非参数统计部分课后习题参

第一章p23-25

2、（2）有两组学生，第一组八名学生的成绩分别为x1：100，99，99，100，99，100，99，99；第二组三名学生的成绩分别为x2：75,87,60。我们对这两组数据作同样水平a=的ｔ检验（假设总体均值为u）：H0：u=100 H1：u<100。第一组数据的检验结果为：df=7，t值为，单边p值为，结论为“拒绝H0：u=100。”（注意：该组均值为）；第二组数据的检验结果为：df=2，t值为，单边ｐ值为;结论为“接受H0：u=100。”（注意：该组均值为）。你认为该问题的结论合理吗说出你的理由，并提出该如何解决这一类问题。

答：这个结论不合理（6分）。因为，第一组数据的结论是由于ｐ－值太小拒绝零假设，这时可能犯第一类错误的概率较小，且我们容易把握；而第二组数据虽不能拒绝零假设，但要做出“在水平ａ时，接受零假设”的说法时，还必须涉及到犯第二类错误的概率。（4分）然而，在实践中，犯第二类错误的概率多不易得到，这时说接受零假设就容易产生误导。实际上不能拒绝零假设的原因很多，可能是证据不足（样本数据太少），也可能是检验效率低，换一个更有效的检验之后就可以拒绝了，当然也可能是零假设本身就是对的。本题第二组数据明显是由于证据不足，所以解决的方法只有增大样本容量。（4分）

第三章p68-71

3、在某保险种类中，一次关于1998年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升幂排列）：

4632，4728，5052，50，5484，6972，7596，9480，14760，15012，18720，21240，22836，52788，67200。已知1997年的索赔数额的中位数为50元。

（1）是否1998年索赔的中位数比前一年有所变化能否用单边检验来回答这个问题（4分）

（2）利用符号检验来回答（1）的问题（利用精确的和正态近似两种方法）。（10分） 》

（3）找出基于符号检验的95％的中位数的置信区间。（8分）

解：（1）1998年的索赔数额的中位数为9480元比1997年索赔数额的中位数50元是有变化，但这只是从中位数的点估计值看。如果要从普遍意义上比较1998年与1997年的索赔数额是否有显著变化，还得进行假设检验，而且这个问题不能用单边检验来回答。（4分）

（2）符号检验（5分） 设假设组：H０：M＝M０＝50

H１：M≠M０＝50

符号检验：因为n+=11，n-=3，所以k=min(n+,n-)=3

b(14,1/2)0.0287精确检验：二项分布b(14,，，双边ｐ－值为,大于ａ＝，

n03所以在ａ水平下，样本数据还不足以拒绝零假设；但假若ａ＝，则样本数据可拒绝零假设。查二项分布表得ａ＝的临界值为（3，11），同样不足以拒绝零假设。

正态近似：（5分） np=14/2=7,npq=14/4= z=(3+/—

3.5≈>Za/2=

仍是在ａ＝的水平上无法拒绝零假设。说明两年的中位数变化不大。 （3）中位数95％的置信区间：（50，21240）（8分）

7、一个监听装置收到如下的信号：0，1，0，1，1，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，0，0，1，0，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0。能否说该信号是纯粹随机干扰（10分）

解：建立假设组： H0：信号是纯粹的随机干扰

H1：信号不是纯粹的随机干扰（2分）

游程检验：因为n１=42，n２=34，r=37。（2分）根据正态近似公式得：

Ｕ＝

Z2423424234(242344234)138.58　　　18.33（224234(4234)(42341)分）

3738.580.086（2分）

18.33取显著性水平ａ＝，则Ｚａ/２＝,故接受零假设，可以认为信号是纯粹的随机干扰的。（2分） {

第四章p91-94

1、在研究计算器是否影响学生手算能力的实验中，13个没有计算器的学生（Ａ组）和10个拥有计算器的学生（Ｂ组）对一些计算题进行了手算测试．这两组学生得到正确答案的时间（分钟）分别如下：

