2019-2020学年安徽省合肥一中高二(上)开学数学试卷(9月份)

2019-2020学年安徽省合肥一中高二（上）开学数学试卷（9月

份）

一、选择题（本大题共12小題，每小题5分，共60分）

1. sin600∘的值是( ) A.

21

B.−

2

1

C.

√32

D.−

√3 2

【答案】 D

【考点】

运用诱导公式化简求值 【解析】

把原式的角度600∘变形为2×360∘−120∘，然后利用诱导公式化简，再把120∘变为180∘−60∘，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】

解：sin600∘=sin(2×360∘−120∘) =−sin120∘=−sin(180∘−60∘) =−sin60∘=−故选𝐷.

2. 函数𝑦=A.(1, +∞)

1ln(𝑥−1)

√3． 2

的定义域为( ) B.[1, +∞)

C.(1, 2)∪(2, +∞) D.(1, 2)∪[3, +∞)

【答案】 C

【考点】

对数函数的定义域 【解析】

根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可． 【解答】

解：要使函数𝑦=ln(𝑥−1)有意义， ln(𝑥−1)≠0，则{ 解得𝑥>1且𝑥≠2.

𝑥−1>0，∴ 函数𝑦=故选𝐶.

1+𝑙𝑜𝑔2(3−𝑥),𝑥<1

3. 若函数𝑓(𝑥)={ ，则𝑓(−1)+𝑓(log26)＝（ ）

2𝑥−1,𝑥≥1A.3

【答案】 B

B.6

C.9

D.12

1ln(𝑥−1)

1

的定义域为(1, 2)∪(2, +∞).

试卷第1页，总17页

【考点】

分段函数的应用 【解析】

直接利用分段函数化简求解函数值即可． 【解答】

1+𝑙𝑜𝑔2(3−𝑥),𝑥<1

函数𝑓(𝑥)={ ，

2𝑥−1,𝑥≥1

则𝑓(−1)+𝑓(log26)＝1+log2(3+1)+2𝑙𝑜𝑔26−1 ＝1+2+3＝6．

4. 已知tan𝜃＝2，则sin𝜃+cos𝜃为（ ） A.3

1

sin𝜃−cos𝜃

B.−3

1

C.3 D.−3

【答案】 A

【考点】

同角三角函数间的基本关系 【解析】

先利用同角三角函数的商数关系，弦化切，再代入即可求得结论． 【解答】

由题意，sin𝜃+cos𝜃=tan𝜃+1 ∵ tan𝜃＝2 ∴

5. 若𝑎＝ln2，𝑏=𝜋，𝑐=𝑙𝑜𝑔1𝑒，则有（ ）

212

sin𝜃−cos𝜃tan𝜃−1

sin𝜃−cos𝜃sin𝜃+cos𝜃

=

tan𝜃−1tan𝜃+1

=

2−12+1

= 3

1

A.𝑎>𝑏>𝑐 B.𝑏>𝑎>𝑐 C.𝑏>𝑐>𝑎 【答案】 B

【考点】

对数值大小的比较 【解析】

利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】

∵ 0<𝑎＝ln2<1，𝑏=𝜋2>1，𝑐=𝑙𝑜𝑔1𝑒<0，

21

D.𝑐>𝑎>𝑏

∴ 𝑏>𝑎>𝑐．

6. 已知函数𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的图象如图所示，若关于𝑥的方程𝑓（𝑔(𝑥)）＝1和𝑔（𝑓(𝑥)）＝0的实数根的个数分别为𝑚和𝑛，则𝑚+𝑛＝（ ）

