贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试题

贵州省遵义市

航天高级中学2015届高三上学期第三次模拟考试

数学（理）试题

一．选择题（本题共十二小题，每题5分，共60分）

1.集合PxZ0x2,MxZx24,则PM等于（ ）

1 B.0,1 C.0,2 D.0,2 A.（12ai）i1bi,其中a,bR,则abi（ ） 2.若

155 A.i B.5 C. D.

2423.若a20.5,blog3,clog22，则有（ ） 2 A.abc B.bac C.cab D.bca

x24.双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

4 A.

254524 B. C. D.

55555.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ） A．7 B．15 C．31 D. 63

6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）

A.1 B.2 C.

2121 D. 227.在ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边且A60,若SABC5sinB3sinC,则ABC的周长等于（ ）

153, 4A.819 B.14 C.1035 D.18

8.从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表，若甲、乙2人至少有一人入选，则不同的选法有（ ）

A.40种 B.60种 C.96种 D.120种

9.设函数f(x)sin(x)cos(x)(0,)的最小正周期为，且f(x)f(x),则

2（ ）

3A.yf(x)在（，）上单调递增 B.yf(x)在（0，）上单调递增

4423C.yf(x)在（，）上单调递减 D.yf(x)在（0，）上单调递减

44210.已知直线xya与圆x2y24交于A.B两点，且OBOAOAOB(其中O为坐标原点)，则实数a的值为（ ）

A.2 B.6 C.2或-2 D.6或-6

nn)ansin2,则该数列的前1和为（ ） 22 A.2101 B.1067 C.1012 D.2012

11.已知数列an满足a11,a22,an2(1cos2

f(x)的图象如图所示,若正数12.已知函数f(x)的定义域为-3，且f(6)2,f(x)为f(x)的导函数，a,b满足f(2ab)2,则

b3的取值范围是（ ） a2

39) B.(， A.(,)(3，3)

2293) D.(， C.(,)(3，3)

22二．填空题（本小题共四小题，每题5分，共20分）

13.在等差数列an中，a3a7a108,a11a44,则S13_________.

b6（ax2）14.若的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为__________.

x15.正四面体ABCD的外接球的体积为43，则正四面体ABCD的体积是_____.

16.定义域是一切实数的函数yf(x)，其图像是连续不断的，且存在常数（R）使得

f(x)f(x)0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“的相关函数”。有下列关于“的

相关函数”的结论：（1）f(x)0是常值函数中唯一一个“的相关函数”; (2)f(x)x2是一个“的相关函数”；（3）“

1的相关函数”至少有一个零点。其中结论正确的是2__________.

三．解答题（本题共五小题，每题12分，共60分）

xxx17.已知函数f(x)2cos(3cossin).

222（1）设-，，且f()31,求的值

22（2）在ABC中，AB1，f(C)31,且ABC的面积为3， 2 求sinAsinB的值。

18.某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人参加三个副职务竞选. （1）设所选3人中女副人数为X，求X的分布列及数学期望；

（2）若选派三个副依次到A,B,C三个局上任，求A局是男副的情况下，B局是女副局

长的概率。

19.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N. （1）求证：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值； （3）求点N到平面ACM的距离.

x2y220.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：221(ab0)的上顶点到焦点的距离为2，离心率为

ab3。 2（1）求a,b的值，

（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线交椭圆于A,B两点，求OAB面积的最大值。

21.已知函数f(x)xalnx.

（1）若a1 ，求f(x)的单调区间及最小值。 （2）若a0,求f(x)的单调区间；

ln22ln32lnn2（n1）(2n1) （3）是比较22...2与的大小（nN且n2),并证明你的结论。

23n2(n1)四．选做题（请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分） 22.（满分10分）选修4-1：几何证明讲

已知 △ABC 中，AB=AC, D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A,C重合），延长BD至E. (1) 求证：AD的延长线平分CDE；

(2) 若BAC=30°，ABC中BC边上的高为2+3，求△ABC外接23.（满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为

cos圆的面积.

1，M,N3分别为C与x轴，y轴的交点.

(1) 写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；

(2) 设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程. 24.（ 满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)|x1||xa|.

(1) 若a=-1,解不等式f(x)3；

(2) 如果x R, f(x)2，求a 的取值范围.

三模理科数学答案

一．选择题 1 B 2 C 3 A 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 9 D 10 C 11 B 12 A 二．填空题

13.156 14.2 15.三．解答题 17.

8 16.(3) 3

18.

19.解：方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。 又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD， 所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD， 所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）由（1）知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点可得

AM22，MCMD2CD223 1则SACMAMMC26 2设D到平面ACM的距离为h，由VDACMVMACD即26h8，

可求得h26， 3h6。 CD3PNPAPAPC，得PNzPM设所求角为，则sin（1） 可求得PC=6。因为AN⊥NC，由

以NC:PC5:9。

8。3所

NA故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的

5。 9BxDy又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由求距离为

5106h。 927OC（2）可知所

方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)， C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；设平面ACM的一个法向量n(x,y,z)，由nAC,nAM可得：2x4y0，令z1，则

2y2z0

n(2,1,1)。设所求角为，则sin6。 3CDnCDn6， 3 所以所求角的正弦值为

2PC（3）由条件可得，ANNC.在RtPAC中，PAPN,所以PN810,则NCPCPN, 33NC55，所以所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h则PC99h20.

APnn265106，所以所求距离为h。 3927

21.

（22）解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点 ∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD的延长线平分∠CDE.

（24）解：（Ⅰ）当a1时，f(x)|x1||x1|

由f(x)≥3得|x1||x1|≥3 （ⅰ）x≤-1时，不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3

x13不等式组的解集为[,)

2f(x)3综上得，f(x)3的解集为(,][,) „„5分 （Ⅱ）若a1,f(x)2|x1|，不满足题设条件

3232

2xa1,xa,若a1,f(x)1a,ax1 f(x)的最小值为1a

2x(a1),x12xa1,x1,a1,f(x)a1,1xa f(x)的最小值为a1

2x(a1),xa所以x,R(f)x的充要条件是|a1|2，从而a的取值范围为

(,1]

„„10分 [ 3