Ａ组：28， 20，20，27，3，29，25，19，16，24，29，16，29

Ｂ组：40，31， 25，29，30，25，16，30，39，25

能否说Ａ组学生比Ｂ组学生算得更快利用所学的检验来得出你的结论．（12分）

解、利用Wilcoxon两个样本的秩和检验或Mann-Whitney U检验法进行检验。建立假设组：H0：两组学生的快慢一致；

H1：A组学生比B组学生算得快。（2分） 两组数据混合排序（在B组数据下划线）：

3，16，16，16，19，20，20，24，25，25，25，25，27，28，29， 29， 29， 29，30， 30，31，39，40（2分）

A组秩和RA＝1+3*2+5+*2+8++13+14+*3=120; 】

B组秩和RB＝3+*3++*2+21+22+23=156（2分） A组逆转数和UA=120-(13*14)/2=29

B组逆转数和UB=156-(10*11)/2=101（2分）

当nA=13，nB=10时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值，所以用正态近似。计算

ZUAnAnB/2nAnB(nAnB1)/122602913*10/213*10*(13101)/1236362.232616.1245（2分）

当显著性水平a取时，正态分布的临界值Za/2＝（1分）

由于Z4、在比较两种工艺（Ａ和Ｂ）所生产的产品性能时，利用超负荷破坏性实验。记下损坏前延迟的时间名次（数目越大越耐久）如下：

方法：A B B A B A B A A B A A A B A B A A A A ：

序： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

用Mann-Whitney秩和检验判断Ａ工艺是否比Ｂ工艺在提高耐用性方面更优良（10分）

解、设假设组：H0：两种工艺在提高耐用性方面的优良性一致； H1：A工艺比B工艺更优良（1分，假设也可用符号表达式）

根据样本数据知nA=13；nB=7（1分），计算

A工艺的秩和RA＝1+4+6+8+9+11+12+13+15+17+18+19+20=153；（1分） B工艺的秩和RB＝2+3+5+7+10+14+16=57（1分）

A工艺的Mann-Whitney秩和UA=RA-nA(nA+1)/2=153-(13*14)/2=62（1分） B工艺的Mann-Whitney秩和UB=RB-nB(nB+1)/2=57-(7*8)/2=29（1分）

当nA=13，nB=7时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值，所以用正态近似。计算 …

ZUAnAnB/2nAnB(nAnB1)/1216.5159.256213*7/213*7*(1371)/1216.51.307512.6194（2分）

当显著性水平a取时，正态分布的临界值Za/2＝（1分）

由于Z第五章p118-121

1、对5种含有不同百分比棉花的纤维分别做8次抗拉强度试验，试验结果如表4所示（单位：g/cm2）：

表4

棉花纤维百分比（%） 【 15 抗拉强度 705 846 411 1268 1339 1480 ） 986 1198 1198 775 1268 493 20 25 30 35 493 1057 】 1339 634 916 % 634 846 1127 916 1198 1480 775 1057 1339 1268 352 986 （ 352 5 775 705 634 1480 1127 5 @ 1268 1480 423 试问不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度是否一样，利用Kruskall—Wallis 检验法。(14分) 解：建立假设组：

H0：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度一样； H1：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。（2分） 已知，k=5，n1= n2= n3= n4= n5=8（2分）。混合排序后各观察值的秩如表4所示：

表4

【 棉花纤维百分比（%） 15 抗拉强度 3 。 35 < 10 10 28 35 ！ R 166 10 4 】 15 15 20 25 & 35 28 28 15 30 35 nj 根据表4计算得：（6分）

8 8 8 8 8 kR12jH3(N1)N(N1)j1nj21278.521662250.52253.5271.523414041828.6857由于自由度k-1=5-1=4，nj＝8>5，是大样本，所以根据水平a=，查Ｘ2分布表得临界值C=，（2分）

因为Q>C，故以5%的显著水平拒绝H0假设，不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。（2分） …

7、按照一项调查，15名顾客对三种电讯服务的态度（“满意”或“不满意”）为（15分）

服务 A 1 1 1 1 ： 1 1 1 0 1 1 B 1 0 0 0 1 1 0 { 0 0 1 C ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 合计 2 1 1 《 2 2 1 2 0 1 2 ; 0 1 3 2 、 1 23 2 1 0 0 0 2 消费者(爱好用“1”表示，不爱好用“0”表示) 合计 1 1 1 1 ` 13 0 0 1 1 1 1 8 解：建立假设组：H0：顾客对3种服务的态度无显著性差异；

H1：顾客对3种服务的态度有显著性差异。（2分）

本例中，k=3，n=15。（2分）又因

xiyj232222X13821694257i2yj4141432323(31)257318.615432343（5分）自由度k-1=3-1=2，（2分）取显著性水平a=，查Ｘ2分布表得临界值c=，（2分）因为Q>C，故以5%的显著水平拒绝H0假设，即顾客对3种服务的态度有显著性差异。（2分）

8、调查20个村民对3个候选人的评价，答案只有“同意”或“不同意”两种，结果见表1： 表1

| 候选人 A 1 1 0 0 0 0 1 & 0 0 1 0 0 1 1 0 0 】1 1 0 B 1 20个村民的评价（“同意”为1，“不同意”为0） 0 1 1 0 1 0 ? 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 0 0 1 1 0 C 0 0 1 1 1 * 0 0 0 0 1 0 1 1 1 ! 1 0 1 0 1 试检验村民对这三个候选人的评价有没有区别

