2019华东师大初中数学八年级上册《整式的乘除》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

【学习目标】

1. 理解正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；

4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：2.幂的乘方：3.积的乘方：4.同底数幂的除法：

(m，n为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

(m，n为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. (n为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.

(a≠0, m，n为正整数，并且mn).

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

5.零指数幂：a1a0.即任何不等于零的数的零次方等于1.

0 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地

双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即

m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式).

3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即abmnamanbmbn.

要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：xaxbxabxab.

24.单项式相除

把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式

先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：(ambmcm)mammbmmcmmabc 要点三、乘法公式

1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (ab)(ab)ab

要点诠释：在这里，a，b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.

2. 完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

22 aba2abb；(ab)a2abb

222222要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 要点四、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法等. 要点诠释：落实好方法的综合运用：

首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项考虑完全平方； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式；

因式分解要彻底，一次一次又一次.

【典型例题】

类型一、幂的运算

1、计算下列各题：

（1）(310)(10) （2）[3(mn)][2(mn)]

26243（3）(2xy)(3xy) （4）(2a)(3a)[(2a)]

6322323342332

【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘. 【答案与解析】

1819解：（1）(310)(10)3(10)(10)27102.710．

233432334（2）[3(mn)][2(mn)]3(mn)(2)(mn)

2332362627(mn)64(mn)6108(mn)12．

（3）(2xy)(3xy)

26243(1)626x6y12(1)333x6y12x6y1227x6y1237x6y12．

(2a)(3a)[(2a)](1)2a(1)3(a)(1)(2a) （4）

632236662232366a69a6a69a6．

【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别． 举一反三： 【变式】当a【答案】

1231332，b＝4时，求代数式a(b)(ab)的值． 4211771解：a(b)(ab2)3a3b6a3b6a3b64656.

288843323类型二、整式的乘除法运算

2、（2016春•保山期末）计算：（2a﹣b）﹣（8ab﹣4ab）÷2ab．

【思路点拨】先计算完全平方式和多项式除以单项式，再去括号、合并同类项即可得．

222

【答案与解析】解：原式=4a﹣4ab+b﹣（4a﹣2ab）

222

=4a﹣4ab+b﹣4a+2ab 2

=b﹣2ab．

2

3

22

【总结升华】本题主要考查完全平方式和整式的除法，熟记完全平方公式和多项式除以单项式的法则是关键．

3、已知ax3my123x3y2n4x6y8，求(2mna)n的值．

【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到m、n、a的值即可代入求值． 【答案与解析】 解：由已知ax3my123x3y2n4x6y8，得ax3my124x6y83x3y2n12x9y2n8，

即a12，3m9，2n812， 解得a12，m3，n2．

所以(2mna)(23212)(4)16．

【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到m、n、a的值. 举一反三： 【变式】（1）已知27m1n2232m27，求m的值．

b（2）已知1020，10ma1a2b，求93的值． 5n3m2n（3）已知23，24，求2的值．

【答案】

解：（1）由题意，知(3)3m132m27．∴ 33(m1)2m33．

∴ 3m32m3，解得m6．

a02a400（2）由已知1020，得(10)20，即1a22．由已知10b112b，得10． 525∴ 10a2a102b4002b12a2b104．∴ 2a2b4 ，即1025∴ 93m32a32b32a2b3481．

3m（3）由已知23，得2∴ 23m2n27．由已知2n4，得22n16．

23m22n27． 16类型三、乘法公式

4、对任意整数n，整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)是否是10的倍数？为什么？ 【答案与解析】

解：∵(3n1)(3n1)(3n)(3n)

(3n)21(32n2)9n219n210n21010(n21)，

10(n21)是10的倍数，∴ 原式是10的倍数．

【总结升华】要判断整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10． 举一反三：

【变式】解下列方程(组)：

(x2)2(y4)2(xy)(xy) 

x3y2【答案】

解： 原方程组化简得x2y3x13，解得．

x3y2y522335、已知ab3，ab4，求： (1)ab；(2)ab

22【思路点拨】在公式aba2abb中能找到ab,ab,ab的关系.

222【答案与解析】

解：(1) aba2abb2ab

2222ab2ab

∵ab3，ab4， ∴ab32417

2222(2)abaababb

333223a2abbabab aba2abb2 ab[ab3ab]

∵ab3，ab4，

∴ab333463.

3322【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路. 类型四、因式分解

6、 分解因式：

（1）(a1)b(1a) （2）(x3x3)(x3x5)1．

222【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的方法，通过观察发现：将相同的部分x3x作为一个整体，展开后再进行分解就容易了． 【答案与解析】

解：（1）(a1)b(1a)(a1)b(a1)(a1)(1b)(a1)(1b)(1b)． （2）(x3x3)(x3x5)1 [(x3x)3][(x3x)5]1

22222222(x23x)28(x23x)16 (x23x4)2．

【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号． 举一反三：

【变式】（2015春•禅城区校级期末）分解因式： （1）（a+b）﹣4ab

22

（2）（x﹣2xy+y）+（﹣2x+2y）+1． 【答案】

22222

解：（1）（a+b）﹣4ab

2222=（a+b+2ab）（a+b﹣2ab）

22

=（a+b）（a﹣b）；

22

（2）（x﹣2xy+y）+（﹣2x+2y）+1

2

=（x﹣y）﹣2（x﹣y）+1

2

=（x﹣y﹣1）．

2

2

2

22