N2)得出临界值为0.1832，

据判别准则P80有：由于U(X0)=0.271，当U1>U2时，U(X0)>U*,所以新样品属于类G1。

某一年试题

一、5个样品X1，X2，X3，X4，X5，两两之间的距离矩阵，试用最长距离法做聚类并画出谱系图。

距离 X1 X2 X3 X4 X5 X1 0 4 6 1 6 X2 0 9 7 3 X3 0 10 5 X4 0 8 X5 0 解：由于D14的距离最短，所以X1，X4聚为一类为新类X6； 距离 X2 X3 X5 X6

有X2,X5聚为新类X7； 距离 X3 X6 X7

有X6，X7聚为新类X8； 最后，X3与X8聚为一类。

X3 0 10 9 X6 0 8 X7 0 X2 0 9 3 7 X3 0 5 10 X5 0 8 X6 0 1 4 2 5 3 二、4个变量X1，X2，X3，X4两两之间的相关系数矩阵，试用模糊聚类法作聚类并画出谱系图。 相关系数 X1 X2 X3 X4 X1 1 0.92 0.09 0.58 X2 1 0.87 0.75 X3 1 0.67 X4 1

解：记上述矩阵为R，现在要获得模糊等价矩阵，首先计算出R*R=R2 有：

1 0.92 0.87 0.75

继续有R2*R2=R4，为： 1 0.92 0.87 0.75 1 0.87 0.75 1 0.75 1 1 0.87 0.75 1 0.75 1 所以R4为模糊等价矩阵，其值λ由大到小依次为1>0.92>0.87>0.75, 有λ=1时，为四类{X1}，{X2}，{X3}，{X4}； 有λ=0.92时，为四类{X1，X2}，{X3}，{X4}； 有λ=0.87时，为四类{X1，X2，X3}，{X4}； 有λ=0.75时，为四类{X1，X2，X3，X4}。

三、设三个总体G1、G2、G3的分布分别为：N（2,0.52），N（0,22），N（3,12）.试问样品X=2.5应该判为那一个总体？（1）距离判别法；（2）按照贝叶斯判别准则（等先验概率和等误判损失）。 解：（1）距离判别准则：

D2(X,Gi)=(X-µi)TΣi-1（X-µi)，当D2(X,Gi)=min{(X-µi)TΣi（x-µi)}时，X属于Gi。 有：D2(X,G1)=(X-2)T（0.25）-1（X-2)=1 D2(X,G2)=(X-0)T（4）-1（X-0)=1.6

D2(X,G3)=(X-3)T（1）-1（X-3)=0.25

当X=2.5时，可以得出X=2.5属于第三类。 (2)贝叶斯判别 （）

DiQX=-1/2In|Σi|-1/2(X-µi)TΣi-1（X-µi)+Inqi

（）（）

如果X属于Gi，则max{DjQX}(1<（）（）（）

有：D1QX=0.193，D2QX=-1.48，D3QX=-0.125

当X=2.5时，可以得出X=2.5属于第一类。

2008年试题

一、年龄和体重如下表，试求最优三分割。 年龄 体重 1 9.3 2 1.8 3 1.9 4 1.7 5 1.5 6 1.3 7 1.4 8 2

解：二分割为：

S8（2；1）=d11+d28=0.7; S8（2；2）=d12+d38=8.2; S8（2；3）=d13+d48=8.2; S8（2；4）=d14+d58=8.3; S8（2；5）=d15+d68=8.5; S8（2；6）=d16+d78=8.6; S8（2；7）=d17+d88=8;

最优二分割为：{1}、{2,3,4,5,6,7,8,} 三分割为：

J=2,S2（2；1）=8.2; J=3,S3（2；1）=0.7; J=4,S4（2；1）=0.9; J=5,S5（2；1）=1.1; J=6,S6（2；1）=1.2; J=7,S7（2；1）=0.6;

最优三分割为：{1}、{2,3,4,5,6,7}、{8}

1 ρ ρ 六、设三元总体X的协方差Σ=δ2

ρ 1 ρ 有0<ρ<1.

