2020-2021学年安徽省合肥168中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，A．第一象限
B．第二象限
表示的复数位于复平面中的（ ）
D．第四象限
C．第三象限
2．若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（ ） A．存在无数个 C．存在但只有一个
B．不存在 D．只存在两个
3．A′B′在x′如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图，轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝2，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A． B． C．4
＝x
D．
，则（ ）
4．在△ABC中，点D是线段BC（不包括端点）上的动点，若A．x＞1
B．y＞1
C．x+y＞1
D．xy＞1
5．下列命题中正确的是（ ） A．若x∈C，x2+1＝0，则x＝i
B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0 C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2
D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣1
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．AC＝3，BC＝4，P为线段AB上的点，且
+A．3 7．已知单位向量
与•
，则xy的最大值为（ ）
B．2
C．1
﹣2
D．4 与＝3
﹣
的
＝
•
的夹角为α，且cosα＝，向量＝3
夹角为β，则cosβ等于（ ） A．
B．
C．
D．
8．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高 的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为（ ）
A．（ +4）π B．（ 2+4）π C．（ 3+4）π D．（4+4）π
9．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是（ ）
①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1．
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①和②和③
10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且
，则（ ）
A．C．
11．已知△ABC是边长为则A．﹣11
B．D．
的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若OP＝1，
的最小值是（ ）
B．﹣6
C．﹣3 ﹣7
﹣3
D．﹣15
＝，则△ABC的面积与△BOC
12．设O为△ABC所在平面内一点，满足2的面积的比值为（ ） A．6
B．
C． D．4
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．已知z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），则z•（z+1）＝ ． 14．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为 ．
15．南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S＝
（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示，在△
ABC中，a、b、C分别为角A、B、C所对的边，若a＝3，且bcosC﹣ccosB＝△ABC面积的最大值为 ．
，则
16．已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1
+λ2
+λ3
+λ4
+λ5
+λ6
|的最小值是 ，最大值是 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，2+2i，
对应的复数为4﹣4i．
对应的复数为
（Ⅰ）求D点对应的复数；
（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．
18．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，（1）求CD的长； （2）求
的值．
，．
19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．
（1）找到点E的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b2＝（1）求cosA和sinA的值． （2）若3csinA﹣
asinB＝0，且△ABC的面积S△ABC＝2
，求边c的值．
．
21．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为，i为虚数单位．设函数
．
，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y＝f（x）﹣m在区间上有2个零点，求实数m的取值范围．
22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影、如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50m，该同学眼高1.5m（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为
45°．
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图2，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MD＝xm，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大？
参考数据：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°≈0.7．sin127°≈0.8．
参
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，A．第一象限
B．第二象限
表示的复数位于复平面中的（ ）
D．第四象限 ＝
，
C．第三象限 ＝cos
解：由欧拉公式eix＝cosx+isinx，可得∴
表示的复数位于复平面中的第一象限．
故选：A．
2．若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（ ） A．存在无数个 C．存在但只有一个 解：A是直线m外一点，
由线面平行的性质得：过点A且与m平行的平面有无数个． 故选：A．
