高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》解析

一、选择题

1．已知复数z满足z(1i)43i，其中i是虚数单位，则复数z在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A．5 2B．

52 2C．

5 2D．

5 4【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数的除法运算化简z, 复数z在复平面中对应的点到原点的距离为|z|,利用模长公式即得解. 【详解】

由题意知复数z在复平面中对应的点到原点的距离为|z|,

43i(43i)(1i)17i17i,1i2222

14952|z|442z故选：B 【点睛】

本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.

2．已知i是虚数单位，zA．10 【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】

43i，则z( ) 4(1i)C．5

D．5 B．10

Qz443i3i13i，z(1)2(3)210． 42(1i)(2i)故选B． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( ) A．直线

B．圆

C．椭圆 【答案】A 【解析】 【分析】

D．抛物线

设zxyi(x、yR)，代入z11iz，求模后整理得z在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】

设zxyi(x、yR)，

x1yi则x1y2＝2y2，1iz1ixyi2y12x2，

x12y1x2，得yx，

所以复数zxyi对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．

4．a为正实数，i为虚数单位，A．2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

B．3

ai2，则a=（ ） iC．2

D．1

Q|ai|2a212a3Qa0,a3，选B. i

5．设i是虚数单位，若复数aA．-3 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 因故由题设故

,故选D．

,

,

B．-1

10aR是纯虚数，则a的值为（ ） 3iC．1 D．3

考点：复数的概念与运算.

6．已知复数z满足A．1 【答案】D 【解析】 【分析】

按照复数的运算法则先求出z，再写出z，进而求出z. 【详解】

1iz2i（其中z为z的共轭复数），则z的值为( ) 1iB．2

C．3 D．5 1i(1i)22iQi， 1i(1i)(1i)21i2iz2iiz2izi(2i)12i， 1iiz12i|z|(1)2225.

故选：D 【点睛】

本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

7．复数z满足z(2i)36i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】

B．3i

C．3i

D．3

36i36i2i115i13i， 由题意可得：z2i552i2i据此可知，复数z的虚部为3. 本题选择D选项. 【点睛】

复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

8．复数

1i的虚部为（ ） 12i2A．

1 10B．1 10C．

3 10D．3 10【答案】A 【解析】 【分析】

1i11i，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 12i2510【详解】

化简复数由题意，复数

1i12ii11i， 12i212i12i2510所以复数故选：A.

11i的虚部为.

1012i2【点睛】

本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

9．已知复数z满足

112i12i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） zA．4 B．4i C．4 D．4i 【答案】C 【解析】z112i11420i34i ,所以z的虚部为4,选C. 12i5

10．若复数z的虚部小于0，|z|5，且zz4，则iz（ ） A．13i 【答案】C 【解析】 【分析】

根据zz4可得z2mi(mR)，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】

由zz4，得z2mi(mR)，因为|z|m245，所以m1. 又z的虚部小于0，所以z2i，iz12i. 故选：C 【点睛】

此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.

B．2i

C．12i

D．12i

11．若复数z34sin212cosi为纯虚数，0,，则（ ）

A．

 6B．

 3C．

2 3D．

2或 33【答案】B 【解析】

分析：由题意得到关于sin,cos的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.

详解：若复数z34sin12cosi为纯虚数，则：

232sin34sin204，即：， 112cos0cos23sin2，故. 结合0,，可知：3cos12本题选择B选项.

点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．若复数z满足z(12i)10,则复数z在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】

化简复数，求得z24i，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

1012i1024i， 由题意，复数z满足z(12i)10，可得z12i12i12i所以复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

13．复数z满足(2i)z1i，那么|z|（ ） A．

2 5B．

1 5C．

2 5D．

10 5【答案】D

【解析】 【分析】 化简得到z【详解】

13i，再计算复数模得到答案. 55131i(1i)(2i)13i10. ，∴zi，∴|z|2i55555(2i)z1i，∴z故选：D. 【点睛】

本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.

14．若复数zA．1 【答案】A 【解析】 【分析】

由z·i30可判定z·i3为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】

ai，且z·i30，则实数a的值等于（ ） 1iB．-1

C．

1 2D．1 2Qzaiai1ia1a1i， 1i1i1i23所以z·ia1i3a1i42a1ia12，

因为z·i30，所以z·i3为实数，3a10 2i10,符合题意，故选A. 可得a1，a1时,z?【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

15．如果复数z满足z3iz3i6，那么z1i的最小值是（ ） A．1 【答案】A 【解析】

B．2

C．2

D．5 分析：先根据已知z3iz3i6找到复数z对应的点Z的轨迹，再利用数形结合求

z1i的最小值.

详解：设复数z对应的点Z(x,y),则由题得x2(y3)2它表示点Z到A（0，-3）和B（0,3）的距离和为6， 所以点Z的轨迹为线段AB,

因为z1i=(x1)2(y1)2，它表示点Z到点C（-1,-1）的距离， 所以当点Z在点D(0，-1)时，它和点C（-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A

点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)zabi表示复数z对应的点到（-a,-b）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.

x2(y3)26，

16．设复数zabi（i为虚数单位，a,bR），若a,b满足关系式b2at，且z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t的取值范围是( ) A．[0,1] 【答案】C 【解析】 【分析】

首先根据复数的几何意义得到z的轨迹方程y2t，再根据指数函数的图象，得到关于

xB．[1,1] C．(0,1)(1,) D．(1,)

t的不等式，求解.

【详解】

由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为x,y，

xax y2t ， ，即ayb2t因为z在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当x0时，1t1 且1t0 ， 解得t0且t1 ，

即t的取值范围是0,1U1,. 故选：C 【点睛】

本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

17．已知复数z在复平面内对应点是1,2，i为虚数单位，则

z2（ ） z1A．1i 【答案】D 【解析】

B．1i C．1

3i 2

D．1

3i 2

z232i31i ，选D. z12i2

18．已知方程x4ix4ai0aR有实根b，且zabi，则复数z等于

2（ ） A．22i 【答案】A 【解析】 【详解】

由b是方程x4ix4ai0aR的根可得b4ib4ai0,

22B．22i C．22i D．22i

整理可得：baib4b40，

2所以ba0a2，解得，所以z22i，故选A. 2b4b40b2

19．若复数z满足z1i2i（i为虚数单位），则z=（ ） A．1 【答案】C 【解析】

试题分析：因为z(1i)2i，所以z考点：复数的模

B．2

C．2 D． 3 2i2i(1i)1i,因此z1i2. 1i2

20．复数满足zz48i，则复数z在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

aa2b24,即可设zabi(a,bR),则zzabiab48i,可得b822得到z,进而找到对应的点所在象限. 【详解】

设zabi(a,bR),则zzabia2b248i,

aa2b24a6,z68i, ,b8b8所以复数z在复平面内所对应的点为6,8,在第二象限. 故选:B 【点睛】

本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.