２０１３年９月 经济论坛 Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｆｏｒｕｍ Ｓｅｐ．２０１３ ＧｅｒＬ５ｌ８ Ｎｏ．Ｏ９ 总第５１８期第０９期 文／于【摘 扬 要】本文从我国居民消费价格指数波动的特征出发，结合自回归移动平均ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）模型的建 模原理，对差分运算后序列进行模型识别及模型优化，最后发现梳系数模型ＡＲＩＭＡ（１、１２、１３，１２，０） 能够很好地拟合我国居民消费价格指数，同时本文依据ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）模型的内在机理导出了其点预测和 区间预测的计算通式，并对我国居民消费价格指数进行了短期预测。 【关键词】ＡＲＩＭＡ（１、１２、１３，１２，０）模型；居民消费价格指数 【作者简介】于扬，东北财经大学博士研究生，内蒙古财经大学统计与数学学院讲师，研究方向：经济计量 分析及预测． ．居民消费价格指数（简称ＣＰＩ）是一项重要景 气预报的经济指标，与我们的生活息息相关，被各 （数据来源中国统计数据库），通过分析样本数据特 征，经模型优化最后选择了ＡＲＩＭＡ（１、１２、１３， 国广泛用于监测通货膨胀、国民经济核算以及反映 居民购买力水平等许多领域，因此如何选用科学的 方法对居民消费价格指数进行精确预报具有重要现 实意义。目前，国内对我国居民消费价格指数的研 究真可谓汗牛充栋，比较有代表性的如范维 １２，０）模型，经检验后给出了我国居民消费价格 指数的科学预测值。 一、平稳性检验 以横轴表示时间，纵轴表示序列取值，如果序 列｛Ｙ ｝的时序图显示出该序列始终在一个常数值附 近做随机波动，而且波动的范围是有界的特点，则 （２００６）对比主要西方国家美国、西班牙等的季节 调整方法并预测了我国居民消费价格指数；陈飞、 高铁梅（２００７）采用ｘ—ｌ２季节调整和结构时间序 列模型，对居民消费价格指数和社会消费品零售总 额进行了模拟，并对两个经济指标进行了预测。结 果表明，相对于结构时间序列模型，ｘ一１２季节调 整方法的结果具有更强的稳定性。本文根据ＡＲＭＡ （Ｐ，ｑ）模型的建模原理及内在机理推导出ＡＲＭＡ （Ｐ，ｑ）的点预测和区间预测的计算通式，选用 序列｛Ｙ ｝是平稳序列；反之，如果一个时间序列的 时序图表现为明显递增、递减、周期变动的趋势， 则为非平稳时间序列。在图１中，我国居民消费价 格指数的时序图表现为明显以固定长度为１２的周 期变动，所以可以初步判定此序列是非平稳的。为 了进一步确定我国居民消费价格指数序列的平稳 性，采用常用的单位根检验的ＡＤＦ统计量检验， 检验结果见表１。 因为ＡＤＦ统计量所对应的Ｐ值大于给定的显著 １９９８年１月至２０１３年４月居民消费价格指数同比值 性水平０．０５时，所以不能拒绝原假 设，即认为序列是非平稳的。 二、ＡＲＭＡ【Ｐ，ｑ）具体模型 的选择并定阶 因为我国居民消费价格指数是 以周期长度为ｌ２的非平稳序列， 所以我们可以利用差分后序列的自 相关函数和样本偏自相关函数的拖 尾性和截尾性来判定模型的阶数。 （一）自相关函数的计算公式 Ｅ三 图１我国居民消费价格指数的时序图 如果样本观察值为 Ｙｌ，Ｙ：，…，Ｙ ，我们可以给出延迟ｋ 表１采用单位根检验的ＡＤＦ统计量检验结果 ｔ统计量 Ｐ值 ＡＤＦ统计量 一２．１３３６６８ ０．２３ｌ９ 检验标准 １％显著水平 －３．４６８７４９ ５％显著水平 －２．８７８３１ １ １０％显著水平 －２．