ρ ρ 1 Z1=1/√3(X1+X2+X3) (1)试证第一主成分

(2)试求第一主成分贡献率。 解：（1）根据协方差求得特征值为： Λ1=1+2ρ，Λ2=Λ3=1-ρ，

当Λ1=1+2ρ时，第一主成分为Z1=1/√3(X1+X2+X3)。

（2）第一主成分贡献率为=（1+2ρ）/.(1+2ρ+1-ρ1-ρ)=(1+2ρ)/3

(4)下面矩阵给出5个样品之间的距离，试利用最短距离法，类平均距离法聚类，画出谱系图。 距离 X1 X2 X3 X4 X5 X1 0 4 6 1 6 X2 0 9 7 3 X3 0 10 5 X4 0 8 X5 0 解：最短距离法：

X1、X4聚为新类X6，有： 距离 X2 X3 X5 X6 X2 0 9 3 4 X3 0 5 6 X5 0 6 X6 0 X2，X5聚为新类X7，有： 距离 X3 X6 X7 X3 0 6 5 X6 0 4 X7 0 X6，X7聚为新类X8，最后是X3与X8聚为一类。 （2）类平均距离法

根据题目，可以得出以下距离：

D212=16，D213=36，D214=1，D215=36，D223=81，D224=49，D225=9，D234=100，D235=25，D245=.

那么X1、X4聚为新类X6，

D226=1/2D212+1/2D224=32.5，D236=68，D256=50, D223=81，D225=9，D235=25. 那么X2，X5聚为新类X7，

D236=68，D237=1/2D223+1/2D235=53，D267=1/4D212+1/4D215+1/4D224+1/4D245=41.25. 那么X6，X7聚为新类X8，最后X3与X8聚为新类。

根据最短距离法和类平均距离法，我们可以看出得出的结果是一致的。 1 4 2 5 3

2009年试题

一．上面几套试卷中均已经给出答案，此处不再赘述。

二．有三个总体G1、G2、G3，概率密度为f1(X),f2(X),f3(X),假定各总体的先验概率相等，误判损失如下：C（2|1）=10，C（1|2）=100，C（3|1）=50，C（1|3）=200，C（2|3）=80， C（3|2）=120，现有一样品X0,使f1(X0)=0.1,f2(X0)=0.8,f3(X0)=1.5，根据贝叶斯判别准则，应该将样品归判为哪个总体？

解：据hj（X0）=Σfi(X)*qi*C（j|i）(1<=i<=3)

那么，h1（X0）=380；h2（X0）=121；h3（X0）=101. 得出，样品应该归判为第三个总体。

2010年试卷

二、一元正态总体G1（0,0.25），G2（0,4），假定两个总体的先验概率相等，误判损失如下， C（2|1）=10，C（1|2）=40，现有一样品X0=1.5，请根据距离和贝叶斯分别判别。 解：距离判别：

W=D2(X,G1)-D2(X,G2)>=0时，X属于G2；反之，X属于G1.

D2(X,G1)=(X-µ1)TΣ1-1（X-µ1)=9；D2(X,G2)=(X-µ2)TΣ2-1（X-µ2)=0.56. 那么，X属于G2。

贝叶斯判别：

W*=-1/2XT(Σ1-1_Σ2-1)X+(µ1TΣ1-1_µ2TΣ2-1)

判别准则：X属于G1，W*>=K;X属于G2，W*<=K;

K=In(q2C（1|2/)q1C（2|1))+1/2In(|Σ1|/|Σ2|)+1/2(µ1TΣ1-1µ1_µ2TΣ2-1µ2) 其中，K=-2.78,W*(X)=8.44,X属于G1.

2007年试卷

1、G1、G2的概率密度函数分别为f1(X),f2(X)，且总体的先验概率分布为q1=0.2,q2=0.8,误判损失为C（2|1)=50，C（1|2/)=100。

（1）按照期望损失达到最小，建立贝叶斯判别准则；

（2）设有一新样品满足f1(X)=0.3，f2(X)=0.5，试判定X0的归属。 解：贝叶斯判别准则：

f1(X)/f2(X)>=q2C（1|2/)/q1C（2|1)时，X属于G1；反之，X属于G2. 对新样品进行判别：

其中，f1(X)/f2(X)=0.6，q2C（1|2/)/q1C（2|1)=8，那么X属于G2。