2014-2015学年安徽省宿州市十三校联考高一（上）期中数学试
卷
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）
1．（5分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（ ） A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）下列哪组中的函数f（x）与g（x）相等（ ） A．f（x）=x2，C．f（x）=x，g（x）=
B．f（x）=x+1，g（x）= D．f（x）=
+1
，g（x）=
3．（5分）已知幂函数y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1在（0，+∞）单调递减，则实数m=（ ） A．1
B．﹣1 C．6
D．﹣1或6 ，
，
，则a，b，c的大小顺序为（ ）
4．（5分）设
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b
5．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上递减的偶函数是（ ） A．y=x3+1 B．y=log2（|x|+2） C．6．（5分）已知函数f（x）=A．2
B．4
C．6
D．7
D．y=2|x|
，其中x∈N，则f（8）=（ ）
7．（5分）若关于x的方程|x2﹣2x﹣3|﹣m+5=0有4个根，则m的取值范围为（ ）
A．（5，9） B．[5，9] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3]
8．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足f（lnx）＞f（1）的x取值范围是（ ） A．（，1） +∞）
B．（0，）∪（1，+∞） C．（，e）
D．（0，1）∪（e，
9．（5分）函数f（x）定义域为R，且对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．则下列选项中不恒成立的是（ ） A．f（0）=0 ＜0
10．（5分）函数y=
的图象大致为（ ）
B．f（2）=2f（1） C．f（）=f（1）
D．f（﹣x）f（x）
A． B． C．
D．
二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）在映射f：A→B中，集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则B中的元素（﹣1，2）在集合A中的原像为 ． 12．（5分）函数f（x）=3+ax﹣1，（a＞0且a≠1）的图象恒过定点 ． 13．（5分）函数f（x）=log2（3+2x﹣x2）的单调递增区间为 ．
14．（5分）已知函数f（x）在R上为奇函数，当x＞0时f（x）=2x+1，则函数f（x）的解析式为 ．
15．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为“k阶格点函数”．下列函数中是“一阶格点函数”的有 ①f（x）=|x|；②
；③
；④
⑤
．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
16．（12分）计算下列各式的值： （1）（2）
．
；
17．（12分）已知非空集合A={x|2a﹣2＜x＜a}，B={x|x≤1或x≥2}，且A∩B=A，求a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）=（1）作出a=时函数f（x）的图象；
（2）若函数f（x）在R上单调递减，求a的取值范围． 19．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0）
（1）若a＞b＞c，f（1）=0，证明：f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）若常数x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），求证：必存在x0∈（x1，x2）为函数F（x）=f（x）﹣
的零点．
（a∈R）
20．（13分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）不动点．已知函数f（x）=ax2+（b﹣7）x+18有两个不动点分别是﹣3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）试求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值g（t）． 21．（14分）设f（x）=log（1）求a的值；
（2）证明f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）若x∈[3，4]，不等式f（x）＞（）x+m恒成立，求实数m的取值范围．
为奇函数，a为常数，
2014-2015学年安徽省宿州市十三校联考高一（上）期中
数学试卷
参与试题解析
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）
1．（5分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（ ） A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}， ∴M∩N={﹣1，0，1}， 故选：B．
2．（5分）下列哪组中的函数f（x）与g（x）相等（ ） A．f（x）=x2，C．f（x）=x，g（x）=
B．f（x）=x+1，g（x）= D．f（x）=
+1
，g（x）=
【解答】解：对于A，f（x）=x2（x∈R），g（x）=义域不同，不是相等函数；
对于B，f（x）=x+1（x∈R），g（x）=是相等函数；
对于C，f（x）=x（x∈R），g（x）=系也相同，是相等函数； 对于D，f（x）=（x≥﹣1），