５７５７９１ 阶的自相关函数估计值，即样本自相关函数： ｐ１ ｎ－ｋ ｌ ∑（ 一Ｙ）（Ｙｔ般一 ） ｑ６眦： 一∑ ＪＪ＝ｌ ｈｋ＝ — ——一 一ｌ ∑（ 一 ） １一∑ √ Ｊ＝Ｉ 鼽Ｙ一：砉ｙ…／／。／玎 其中， ＝咖 一ｌ，，一 咖 一１。 一，。 模型定阶的具体原则如下：ＡＲ（Ｐ）模型的偏 自相关函数是以Ｐ步截尾的，自相关函数拖尾； 自相关函数说明了样本数据不同时期之间的相 ＭＡ（ｑ）模型的自相关函数具有ｑ步截尾性，偏自 关程度。其取值范围在一１到＋ｌ之间，Ｊ ｌ越接近 相关函数拖尾；ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）模型的自相关函数 １，说明时间序列的自相关程度越高；反之，如果 和偏相关函数都是拖尾的。对变量Ｙ做１２步差分 Ｉ越接近于０，则说明时间序列的自相关程度越 后的序列自相关函数和偏自相关函数图（图２）。 低。 由图２可知１２步差分后的序列的自相关函数拖 （二）偏自相关函数的计算公式 尾，偏自相关函数ｌ阶、１２阶、ｌ３阶、１５阶截 在时间序列中，偏自相关函数是给定了 尾，所以我们考虑用梳系数模型ＡＲ（１，１２，１３， Ｙ ，Ｙ ，…，Ｙ ＋。的条件下，Ｙ 与滞后期ｋ时间序 １５）来拟合，由拟合结果可知常数项和第ｌ５阶前 列的条件相关。它被用来度量当其他滞后１，２，３直 的系数不显著，所以去掉不显著的项重新拟合，结 到ｋ一１期时间序列的作用已知的条件下，单纯的Ｙ 果见表２。 与Ｙ 的相关程度。设样本观察值为Ｙ ，Ｙ ，…，Ｙ ， 三、模型检验 可以给出样本偏自相关函数： 一般的ＡＲＭＡ模型从以下两个方面进行检验。 Ａｕｔｏｃｏｒｒｅｌ数ｉｏｎ Ｐａｒｔｉａｌ Ｃｏ￣ｅｌａｔｉｏｎ Ａｃ ＰＡＣ Ｑ－Ｓｔａｔ Ｐｒｏｂ １ ０ ９３８ ０．９３８ １５４ １３ ０，∞０ ２ ０．８６７－０．１ １１ ２８６．５７ ０ ０００ ３ ０ ７８２．０ １５３ ３９４ ８８ ０．０００ ４ ０ ６７９—０ １８５ ４７７．Ｏ７ ０ ０００ ５ Ｏ．５６５—０ １３９ ５３４ ３３ ０．｛》０ ｏ ６ ０ ４３５—０．１９５ ５６８．４１ ０ ｏ０Ｏ ７ ０ ３０３－０ ０７６ ５８５－１ １ ０。０００ ８ ０ １６７－０．１２５ ５９０ １８ ０．０００ ９ ０．（ ２４—０ １６４－５９０．２９ ０．０００ １０．０．１ １６－０ Ｉ １５ ５９２．７９ ０．０００ １ １—０．２３２ Ｏ＋Ｏ９２ ６０２．７７ Ｏ ｏｏＯ １２—０。３５４—０ ２２１ ６２６．２ｏ ０ ０∞ １３．０ ４１０ ０．４８６ Ｉ童５７ ９１ Ｏ ０∞ １４－０ ４５０一Ｏ．Ｏ２口６％ ３５ ０．０００ １５－０．４９７－０ ２５８ ７４３．３８ Ｏ．ｊ啪 １６－０．５３５＿０ ２１８ ７９８．２７ Ｏ．Ｏ∞ 图２对居民消费价格指数做１２步差分后的序列自相关函数和偏自相关函数图 表２模型ＡＲＩＭＡ（１、１２、１３。１２。０）拟合结果 变量 系数 标准差 Ｔ统计量 Ｐ值 ＡＲ（１） ０．９９３３５８ ０．０２３６１６ ４２．０６３７９ Ｏ．ＯＯｏｏ ＡＲ（１２） －０．６７ｌ５ｌ９ ０．０６６４３６ －１０．１０７８３ ０．ｏｏ００ ＡＲ（１３） ０．５５６４０２ ０．０６９７４９ ７．９７７２０１ ０．Ｏ０００ Ｒ－ｓｑｕａｒｅｄ ０．９３６１ １４ ＡＩＣ准则 ２．５４５７９７ 调整Ｒ－ｓｑｕａｒｅｄ ０．９３５２９５ ＳＣ准则 ２．６０３７０１ ＤＷ统计量 １．９９５７９６ 对数似然函数值 一ｌ９９．３９０８ 表３残差序列Ｂｒｅａｓｈ—Ｇｏｄｆｒｅｙ ＬＭ检验结果 Ｆ一统计量 ０．１５７２９７ Ｐ值 ０．７５４５８７ Ｏｂｓ Ｒ－ｓｑｕａｒｅｄ ０．５６７３２０ Ｐ值 ０．