试卷第2页，总17页

A.15 B.13 C.12 D.10 【答案】 A

【考点】

函数与方程的综合运用 【解析】

先根据图象，先求出𝑓(𝑥)＝1和𝑔(𝑥)＝0的根，然后利用数形结合进行求解即可． 【解答】

解答：由𝑓(𝑥)＝1得𝑥1＝1或𝑥2＝−1，

由𝑔(𝑥)＝0得𝑥1＝0或0<𝑥2<1，或−1<𝑥3<0， 由𝑓（𝑔(𝑥)）＝1得𝑔(𝑥)＝1或𝑔(𝑥)＝−1，

当𝑔(𝑥)＝1时，此时𝑔(𝑥)有3个根，当𝑔(𝑥)＝−1时，此时𝑔(𝑥)有3个根，即𝑓（𝑔(𝑥)）＝1共有6个根，即𝑚＝6，

由𝑔（𝑓(𝑥)）＝0得𝑓(𝑥)＝0或0<𝑓(𝑥)<1，或−1<𝑓(𝑥)<0，

当𝑓(𝑥)＝0时，此时𝑓(𝑥)有3个根，当0<𝑓(𝑥)<1时，此时𝑓(𝑥)有4个根，当−1<𝑓(𝑥)<0时，此时𝑓(𝑥)有2个根，

即𝑔（𝑓(𝑥)）＝0共有3+4+2＝9个根，即𝑛＝9， 则𝑚+𝑛＝6+9＝15， 故选：𝐴．

7. 函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝑥∈R, 𝐴>0, 𝜔>0, |𝜑|<)的图象（部分）如图所示，

2𝜋

则𝑓(𝑥)的解析式是( )

A.𝑓(𝑥)=2sin(𝜋𝑥+6)(𝑥∈R) C.𝑓(𝑥)=2sin(𝜋𝑥+3)(𝑥∈R)

【答案】 A

【考点】

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】

观察图象6−3的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点(3, 2)然后

试卷第3页，总17页

5

1

1

𝜋𝜋

B.𝑓(𝑥)=2sin(2𝜋𝑥+6)(𝑥∈R) D.𝑓(𝑥)=2sin(2𝜋𝑥+3)(𝑥∈R)

𝜋

𝜋

求出𝜑，即可求出函数解析式． 【解答】

解：由图象可知：6−3的长度是四分之一个周期， 函数的周期为2， 所以𝜔=

2𝜋2

5

1

=𝜋.

1

函数图象过(3, 2)，

所以𝐴=2，并且2=2sin( 𝜋×+𝜑)，

31

∵ |𝜑|<2， ∴ 𝜑=6.

𝑓(𝑥)的解析式是𝑓(𝑥)=2sin(𝜋𝑥+)(𝑥∈R).

6𝜋

𝜋

𝜋

故选𝐴．

8. 如图，扇形的半径为1，圆心角∠𝐵𝐴𝐶=150，点𝑃在弧𝐵𝐶上运动，𝐴𝑃=𝑚𝐴𝐵+𝑛𝐴𝐶，则√3𝑚−𝑛的最大值是( )

→

∘

→

→

A.1 B.√3 C.2 D.2√3 【答案】 C

【考点】

数量积表示两个向量的夹角 【解析】

建立坐标系，求出向量坐标，设𝑃(cos𝜃, sin𝜃)，根据向量坐标的运算得到𝑚＝cos𝜃+√3sin𝜃，𝑛＝2sin𝜃，则√3𝑚−𝑛=2sin(𝜃+60∘)，根据三角函数的性质即可求出最值． 【解答】

解：以𝐴𝐵为𝑥轴，以𝐴为原点，建立坐标系， 如图：

𝑃(cos𝜃, sin𝜃)，0≤𝜃≤150∘，

∘

则𝐴(0, 0)，𝐵(1, 0)，𝐶(−∵ 𝐴𝑃=𝑚𝐴𝐵+𝑛𝐴𝐶，

→

→

→

√31

, )， 22

试卷第4页，总17页

∴ (cos𝜃, sin𝜃)=𝑚(1, 0)+𝑛(−=(𝑚−

𝑛√3𝑛, )， 22

√3𝑛，sin𝜃2

√31, ) 22

∴ cos𝜃=𝑚−

=，

2

𝑛

∴ 𝑚=cos𝜃+√3sin𝜃，𝑛=2sin𝜃，

∴ √3𝑚−𝑛=√3cos𝜃+3sin𝜃−2sin𝜃=√3cos𝜃+sin𝜃 =2sin(𝜃+60∘)， ∵ 0∘≤𝜃≤150∘，

∴ 60∘≤𝜃+60∘≤210∘，

∴ 当𝜃=30∘时，√3𝑚−𝑛的最大值为2. 故选𝐶.

