2019-2020学年北京市通州区高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题

1．函数fxlog2x是（ ） A．0,上的增函数 C．R上的增函数 【答案】A

【解析】对数函数ylogax(a0且a1),定义域为(0,),当a1时函数在

B．0,上的减函数 D．R上的减函数

(0,)上为增函数.

【详解】

ylog2x的定义域为(0,),

又21,故ylog2x在(0,)上为增函数, 故选:A. 【点睛】

本题考查对数函数的定义域以及单调性,属于基础题. 2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A．ylog0.5x 【答案】C

【解析】直接利用函数性质判断即可. 【详解】

选项A中ylog0.5x不是周期函数,故排除A; 选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D; 故选:C. 【点睛】

本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题. 3．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（ ） A．0,1 【答案】B

B．1,2

C．2,3

D．2,4

B．ysinx

C．ycosx

D．ytanx

第 1 页 共 15 页

【解析】根据函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间． 【详解】 解：

函数f(x)lnx3x4在其定义域上单调递增，

f（2）ln2234ln220，f（1）3410， f（2）f（1）0．

根据函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)， 故选：B． 【点睛】

本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题． 4．在0~360范围内，与80角终边相同的角是（ ） A．80 【答案】D

【解析】与80角终边相同的角的集合是:{|k36080,kZ},再代k1计算即可. 【详解】

与80角终边相同的角的集合是:{|k36080,kZ}, 当k1时,280,

B．100

C．240

D．280

在0~360范围内,与80角终边相同的角是280,

故选:D. 【点睛】

本题考查终边相同的角的求法,考查运算求解能力,属于基础题. 5．若角的终边经过点P(3,4)，则sin等于（ ） A．4 【答案】C

【解析】直接利用任意角的三角函数定义求解. 【详解】

角的终边经过点P(3,4),

B．3

C．

4 5D．

3 5|OP|(3)2425,

siny4, |OP|5第 2 页 共 15 页

故选:C. 【点睛】

本题考查了三角函数的定义,属于基础题. 6．将函数f(x)sin2x的图象向右平移式是（ ） A．gxsin2x个单位长度得到gx图象，则函数的解析63

B．gxsin2x 6 6C．gxsin2x【答案】C

3

D．gxsin2x【解析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论． 【详解】

由题意，将函数f(x)sin2x的图象向右平移可得gxsin2(x故选C． 【点睛】

本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 7．“个单位长度， 66)sin(2x3).

6”是“sin1”的（ ） 2B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】根据【详解】 由6和sin1之间能否推出的关系，得到答案. 26可得sin1， 2由sin所以“512k，kZ，不能得到， ，得到2k或26666”是“sin1”的充分不必要条件， 2故选：A. 【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.

第 3 页 共 15 页

sinx,0x1,fx8． 若a，b，c互不相等，已知函数且fafbfc，

log2019x,x1.则abc的取值范围是（ ）

，2019 A．1【答案】C

，2020 B．12020 C．2，2020 D．2，【解析】作出函数的图象,根据fafbfc,结合函数的图象可得

ab1,1c2019,从而求出结论.

【详解】

画出f(x)的图像如下图所示:

因为f(a)f(b)f(c),且abc,不妨设abc, 结合函数图象可知0a1,0b1,1c2019, 且ab即ab1, abc1c(2,2020),

故选:C. 【点睛】

本题主要考查了函数与方程的综合应用,解题的关键是作出函数图象,利用数形结合思想答题.

二、填空题

9．函数f(x)sin2x的最小正周期为 ． 【答案】

【解析】试题分析：fxAsinx的周期为T【考点】三角函数周期

10．函数ysinx3cosx的最小值是_________.

2T2 2第 4 页 共 15 页

【答案】2

【解析】运用三角函数的辅助角公式将函数解析式化简即可得到答案. 【详解】

ysinx3cosx2sin(x),

3y的最小值是2,

故答案为:2. 【点睛】

本题主要考查三角函数辅助角公式的应用,属于基础题.