它们的定义域不同，不是相等函数； 故选：C．
（x≤﹣2x≥﹣1），g（x）=
=x2（x≥0），它们的定
+1=x+1（x≠0），它们的定义域不同，不
=x（x∈R），它们的定义域相同，对应关
=
3．（5分）已知幂函数y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1在（0，+∞）单调递减，则实数m=（ ） A．1
B．﹣1 C．6
D．﹣1或6
【解答】解：∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数 ∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1
当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数 当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数 故选：B．
4．（5分）设
，
，
，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【解答】解：∵∴a＜b＜c． 故选：B．
5．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上递减的偶函数是（ ） A．y=x3+1 B．y=log2（|x|+2） C．
D．y=2|x|
=﹣log23＜0，
=1，
＞20=1．
【解答】解：对于A，定义域为R，函数单调增，是奇函数，不满足题意； 对于B，定义域为R，是偶函数，在（0，+∞）上是增函数，不满足题意； 对于C，定义域为R，是偶函数，在区间（0，+∞）上递减，满足题意； 对于D，定义域为R，是偶函数，在（0，+∞）上是增函数，不满足题意； 故选：C．
6．（5分）已知函数f（x）=A．2
B．4
C．6
D．7
，其中x∈N，
，其中x∈N，则f（8）=（ ）
【解答】解：∵f（x）=∴f（8）=f[f（13）] =f（10） =7． 故选：D．
7．（5分）若关于x的方程|x2﹣2x﹣3|﹣m+5=0有4个根，则m的取值范围为（ ）
A．（5，9） B．[5，9] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3]
【解答】解：由|x2﹣2x﹣3|﹣m+5=0得到|x2﹣2x﹣3|=m﹣5， 作出函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象，如图：
由图象可知要使|x2﹣2x﹣3|=m﹣5，有4个根， 则满足0＜m﹣5＜4， 即5＜m＜9， 故选：A．
8．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足f（lnx）＞f（1）的x取值范围是（ ） A．（，1） +∞）
【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，
∴不等式f（lnx）＞f（1）等价为f（|lnx|）＞f（1）， ∵函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减， ∴|lnx|＜1， 即﹣1＜lnx＜1， 解得故选：C．
9．（5分）函数f（x）定义域为R，且对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．则下列选项中不恒成立的是（ ）
，
B．（0，）∪（1，+∞） C．（，e）
D．（0，1）∪（e，
A．f（0）=0 ＜0
B．f（2）=2f（1） C．f（）=f（1） D．f（﹣x）f（x）
【解答】解：函数f（x）定义域为R，且对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立，
令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，故A成立； 令x=y=1，得f（2）=f（1）+f（1）=2f（1），故B成立； 令x=y=，得f（1）=f（）+f（）=2f（），∴f（）=
，故C成立；
令x=﹣y，得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）f（x）≤0，故D不成立． 故选：D．
10．（5分）函数y=
的图象大致为（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解析：函数有意义，需使ex﹣e﹣x≠0， 其定义域为{x|x≠0}，排除C，D， 又因为
，
所以当x＞0时函数为减函数，故选A 故选：A．
二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）在映射f：A→B中，集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）
→（x﹣y，x+y），则B中的元素（﹣1，2）在集合A中的原像为 （，） ． 【解答】解：∵从A到B的映射f：（x，y）→（x﹣y，x+y），设A中元素（x，y）对应B中元素（﹣1，2）
解方程组，得，故（﹣1，2）在A中的原像是（，）
故答案为：（，）
12．（5分）函数f（x）=3+ax﹣1，（a＞0且a≠1）的图象恒过定点 （1，4） ． 【解答】解：令x﹣1=0，则x=1， 此时y=4，
故答案为：（1，4）．
13．（5分）函数f（x）=log2（3+2x﹣x2）的单调递增区间为 （﹣1，1） ． 【解答】解：令t=3+2x﹣x2＞0，求得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为（﹣1，3），且f（x）=log2t，
故本题即求函数t在定义域上的增区间．
再利用二次函数的性质可得函数t在定义域上的增区间为（﹣1，1）， 故答案为：（﹣1，1）．
14．（5分）已知函数f（x）在R上为奇函数，当x＞0时f（x）=2x+1，则函数f（x）的解析式为 f（x）=
．
． ．
【解答】解：由题意可知： 当x=0时，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣0）=﹣f（0）=f（0）， ∴f（0）=0；