1 解：建立假设组： H0：三个候选人在村民眼中没有区别

H1：三个候选人在村民眼中有差别（2分）

数据适合用Cochran Q检验（2分）。

而且已知n=20，k=3，∑xi=∑yj ＝28。（2分） &

计算结果见表3： 表3

3个候选人 A 1 1 0 0 \\ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 , 0 0 1 1 1 9 0 B 1 20个村民的评价（“同意”为1，“不同意”为0） Xi 0 1 ~ 0 1 0 1 1 0 0 0 1 。 0 0 1 0 0 0 1 8 1 0 C > 0 1 1 1 1 0 0 0 0 | 0 1 1 1 1 1 0 1 0 ； 0 1 11 Yj 1 2 2 1 2 1 2 1 、 0 2 1 1 2 2 2 1 1 【 2 28 0 2 根据表2计算得：

xi29282112266y2j12222248（2分）

Qk(k1)[xi2(xi)2kkyjy2j228则3(31)(266（2分） )30.777832848取显著性水平ａ＝，查卡方分布表得卡方临界值C＝，由于Q第八章P170-171

2.下面是某车间生产的一批轴的实际直径（单位：mm）： ；

能否表明该尺寸服从均值为10，标准差为的正态分布(分别用K-S拟合检验和卡方拟合检验)。当n=10，a=时查表得K-S拟合检验的临界值为。（24分）

解：建立假设组：H0：该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为的正态分布；

H1：该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为的正态分布（2分） 首先将样本数据按升序排列，并对数据进行标准化处理，即Zi=（xi-10）/（1分），并列在计算表中。

（1）K-S正态拟合检验见表1： 表1 K-S拟合检验计算表 样本数据xi 标准化值 < 正态区间 正态累计概率 实际累计离差 频率 Zi (1) (2) | ) - [, [, (3) (-∞,-3) [-3, (4) 、 [, [, (5) … (6)=(4)-(5) : ] ~ [, [, [, [, - [,∞) K-S拟合检验统计量取最大的绝对离差Dn=（5分），由于检验统计量小于临界值，所以无法拒绝零假设，即可以说该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为的正态分布（2分）。

（2）卡方正态拟合检验见表2： 表2 卡方拟合检验计算表 ! 样本数据xi | (1) 标准化值 Zi (2) (3) 》 (-∞,-3) [-3, 正态区间 正态概率 预期频数小预期Еi =(4)×10 (5) 频数合并 (6) (7) 实际频（Oi-数Oi Еi）2/Еi (8) (4) - 5 、 [, [, [, @ [, [, ^ 1 1 2 < [, [, [, - 合计 - - … [,∞) - ￥ 1 10 由于存在小预期频数，所以要合并，直到预期频数都大于1（见第（6）列），同时计算合并后的实际频数（该步正确2分）。

从表2得卡方检验统计量Q=（6分），自由度df=k-1=5-1=4（2分），查卡方分布表得a=的临界值C=（左尾），右尾临界值（2分），说明检验统计量Q落在肯定域，不能拒绝零假设，即可以说该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为的正态分布（2分）。

第九章p184-186

1、美国在1995年因几种违法而被捕的人数按照性别为：

表1

` 性别 谋杀 抢劫 恶性攻击 13927 116741 \" 328476 偷盗 非法侵占 2395 704565 29866 351580 # 1457 12068 70938 男 女 偷盗机动车 119175 18058 纵火 11413 2156 从这些罪行的组合看来，是否与性别无关如果只考虑谋杀与抢劫罪，结论是否一样（20分）

解：本题适合用性卡方检验。 建立假设组H０：犯罪类型与性别无关

H１：犯罪类型与性别有关 r=7,c=2.自由度df=(7-1)(2-1)=6 a=,查表得X2,6)= < Eij=ni.。n

计算结果见下表：

(Qij-Eij)^2/Ei~ 男(Qi1) 女(Qi2) 合计 Ei1 Ei2 j $ 谋杀 抢劫 ; 恶性攻击 328476 70938 【 偷盗 2395 29866 266361 1056145 399414 303146 13927 1457 15384 116741 12068 128809 非法侵占 704565 % 351580 偷盗机动车 纵火 合计 119175 18058 11413 2156 137233 13569 X^2= 1530792 486123 2016915 由于X2=>X2,6)=，所以拒绝零假设，说明罪行与性别有关。

如果只考虑谋杀与抢劫，则

男 (Qi1) 女(Qi2) 合计 Ei1 15384 Ei2 (Qij-Eij)^2/Eij X^2= 谋杀 13927 1457 抢劫 116741 12068 128809 116727 合计 130****3525144193 由于Ｘ2=