11．三个数1.70.3，log0.51.1，sin1按由小到大的顺序排列是________. 【答案】log0.51.1sin1 1.70.3

【解析】利用三角函数､指数函数以及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】

1.70.31.701,log0.51.1log0.510,sin1(0,1),

三个数1.70.3,log0.51.1,sin1按由小到大的顺序排列为:log0.51.1sin11.70.3,

故答案为:log0.51.1sin11.70.3. 【点睛】

本题考查了运用三角函数､指数函数以及对数函数的单调性比较大小,属于基础题.

，4上的最大值与最小值的和是2，12．已知函数fxlogaxa0,a1在1则a的

值为________. 【答案】2

【解析】在a1和0a1两种情况下,利用对数函数的单调性分别确定函数

ylogax的最大值和最小值,再依据题意列式求解即可.

【详解】

①当a1时,yloga所以ylogax在(0,)上为增函数,

x在[1,4]上最大值为loga4,最小值为loga1;

x在(0,)上为减函数,

②当0a1,时,yloga所以ylogax在[1,4]上最大值为loga1,最小值为loga4.

故有loga1loga42,即loga42,解得a2,

第 5 页 共 15 页

又a0,所以a2, 故答案为:2. 【点睛】

本题考查了对数函数的单调性以及指数､对数运算,难度不大.解决此类问题时,注意对底数a进行分情况讨论.

13．能说明“若fx是奇函数，则fx的图象一定过原点”是假命题的函数是fx ________. 【答案】

1 x【解析】找出一个不过原点的奇函数即可. 【详解】

依题意,所求函数只需满足是奇函数,同时不过原点即可, 显然,函数f(x)故答案为:【点睛】

本题考查命题及函数的奇偶性,熟悉常见函数的性质是解题关键,属于基础题.

14．已知函数yacosx，x,（其中，a，为常数，且0）有且仅有3个零点，则a的值为_______，的取值范围是_______. 【答案】1 2,4

【解析】函数yacosx在[,]上为偶函数,根据偶函数的性质可知x0必为函数的一个零点,由此求得a1,再根据三角函数的图象性质,求得的取值范围. 【详解】

函数yacosx在[,]上为偶函数,且函数有且仅有3个零点, 故必有一个零点为x0,

1满足条件. x1. xacos00,

a1;

所以函数ycosx1,x[,]的零点个数,

等价于函数ycosx与直线y1的图象在[,]上交点的个数,

而函数ycosx相当于函数ycosx纵坐标不变,横坐标扩大(或缩小)为原来的

1(0)倍,

第 6 页 共 15 页

当1时,函数ycosx与直线y1在[,]上仅有一个交点,则1; 当2时,函数ycos2x与直线y1在[,]上恰有3个零点,如下图所示,故

2;

当4时,函数ycos2x与直线y1在[,]上恰有5个零点,如下图所示,故

4;

综上所述,的取值范围是[2,4). 故答案为:1;[2,4). 【点睛】

本题考查三角函数的图象及性质,考查数形结合思想及逻辑推理能力,属于中档题.

三、解答题

15．已知函数fxx2x3.

2(Ⅰ)设集合A{x|fx0},B{x|fx0},C{x|fx0},分别指出2,3,4是A,B,C中哪个集合的元素;

(Ⅱ)若aR,x1,x2a,,当x1x2时,都有fx1fx2,求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）aa1 C，3B，4A；

【解析】(Ⅰ)根据题意,求出x22x30的解集,即可得集合A､B､C,据此分析可得答案;

(Ⅱ)根据题意可知函数f(x)在[a,)上单调递增,再结合二次函数的单调性分析可得答案. 【详解】

第 7 页 共 15 页

(Ⅰ)函数f(x)x22x3,

若x22x30,解得x3或x1,

则A{x|x3或x1},B{x|x1或3},C{x|1x3}; 所以2C,3B,4A;