3．A′B′在x′如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图，轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝2，则△ABC的边AB上的高为（ ）
B．不存在 D．只存在两个
A． B． C．4 D．
解：过C′做x′轴的平行线，交y′轴与点D′，作D′E⊥x′轴，垂足为E，
如图所示：
则D′E＝B′C′＝2， O′D′＝
D′E＝2
，
，
由斜二测画法规则知D′对应的在y轴上，且OD＝4此即为△ABC的边AB上的高． 故选：D．
4．在△ABC中，点D是线段BC（不包括端点）上的动点，若A．x＞1 解：设所以
﹣＝λ
B．y＞1 （0＜λ＜1）， ﹣λ＝
﹣λ
， ，所以
＝
﹣＜0，y＝C．x+y＞1
＝x ，则（ ）
D．xy＞1
＝λ
所以（1﹣λ）所以x＝﹣由x+y＝故选：B．
， ＝
1+
＞1，
，y＝＝1，xy＝﹣
，所以x＝﹣
＜0．
5．下列命题中正确的是（ ） A．若x∈C，x2+1＝0，则x＝i
B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0 C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2
D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣1 解：由x2+1＝0，x2＝﹣1，x∈C，令x＝a+bi，
∴x2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，则a2﹣b2＝﹣1，2ab＝0， 得a＝0，b2＝1，∴b＝±1．即x＝±1．故A错． 设z1＝（a1+b1i），z2＝（a2+b2i）， 则z12+z22＝
+
＝0，得
，
可得：2（a1b1+a2b2）＝0，当a2＝﹣b1，a1＝b2时成立，则B错． 设z＝mi，|z|2＝m2，z2＝（mi）2＝﹣m2，∴|z|2≠z2，故C答案错误． 由复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，|3﹣4i|＝5，z（2+i）＝5， z＝
＝2﹣i，
∴z＝2﹣i，则复数z的虚部为﹣1，故D答案正确． 故选：D．
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．AC＝3，BC＝4，P为线段AB上的点，且
+A．3
•
，则xy的最大值为（ ）
B．2
＝
•
C．1 +
•
．
D．4
＝
•
解：P为线段AB上的点，且∴∴∴xy≤3 当且仅当
时，等号成立． ＝
且x＞0，y＞0
则xy的最大值为3． 故选：A． 7．已知单位向量
与
的夹角为α，且cosα＝，向量＝3
﹣2
与＝3
﹣
的
夹角为β，则cosβ等于（ ） A．
B．
与
C．
D．•
解：根据题意，单位向量向量＝3向量＝3•＝（3
﹣2﹣﹣2
的夹角为α，且cosα＝，则
2
＝，
、则||2＝9，||2＝9）•（3
2
+4
2
2
﹣12•
2
•＝9，则有||＝3，
，
+﹣6＝8，则有||＝2+2
2
﹣）＝9﹣9•＝8，
则cosβ＝＝＝，
故选：C．
8．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高 的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为（ ）
A．（ +4）π B．（ 2+4）π C．（ 3+4）π D．（4+4）π
解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为h； 所以πrl＝4π，解得r＝1，h＝又圆柱的侧面积为2πr•2h＝4
π，
＝
；
所以制作这样一个粮仓的用料面积为 （4
+4）π．
故选：D．
9．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是（ ）
①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1．
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①和②和③
解：在△P1P2D中，已知P1P2＝a，∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β， 由正弦定理可得P1D，P2D及∠P1DP2． ①中，给出∠DP1C和∠DCP1，由
，
可得CD＝，故由①可求得CD；
②中，给出∠P1P2C和∠P1CP2，由，
得，
由∠P1P2C和∠P1CP2，可得∠P2P1C，减去β可得∠DP1C， 在△DP1C中，由余弦定理可得CD，故由②可求得CD； ③中条件与①等价，也可求得CD， 故选：D．
10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且
，则（ ）
A．C．
解：设AP＝a， ∵∴PT＝∴∵∴∴
＝＝＝
+＝， a，CP＝，，
++＝
B．D．
a，CA＝
＝
， ﹣
，
，
＝＝故选：A．
++
，
11．已知△ABC是边长为则A．﹣11
的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若OP＝1，
的最小值是（ ）
B．﹣6
|＝|
C．﹣3 |＝
D．﹣15
＝
解：如图所示，取AB的中点D，则|2， ∴
＝（
+
）（
+
）＝
，|OD|＝|CD|＝×
﹣＝﹣12．
∵OP＝1，
∴点P在以O为圆心，1为半径的圆上， ∴|PD|min＝|OD|﹣1＝2﹣1＝1 ∴
的最小值为﹣11．
故选：A．
12．设O为△ABC所在平面内一点，满足2的面积的比值为（ ） A．6 解：不妨设
B．
C．
，如图所示，
D．4
﹣7
﹣3
＝，则△ABC的面积与△BOC
根据题意则，
＝k，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有
又因为，，
，
那么，，，
，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为．
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．已知z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），则z•（z+1）＝ 1﹣3i ． 解：∵z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1）， ∴z＝1﹣i，
∴z•（z+1）＝（1﹣i）（2﹣i）＝1﹣3i， 故答案为：1﹣3i．
14．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，
则该圆台的体积为 61π ． 解：如图所示：
由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，所以O为球心， ∵BM＝4，OB＝5， ∴OM＝3， 即圆台的高为3， 所以其体积V＝
＝π×3×（52+42+5×4） ＝61π， 故答案为：61π．
15．南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S＝