８５３４６２ （一）参数的估计值是否具有统计显著性 四、模型预测 由上述模型拟合结果可知，ｔ统计量所对应的 （一）点预测 Ｐ值都很小，小于给定的显著性水平０．０１，所以 ＡＲ（Ｐ）的点预测公式为 参数的估计值是显著的。而且，调整的可决系数 ＝Ｈ Ｅｙ ＋ ＝ ０＋ １Ｙ ＋ ｌ＋咖２Ｙｆ＋Ｊ一２＋…＋ ＰＹ 一Ｊｐ 高达９３．５２９５％，模型优化中的ＡＩＣ和ＳＣ两个统计 ＭＡ（ｑ）的点预测公式为 指标数值在可行的拟合模型中都是最小的。所以 ￡ Ｅｙｌ＋』 ０１ｅ￡＋，－ｌ＋０２ｅ￡ 一２＋…＋ＯｐｅＨ 一ｑ 初步判定梳系数模型ＡＲＩＭＡ（１、１２、ｌ３，１２， ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）的点预测公式 ０）能够很好地拟合我国居民消费价格指数的样 夕ｌ＋ ＝ＥｙＨ ＝ ｏ＋咖ｌＹ ＋Ｊ—ｌ＋咖２Ｙ ＋，－２＋…＋咖ＰＹ ＋卜Ｐ 本数据。 ＋ ｌ ￡＋，＿ｌ＋０２ｅ￡＋ 一２＋…＋ Ｐ ‘＋，＿ｑ （二）检验残差序列的白噪声性 （－－）区间预测 这里我们采用Ｂｒｅａｓｈ—Ｇｏｄｆｒｅｙ ＬＭ检验，与Ｄ． 大样本时，预测误差ｅ ∽～Ⅳ（０，ｖａｒ（ｅ ∽），同时 ｗ．统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不 根据ｙ ～Ⅳ 州，ｖａｒ（ｙ ）， 而且又因为 同，Ｂｒｅｕｓｈ—Ｇｏｄｆｒｅｙ ＬＭ检验（Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｕｈｉｐｌｉｅｒ， Ｙ ＋ ＝ ＋ ＋ｅ ∽，所以Ｙｔ＋ｊ－，，Ｙ ＋，＿２，…，Ｙ ＋ 一ｐ给定的 即拉格朗Ｅｔ乘数检验）也可应用于检验回归方程的 情况下ｖａｒ（ｅ ∽）＝ｖａｒ（ｙｆ＋，）。 残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在 滞后因变量的情况下，ＬＭ检验仍然有效。 因此，Ｙ州置信区间为 ＋Ｊ±ｚ √ｖａｒ（ｅ ∽）。 ＬＭ检验原假设：直到Ｐ阶滞后不存在序列相 具体的Ｐ阶自回归模型ＡＲ（Ｐ）的预测区间： 关，Ｐ为预先定义好的整数；备择假设：存在Ｐ阶 因为ｖａｒ（ｅ ∽）＝ （１＋ ｌ＋ ２＋… ），所以 自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。 １／ Ｈｆ±Ｚ估计回归方程：并求出残差ｅ。 ， （１＋ ｌ＋ ２＋… 卜１） 。 ‘２ ｅｌ＝ｙｌ一卢。一卢１ １‘一 ２ ２ｔ一…一卢 其中， 。， ：，…，中 是关于咖。，咖 ，…，咖 的多项式 ２ 检验统计量可以基于如下回归得到 ｅｅｌ＝ ｆ ＋ ｌｅｔｌ＋…＋ ＰｅＩ函数。在这里， ：二ｌ二随机扰动项的方差用估 ——ｐ＋ Ｉ ／７，一 在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小 计。 于设定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的 具体的ｑ阶ＭＡ（ｑ）模型的预测区间 显著性水平下不存在序列相关；反之，如果这两个 统计量大于设定显著性水平下的临界值，则说明序 ｆ±ｚ ‘２ （１＋ ＋０ ＋… ２－１） 因为 列存在序列相关性。检验结果见表３。 ｖａｒ（ｅ ∽）＝ （１＋０ ＋０；＋… ２＿，）， 所 以 Ｆｏｒｅｃａｓｔ：ＹＦ ＡＣｔｕａｌ：Ｙ Ｆｏｒｅｃａｓｔ ｓａｍｐｌｅ：１ ９９８Ｍ０１ ２０１ ３Ｍ０６ Ａｄｊｕｓｔｅｄ ｓａｍｐｌｅ：１ ９９８Ｍ０１ ２０１ ３Ｍ０６ Ｉｎｃｌｕｄｅｄ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ：１ ５９ Ｒｏｏｔ Ｍｅａｎ Ｓｑｕａｒｅｄ Ｅｒｒｏｒ ０．