2(Ⅱ)因为二次函数fxx2x3的图象是开口朝上的抛物线,且对称轴是x1,

1上单调递减,在1，上单调递增, 所以fx在，因为aR,x1,x2a,,当x1x2时,都有fx1fx2, 所以函数fx在a,上单调递增,

，, 所以a,1所以a1,即a的取值范围是aa1. 【点睛】

本题考查集合,考查二次函数的性质应用,涉及一元二次不等式的解法,难度不大. 16．已知函数fxloga1xloga1xa0,a1， （Ⅰ）求函数fx的定义域；

（Ⅱ）若f0.50.42，求f0.5的值（精确到0.01）. 【答案】（Ⅰ）1,1；（Ⅱ）0.42

【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可; (Ⅱ)利用定义法判断出f(x)为偶函数,进而求出f(0.5)的值. 【详解】

(Ⅰ)函数fxloga1xloga1xa0,a1,

1x0,解得1x1, 则有1x0即函数fx的定义域是1,1;

(Ⅱ)因为fx的定义域是1,1,关于原点对称,

且fxloga1xloga1xloga1xloga1xfx, 所以f(x)是偶函数,

第 8 页 共 15 页

所以f0.5f0.50.42. 【点睛】

本题考查了求函数的定义域和计算函数值的问题,属于基础题. 17．已知是第二象限角,且sin（Ⅰ）求tan的值； （Ⅱ）求cos2cos(【答案】（Ⅰ）3, 52)的值.

83；（Ⅱ） 425【解析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系,求得tan的值; (Ⅱ)由题意利用二倍角公式､诱导公式,求出cos2cos()的值.

2【详解】

(Ⅰ)因为是第二象限角,且sin所以cos1sin所以tan23, 54, 5sin3; cos4(Ⅱ)cos2cos(【点睛】

2)12sin2sin11838. 25525本题主要考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式､诱导公式的应用,属于基础题. 18．已知函数f(x)2sin(x)(0,)的部分图象如图所示. 22

（Ⅰ）求,的值；

（Ⅱ）求函数fx在0,上的单调区间；

（Ⅲ）若对任意x1,x20，都有|f(x1)f(x2)|m，求实数m的取值范围.

第 9 页 共 15 页

【答案】（Ⅰ）2，5，，单调递；（Ⅱ）单调递增区间为0,和636减区间为5，；（Ⅲ）mm4； 36【解析】(Ⅰ)根据三角函数的部分图象求出T､和的值;

(Ⅱ)由(Ⅰ)写出函数f(x)的解析式,再求函数在x[0,]上的单调递增区间和单调递减区间;

(Ⅲ)由(Ⅱ)求出函数f(x)在[0,]的最大值和最小值,得出|f(x1)f(x2)|的最大值,从而求得m的取值范围. 【详解】

(Ⅰ)设函数fx的最小正周期为T, 由图可知,T3453,所以T, 312422; T又T2,0,所以又f22sin,所以1, 33因为6222,即; 所以326,所以

27, 36(Ⅱ)由(Ⅰ)知,fx2sin2x,

6112x,x0,,, 因为当时666所以当2x,,即x0,时,fx单调递增; 6623当2x35,,即x，时,fx单调递减; 622363115,x，,即时,fx单调递增. 626655，,和单调递减区间为，; 3636第 10 页 共 15 页

当2x所以函数fx单调递增区间为0,(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,函数fx在0,的最大值为f2,最小值为35f62, 所以对任意x1,x20，π,都有|f(x1)f(x2)||22|4, 且当x1π5,x2时,|f(x1)f(x2)|取到最大值4, 36又因为对任意x1,x20，,都有|f(x1)f(x2)|m成立, 所以m4,即m的取值范围是mm4. 【点睛】

本题考查了三角函数图象与性质的应用问题,也考查了运算求解能力,属于中档题. 19．下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米).