（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示，在△
ABC中，a、b、C分别为角A、B、C所对的边，若a＝3，且bcosC﹣ccosB＝△ABC面积的最大值为 解：因为且bcosC﹣ccosB＝由余弦定理得b•
﹣c•
． ，
＝
，则
整理得b＝因为S＝
，
＝
＝
×
＝
当c2＝27时，S取得最大值故答案为：
．
，
16．已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1
+λ2
+λ3
+λ4
+λ5
+λ6
|的最小值是 0 ，最大值是 2
+
＝
，
＝
﹣
，
．
解：正方形ABCD的边长为1，可得•|λ1＝|λ1
＝0， +λ2
+λ2
+λ3
+λ4
+λ5﹣λ4
+λ6+λ5
| +λ5
﹣λ3+λ6
|
﹣λ6|
＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）＝
+（λ2﹣λ4+λ5+λ6）
，
由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，
可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；
由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，
可得所求最大值为2故答案为：0，2
．
．
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，2+2i，
对应的复数为4﹣4i．
对应的复数为
（Ⅰ）求D点对应的复数； （Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．
解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，得A（﹣1，0）， 又
对应的复数为2+2i，
＝（2，2），可得B（1，2）．
＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．
对应的复数为4﹣4i，得
设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R． 得
＝（x﹣5，y+2），
＝（﹣2，﹣2）． ＝
，解得x＝3，y＝﹣4，
∵ABCD 为平行四边形，∴故D点对应的复数为3﹣4i． （Ⅱ）可得：又|
|＝2
＝（2，2），
＝0，∴，
＝4
＝（4，﹣4），
． ．
＝16．
，
．
故平行四边形ABCD的面积＝
18．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，（1）求CD的长； （2）求
的值．
解：（1）∵∴∴∴
，
，
，
＝
，
即CD的长为（2）∴
；
＝
＝
，
．
19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．
（1）找到点E的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．
解：（1）∵D1∉BF，∴BF与D1可确定平面α，
在平面α内过D1作D1E∥BF，且交AA1于E，连接EB，ED1，则四边形D1EBF就是要作的截面α．
理由：由题意，平面α∩平面AD1＝D1E，平面α∩平面BC1＝BF，
而平面AD1∥平面BC1，∴D1E∥BF，根据作图过程，D1E∥BF，则四边形D1EBF就是要作的截面．
（2）由题意，CF＝a（0＜a＜1），
由（1）的过程可知A1E＝a，连接D1B1，则平面α将正方体分割成的商半部分为四棱锥D1﹣A1EBB1
与四棱锥D1﹣B1BFC1的组合体．
＝
．
而正方体的体积为1，则
，
＝
故α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比为1．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b2＝（1）求cosA和sinA的值． （2）若3csinA﹣解：（1）因为b2＝由余弦定理可得2bccosA＝所以sinA＝（2）因为3csinA﹣
＝． asinB＝0，
sinAsinB，
asinB＝0，且△ABC的面积S△ABC＝2
． bc，解得cosA＝
，
，求边c的值．
．
所以由正弦定理可得2sinCsinA＝由于sinA≠0， 所以可得2sinC＝所以S△ABC＝2解得c＝2
．
sinB，即2c＝
b，可得b＝
×c×，
，
＝bcsinA＝
21．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为，i为虚数单位．设函数
．
，
（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若函数y＝f（x）﹣m在区间解：（1）由题意知，∴
＝（
＝（2，cos（2x+
上有2个零点，求实数m的取值范围． ）），
＝（2+
sin2x，2+cos（2x+
）），
sin2x，2） •
＝2
sin2x+2cos（2x+
），
）＝2
sin2x+cos2x﹣
sin2x
∴f（x）＝＝
sin2x+cos2x＝2sin（2x+
令﹣∴﹣
+2kπ≤2x++kπ≤x≤
≤+2kπ，k∈Z，
+kπ，k∈Z，
+kπ，
+kπ]，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[﹣（2）∵y＝f（x）﹣m＝0在[0，∴y＝2six（2x+∵x∈[0，
]上有两个零点，
）的图象与y＝m的图象有两个交点，
∈[
，
]，∴y＝2six（2x+
）∈[﹣1，2]，
]，∴2x+
则函数y＝2six（2x+）在x∈[0，]上的大致图象如下，
由图象知，m的取值范围为[1，2）．
22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影、如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50m，该同学眼高1.5m（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为
45°．
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图2，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MD＝xm，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大？
参考数据：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°≈0.7．sin127°≈0.8． 解：（1）由题知∠ACB＝8°，∠BAC＝45°， 在△ABC中，由正弦定理得，即
，
所以
，
在Rt△BDC中，
，即
， 所以BD≈250×0.6＝150，
所以山高BE＝BD+DE＝150+1.5＝151.5≈152m． （2）由题知∠AMD＝β，∠BMD＝α，则 在Rt△BMD中，， 在Rt△AMD中，，
由题知∠AMB＝β﹣α，
则＝
当且仅当即m时，tan∠ACB取得最大值，即视角最大．
说明：x近似为整数173m也可． ＝