８４７９７２ Ｍｅａｎ Ａｂｓｏｌｕｔｅ Ｅｒｒｏｒ ０．６５２９５２ Ｍｅａｎ Ａｂｓ．Ｐｅｒｃｅｎｔ Ｅｒｒｏｒ ０．６３７２０７ ＴｈｅｉＩｌｎｅｑｕａｌｉｔｙ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ０．Ｏ０４１４３ Ｂｉａｓ Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ ０．００２０６６ Ｖａｒｉａｎｃｅ Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ ０．００００００ Ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ Ｏ．９９７９３４ 图３我国居民消费价格指数２０１３年５月和６月的预测值９５％预测区间和原序列的动态时序图 ｅ 为１０２．３．５０， ９５％的预测区间［１０３．２０７８， 一 。Ｄ ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）模型的预测区间 １０１．１４２２】；６月的预测值为１０２．３２８，其９５％的预测 区间为［１０３．１８５３４，１０１．４６９６６］。 ＋ｆ±ｚ， ｏ－（１十 １＋ ２＋… 卜１） 。 其 中 ， ２ ．， ｚ，…， Ｈ是关于自回归系数咖 ，咖ｚ，…，咖 与移 参考文献 动平均系数８１，Ｏ ，…， 卜１组合的多项式函数。 …高铁梅．计量经济分析方法与建模【Ｍ】．北京：清华大学出版社， ２００９． 在实际中，我们遇到的序列大多都是非平稳 ［２］Ｗａｉｔｅｒ Ｅｎｄｅｒｓ．杜江，谢志超译．应用计量经济学【Ｍ】．北京：高等 的，通常通过差分运算使之平稳化，然后再用ＡＲ． 教育出版社，２００５． ＭＡ模型进行拟合。设Ｙ 是ｄ阶单整序列，即 【３】方燕，尹元生．我国物价波动的实证分析——基于经济周期波 ｙ。～ｌ（ｄ），则Ｗ 为平稳序列，即Ｗ －Ｉ（ｏ），于是可以 动理论和ＡＲＣＨ族模型Ⅱ１ｌ价格理论与实践，２００９，０２）． 对Ｗ 建立ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）模型： （责任编辑：夏明芳） Ｗ￡＝Ｃ＋咖１Ｗｆ—ｌ＋…＋咖Ｐ ￡一Ｐ＋ ｆ＋０１占 —ｌ＋… ｑ ｔ—ｑ 根据上述推导，我们得到我国居民消费价格指 数２０１３年５月和５月的预测值为１０２．３５０和 １０２．３２８，其９５％的预测区间分别为『１０３．２０７８， １０１．１４２２】，［１０３．１８５３４，１０１．４５９５５］，９５％预测区间 和原序列的动态时序图见图３。 五、结论 本文从我国居民消费价格指数波动的特征出 发，结合自回归移动平均ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）模型的建 模原理和内在机理推导出ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）的点预测 和区间预测的计算通式，最后选择梳系数模型 ＡＲＩＭＡ（１、１２、１３，１２，０）来拟合我国居民消 费价格指数。结果表明：梳系数模型ＡＲＩＭＡ（１、 １２、１３，１２，０）能够很好地模拟我国居民消费价 格指数的样本值。最后，本文经一系列的模型检验 和模型优化给出了我国居民消费价格指数的短期预 测值，即居民消费价格指数２０１３年５月份的预测值