户年用水量 阶梯 （立方米） 水价 自来水费 5.00 7.00 9.00 2.07 4.07 6.07 1.57 1.36 水资源费 污水处理费 其中 第一阶梯 0-180（含） 第二阶梯 181-260（含） 第三阶梯 260以上

（Ⅰ）试写出水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系式；

（Ⅱ）若某户居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少？

5x,0x180【答案】（Ⅰ）y7x180900,180x260；（Ⅱ）自来水费为454（元），

9x2601460,x260水资源费为314（元），污水处理费272（元）

【解析】(Ⅰ)根据北京市居民用水阶梯水价表(单位:元/立方米),直接求出水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系式即可;

(Ⅱ)因为函数yf(x)在各区间段为单调递增函数,因此可得180x260,再令10407(x180)900,即可解出x,从而求出对应的自来水费､水资源费及污水处理费.

【详解】

第 11 页 共 15 页

(Ⅰ)由北京市居民用水阶梯水价表(单位:元/立方米)得到水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系式为:

5x,0x180y7x180900,180x260;

9x2601460,x260(Ⅱ)由于函数yfx在各区间段为单调递增函数,

180时,yf1809001040, 所以当x0，260时,900yf26014601040, 当x180，所以180x260,

令10407x180900,解得x200, 即该用户当年用水量为200立方米,

自来水费为2.071804.0720454(元),水资源费为1.57200314(元),污水处理费1.36200272(元). 【点睛】

本题考查分段函数表达式的求法及其实际应用,考查运算求解能力和应用意识,难度不大.

20．如图，半圆的直径AB2，O为圆心，C，D为半圆上的点.

（Ⅰ）请你为C点确定位置,使ABC的周长最大，并说明理由； （Ⅱ）已知ADDC，设ABD，当为何值时， （ⅰ）四边形ABCD的周长最大，最大值是多少? （ⅱ）四边形ABCD的面积最大，最大值是多少?

【答案】（Ⅰ）点C是半圆的中点，理由见解析； （Ⅱ）（ⅰ）6时，最大值5（ⅱ）

6时，最大面积是

33 4【解析】(Ⅰ)设BCa,ACb,ABc,法一:依题意有a2b2c2,再利用基本不等式求得ab2c,从而得出结论;法二:由点C在半圆上,AB是直径,利用三角函数求出

第 12 页 共 15 页

accos,bcsin,再利用三角函数的性质求出结论;

(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形ABCD的周长p,再求p的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形ABCD的面积s,再结合基本不等式求s的最大值. 【详解】

(Ⅰ)点C在半圆中点位置时,ABC周长最大.理由如下: 法一:因为点C在半圆上,且AB是圆的直径, 所以ACB2,即ABC是直角三角形,

设BCa,ACb,ABc,显然a,b,c均为正数,则a2b2c2, 因为a2b22ab,当且仅当ab时等号成立, 所以2ab所以ab22a2b22abab,

22a2b22c,

所以ABC的周长为abc21c222,当且仅当ab时等号成立,

即ABC为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点C是半圆的中点. 法二:因为点C在半圆上,且AB是圆的直径, 所以ACB2,即ABC是直角三角形,

设BCa,ACb,ABc,ABC0则accos,bcsin,

, 2abcccoscsinc2cossin222sin2,

4因为02,所以

443, 4第 13 页 共 15 页

所以当42,即时, 4ABC周长取得最大值222,此时点C是半圆的中点.

(Ⅱ)(ⅰ)因为ADDC,所以ABDDBC, 所以ADDCABsin,CBABcos2, 设四边形ABCD的周长为p, 则pADDCCBAB

12ABsinABcos224sin212sin254sin,

222显然0,4,所以当6时,p取得最大值5;

(ⅱ)过O作OEBC于E,

设四边形ABCD的面积为s,四边形AOCD的面积为s1,BOC的面积为s2,则

11ACODBCOE 2211ABsin21ABcos2sin2 22ss1s2sin2cos2sin2

sin21cos2,

所以s2sin221cos2

21cos221cos2

21cos21cos2 331cos21cos23131cos21cos22 1cos232223131cos21cos21cos232第 14 页 共 15 页

31cos21cos21cos2123222

131cos21cos221cos2 3441327; 3216当且仅当31cos21cos2,即cos241时,等号成立, 20，2显然,所以0，,所以此时,

642所以当【点睛】

本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.

6时,s3333,即四边形ABCD的最大面积是. 44第 15 页 共 15 页