2023-2024学年安徽省合肥市高一下册第一次月考数学试题(含解析)

一、单选题1．下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量ab，则a与b的方向必不相同；③ab，则ab；④向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b共线；⑤方向为北偏西50的向量与方向为东偏南40的向量一定是平行向量．其中正确的有（A．①⑤【正确答案】C【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；ab，但a与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西50的向量与方向为东偏南40的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．）B．④C．⑤D．②④故选：C.

2．若在△ABC中，ABa，BCb，且|a||b|1，|ab|2，则△ABC的形状是（）A．正三角形【正确答案】DB．锐角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于|AB||a|1，|BC||b|1，|AC||ab|2，222222

AB|BC||AC|，则|a|bab，即所以△ABC为等腰直角三角形．故选：D．33

3．已知a，b均为单位向量，(2ab)(a2b)，则a与b的夹角为（2）A．30°【正确答案】AB．45°C．135°D．150°rr333

【分析】根据(2ab)(a2b)，求得ab，再利用向量夹角公式即可求解.2233【详解】因为(2ab)(a2b)2a23ab2b223ab2，2rr3所以ab．2

ab3

.设a与b的夹角为θ，则cos

|a||b|2又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A.4．如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A2,3,B4,2，则AB可以表示为（）A．2i3j

【正确答案】CB．4i2jC．2ijD．2ij

【分析】先根据向量的坐标表示求出AB，再根据正交分解即可得解.

【详解】因为A2,3,B4,2，所以AB2,1，所以AB2ij.故选：C.r

5．设平面向量a1,2，b2,y，若a∥b，则3ab等于（）A．5【正确答案】AB．6C．17D．26y【分析】由两向量平行得出b坐标中的，即可求出3ab的值.【详解】由题意，r

b∵a1,2，2,y，a∥b，∴1y-22=0，解得y=-4，

∴b2,4223a∴b3,62,41,2125故选：A.

6．已知向量u(x2,3)，v(x,1)，当f(x)uv取得最小值时，x的值为（）A．0【正确答案】BB．1C．2D．1【分析】直接利用向量数量积的坐标化运算得到f(x)(x1)22，利用二次函数性质得到其最值.

【详解】f(x)uv(x2)x3x22x3(x1)22，故当x=1时，f(x)取得最小值2．故选：B.

7．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且OCB30，AB2，

则AC等于（）A．1【正确答案】AB．2C．3D．2

【分析】根据OCOB，可得ABCOCB30，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC，OCOB由，得ABCOCB30.因为C为半圆上的点，所以ACB90，1

所以ACAB1．2故选：A.8．如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两

点M，N，若ABmAM，ACnAN，则mn（）A．1【正确答案】CB．32C．2D．31

【分析】连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得AO(ABAC)，再将其2mn用AM，AN表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和1，即可求出mn

22的值.【详解】连接AO，由O为BC中点可得，1mnAO(ABAC)AMAN，222M、O、N三点共线，

mn

1，22mn2.故选：C.本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.二、多选题9．在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是（）A．OA2i3j

【正确答案】ACB．OB3i4jC．AB5ijD．BA5ij

【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.

【详解】解：由图知，OA2i3j，OB3i4j，故A正确，B不正确；

ABOBOA5ij，BAAB5ij，故C正确，D不正确．故选：AC10．在ABC中，若b3，c3，B30，则a的值可以为（A．3【正确答案】AB【分析】根据余弦定理，直接计算求值.【详解】根据b2a2c22accosB，得3a292a3即a233a60，解得：a3或a23.3，2）D．43B．23C．33·故选：AB11．如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，此时测得∠ACB=60°，5分钟后该船行驶至B处，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向B．当天10:00时，该船距离观测点C2kmC．当船行驶至B处时，该船距观测点C2kmD．该船在由A行驶至B的这5min内行驶了6km【正确答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=故B正确.在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，C选项中，则BD=CD=2，于是BC=22，故C不正确.D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－CDsinADC

2，sinCAD

1

2222=6，2即AB=6km，故D正确.故选：ABD．12．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac，tanB22，ABC的b2

面积为22，则可能取到的值为（acA．43B．22）C．42D．23【正确答案】AC22，再利用ABC的面积为22，得ac6，再利用余弦定理3b222可得b(ac)8，然后代入中利用基本不等式可求得其最小值.|ac|由tanB22求出sinB

【详解】解：tanB22，cosB又S

1

acsinB22，ac6，2122，sinB，33由余弦定理可得b2a2c22accosBa2c24(ac)28，8b2(ac)288

|ac|42，当且仅|ac|等号成立，|ac||ac||ac||ac|b2

故的最小值为42，可能取到的值为AC选项．ac故选：AC.关键点睛：本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出ac6，再利用余弦定理得出b2(ac)28，结合基本不等式求解.三、填空题r

13．已知点A1,5和向量a2,3，若AB3a，则点B的坐标为________．【正确答案】5,4

【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OBOAAB求向量OB的坐标，由此可得点B的坐标.【详解】设O为坐标原点，AB3a6,9，OA1,5因为，

故OBOAAB5,4，故点B的坐标为5,4．故答案为.5,4

14．若向量ak,3,b1,4,c2,1，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．99

【正确答案】,,3

22



【分析】根据2a3b与c的夹角为钝角，由2a3bc0，且2a3b与c的不共线求解.