当x＜0时，任设x∈（﹣∞，0），则﹣x＞0， 又因为：当x＞0时，f（x）=2x+1，
所以：f（﹣x）=﹣2x+1=﹣2x+1，
又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴﹣f（x）=2x﹣1， ∴f（x）=﹣2x+1．
所以函数f（x）在R上的解析式为：f（x）=．
．
故答案为：f（x）=．
．
15．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为“k阶格点函数”．下列函数中是“一阶格点函数”的有 ② ①f（x）=|x|；②
；③
；④
⑤
．
【解答】解：①中，∵当x=k时，f（k）=k（k∈N*）， ∴f（x）=|x|不为“一阶格点”函数，故①错误；
②中，∵x=1时，f（x）=3．当x≠0，x∈Z时，f（x）均为非整数， 故f（x）=
（x﹣1）2+3只有（1，3）一个格点，
故函数为“一阶格点”函数，故②正确；
③中，∵x=1时，f（x）=2，x=2时，f（x）=1， 故
不为“一阶格点”函数，故③错误；
④中，∵x=0时，f（x）=0， 当x=1，时，f（x）=﹣1， 故
不为“一阶格点”函数，故④错误；
⑤中，∵x=0时，f（x）=﹣1， 当x=2，时，f（x）=1，
故不为“一阶格点”函数，故⑤错误．
故答案为：②．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）计算下列各式的值： （1）（2）
．
；
【解答】解：（1）=+1﹣（=1； （2）
2
===1．
17．（12分）已知非空集合A={x|2a﹣2＜x＜a}，B={x|x≤1或x≥2}，且A∩B=A，求a的取值范围． 【解答】解：若A∩B=A， 则A⊆B；
当2a﹣2＜a，即a＜2时，A⊆B， ∴a≤1或2a﹣2≥2，解得a≤1或a≥2 故a≤1．
故a的取值范围为（﹣∞，1]．
18．（12分）已知函数f（x）=
（a∈R）
（1）作出a=时函数f（x）的图象；
（2）若函数f（x）在R上单调递减，求a的取值范围．
【解答】解：（1）a=时函数f（x）=，画此分段函数如图：
（2）要使函数f（x）在R上单调递减，则当x≥1时函数y=logax递减，∴0＜a＜1，
同时函数y=g（x）=（3a﹣1）x+4a递减且g（1）≥0，即∴a的取值范围：{a|
19．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0）
（1）若a＞b＞c，f（1）=0，证明：f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）若常数x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），求证：必存在x0∈（x1，x2）为函数F（x）=f（x）﹣【解答】证明：∵f（1）=0， ∴a+b+c=0， 又a＞b＞c， 故a＞0，c＜0， ∴ac＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴f（x）的图象与x轴有2个交点．
（2）设F（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则F（x1）×F（x2）=[f（x1）﹣f（x1）﹣
的零点．
}．
，∴
，
f（x2）]×[f（x2）﹣f（x1）﹣f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]×[f（x2）﹣f（x1）]
=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2＜0， 由于f（x1）≠f（x2） 所以：F（x1）×F（x2）＜0
所以方程F（x）在（x1，x2）内必有一根．
所以：必存在x0∈（x1，x2）为函数F（x）=f（x）﹣
20．（13分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）不动点．已知函数f（x）=ax2+（b﹣7）x+18有两个不动点分别是﹣3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）试求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值g（t）．
【解答】解：（1）∵f（x）=ax2+（b﹣7）x+18的不动点是﹣3和2 ∴ax2+（b﹣8）x+18=0的两个根是﹣3和2
的零点．
∴
∴f（x）=﹣3x2﹣2x+18…（6分） （2）①当②当③当递减， ∴
…（12分） 即
即
时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，g（t）=﹣3t2﹣2t+18
时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，g（t）=﹣3t2﹣8t+13
时，f（x）在
上单调递增，在
综上可知：…（13分）
21．（14分）设f（x）=log（1）求a的值；
为奇函数，a为常数，
（2）证明f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）若x∈[3，4]，不等式f（x）＞（）x+m恒成立，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴∴
，
，
即（1+ax）（1﹣ax）=﹣（x+1）（x﹣1）， 即1﹣a2x2=1﹣x2， 即a2=1， ∴a=﹣1或a=1， 若a=1，则故a=﹣1． （2）∵
设1＜x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0 ∵∴
，
=不满足条件，舍去，
，（x＞1），
∴△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增． （3）设
则g（x）在[3，4]上是增函数 ∴g（x）＞m对x∈[3，4]恒成立， ∴m＜g（3）=﹣．
，