【详解】解：由ak,3,b1,4，得2a3b2k3,6．

又2a3b与c的夹角为钝角，∴22k360，得k3，9若2a3b//c，则2k312，即k．29

当k时，2a3b与c共线且反向，不合题意．299

综上，k的取值范围为,,3，22

99

故,,3．22



15．如图，设P为ABC内一点，且2PA2PBPC0，则S△ABP:S△ABC________．1

【正确答案】##0.251PDPC【分析】设AB的中点是D，连接PD，根据平面向量线性运算法则，得到，即4可得到面积比.【详解】设AB的中点是D，连接PD，1

由2PA2PBPC0，可得PAPBPC，211PAPB2PDPCPDPC因为，所以，24所以P为CD的五等分点（靠近D点），1即PDDC，51

所以ABP的面积为ABC的面积的．5故答案为.1516．在ABC中，a3，A60，求3b2c的最大值_________.【正确答案】219由正弦定理得b2sinB，c2sinC.代入，进行三角恒等变换可得3b2c6sinB4sinC219sin(B)，由此可求得最大值.a



【详解】解：由正弦定理sinA3b2c6sinB4sinC

31

6sinB4sin120B6sinB4cosBsinB226sinB23cosB2sinB

3bc

2

sinBsinC，得b2sinB，c2sinC.328sinB23cosB82(23)2sin(B)219sin(B)，其中tan

所以(3b2c)max219.故答案为.219本题考查运用正弦定理解三角形，边角互化求关于边的最值，属于较难题.3，4四、解答题

e1,0,e17．已知向量ae1e2，b4e13e2，其中120,1．

(1)试计算ab及ab的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值．a【正确答案】(1)ab1，b＝29(2)210【分析】（1）利用平面向量的数量积运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：a1,00,11,1，b41,030,14,3，∴ab41311，ab41312225429．

（2）设a，b的夹角为θ，

由ababcos，ab12cos．2510ab

18．有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60角的方向向河的上驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．

(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u,v，河水的流速为w，求u,v,w之间的关系式；(2)求这条河河水的流速．

【正确答案】(1)uwv

(2)河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下

30【分析】（1）根据题意可得v与u的夹角为，则u,v,w三条有向线段构成一个直角三角形，

其中OBv,OCu,OABCw，再根据向量的加法法则即可得解；uuur

（2）结合图象，求出BC即可.【详解】（1）如图，u是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60角的静水中的船速，

则v与u的夹角为30，

由题意知，u,v,w三条有向线段构成一个直角三角形，其中OBv,OCu,OABCw，

由向量加法的三角形法则知，OCOAOB，即uwv；1

（2）因为OBv10km/h，而BCOBsin30105km/h，2所以这条河河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下．19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB．若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【正确答案】a＝3，c＝23．【分析】由bsinA＝3acosB边化角求得B，由sinC＝2sinA得c＝2a，再结合余弦定理即可求解.【详解】因为bsinA＝3acosB．所以由正弦定理，得sinBsinA3sinAcosB.

sinA0,sinB3cosB，即tanB3.0Bπ,B=

π3∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acosπ，3解得a＝3，∴c＝2a＝23．20．如图，在ABC中，点D在BC边上，CAD

4,AC

72.,cosADB

210（1）求sinC的值；（2）若BD5，求ABD的面积.【正确答案】（1）4

；（2）7.5272得出sinADB，再利用两角差的正弦1010ADAC

公式将sinCsinADB展开，代入求值即可；（2）由正弦定理得4sinCsinADC

【详解】试题分析：（1）先由cosADB到AD的值，再利用三角形面积公式即可.272，所以sinADB.1010又因为CAD，所以CADB.44试题解析：（1）因为cosADB所以722224

sinCsinADBsinADBcoscosADBsin.4441021025

（2）在ACD中，由ADAC

，sinCsinADC74ACsinC2522.得ADsinADC7210所以SABD

1172ADBDsinADB2257.22101、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.13

a2,0,b21．设两个向量a,b满足2,2，



(1)求ab方向的单位向量；

(2)若向量2ta7b与向量atb的夹角为钝角，求实数t的取值范围．5721【正确答案】(1)14,1414141

7,(2)2,22

13

a2,0,b,【分析】（1）根据22，求得ab的坐标和模后求解；

2ta7batb0，（2）根据向量2ta7b与向量atb的夹角为钝角，由且向量2ta7b



不与向量atb反向共线求解.1353【详解】（1）由已知ab2,02,22,2，

253所以ab2227，5721所以ab714,14，

5721

即ab方向的单位向量为14,14；

（2）由已知ab1，a2,b1，2222所以2ta7batb2ta2t7ab7tb2t15t7，

因为向量2ta7b与向量atb的夹角为钝角，2ta7batb0所以，且向量2ta7b不与向量atb反向共线，2tk14设2ta7bkatbk0，则，解得t，7kt2

2t215t70从而，14t2141417,,解得t.222

22．在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，ba1，ca2.．（1）若2sinC3sinA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）157；（2）存在，且a2.4【分析】（1）由正弦定理可得出2c3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cosC0结合三角形三边关系可求得整数a的值.【详解】（1）因为2sinC3sinA，则2c2a23a，则a4，故b5，c6，a2+b2-c2137，cosC==，所以，C为锐角，则sinC1cos2C

2ab88因此，S△ABCabsinC451

21237157；84（2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，2a2b2c2aa1a2a22a30，由余弦定理可得cosC2ab2aa12aa122解得1a3，则0