9. 在△𝐴𝐵𝐶中，若sin𝐶+sin(𝐵−𝐴)＝sin2𝐴，则△𝐴𝐵𝐶的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

【答案】 D

【考点】

三角形的形状判断 【解析】

由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得cos𝐴＝0或sin𝐴＝sin𝐵．进而可作出判断． 【解答】

∵ sin𝐶+sin(𝐵−𝐴)＝sin2𝐴，

∴ sin(𝐴+𝐵)+sin(𝐵−𝐴)＝sin2𝐴．

∴ sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵+sin𝐵cos𝐴−cos𝐵sin𝐴＝2sin𝐴cos𝐴 ∴ 2sin𝐵cos𝐴＝2sin𝐴cos𝐴． ∴ cos𝐴(sin𝐴−sin𝐵)＝0， ∴ cos𝐴＝0或sin𝐴＝sin𝐵．

∵ 0<𝐴，𝐵<𝜋，∴ 𝐴=2或𝐴＝𝐵． ∴ △𝐴𝐵𝐶为直角三角形或等腰三角形．

10. 已知向量𝑚=(2cos2𝑥, √3)，𝑛=(1, sin2𝑥)，设函数𝑓(𝑥)=𝑚⋅𝑛，则下列关于函数𝑦＝𝑓(𝑥)的性质的描述正确的是（ ） A.关于直线𝑥=12对称 C.周期为2𝜋

【答案】 D

试卷第5页，总17页

𝜋→

→

→

→

𝜋

B.关于点(12,0)对称

D.𝑦＝𝑓(𝑥)在(−3,0)上是增函数

𝜋

5𝜋

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算 【解析】

利用三角恒等变换化简𝑓(𝑥)的解析式，根据正弦函数的性质判断． 【解答】

𝑓(𝑥)＝2cos2𝑥+√3sin2𝑥＝cos2𝑥+√3sin2𝑥+1＝2sin(2𝑥+)+1，

6𝜋

当𝑥=12时，sin(2𝑥+6)＝sin3≠±1，∴ 𝑓(𝑥)不关于直线𝑥=12对称； 当𝑥=

5𝜋12

𝜋𝜋𝜋𝜋

时，2sin(2𝑥+)+1＝1，∴ 𝑓(𝑥)关于点(

6

2𝜋2

𝜋5𝜋12

, 1)对称；

𝑓(𝑥)得周期𝑇=

𝜋

=𝜋，

𝜋

𝜋𝜋

𝜋

当𝑥∈(−3,0)时，2𝑥+6∈(−2, 6)，∴ 𝑓(𝑥)在在(−3,0)上是增函数．

11. 已知正项等比数列{𝑎𝑛}满足：𝑎7＝𝑎6+2𝑎5，若存在两项𝑎𝑚，𝑎𝑛，使得√𝑎𝑚𝑎𝑛=4𝑎1，则𝑚+A.6 25

1

16𝑛

的最小值为（ ）

B.5

21

C.3 8

D.2 3

【答案】 B

【考点】 数列的应用 【解析】

设{𝑎𝑛}的公比为𝑞(𝑞>0)，由等比数列的通项公式化简𝑎7＝𝑎6+2𝑎5，求出𝑞，代入

2

𝑎𝑚𝑎𝑛＝16𝑎1化简得𝑚，𝑛的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由𝑚、𝑛的值求出式子的最小值． 【解答】

设正项等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，且𝑞>0， 由𝑎7＝𝑎6+2𝑎5得：𝑎6𝑞＝𝑎6+

2𝑎6𝑞

，

化简得，𝑞2−𝑞−2＝0，解得𝑞＝2或𝑞＝−1（舍去），

22

因为𝑎𝑚𝑎𝑛＝16𝑎1，所(𝑎1𝑞𝑚−1)(𝑎1𝑞𝑛−1)＝16𝑎1， 则𝑞𝑚+𝑛−2＝16，解得𝑚+𝑛＝6， +𝑚

1

16𝑛

=6×(𝑚+𝑛)×(𝑚+

𝑛

16𝑚𝑛

𝑚

1116

)=6×(17+𝑚+𝑛

65

245

1𝑛16𝑚𝑛

)≥6×(17+2√𝑚×

1𝑛16𝑚𝑛

)=

256

，

当且仅当=，解得：𝑚=，𝑛=，

1

16𝑛

因为𝑚𝑛取整数，所以均值不等式等号条件取不到，𝑚+验证可得，当𝑚＝1、𝑛＝5时，取最小值为5．

21

>

256

，

12. 定义在𝑅上的奇函数𝑓(𝑥)和定义在{𝑥|𝑥≠0}上的偶函数𝑔(𝑥)分别满足𝑓(𝑥)=

试卷第6页，总17页

{

2𝑥−1(0≤𝑥≤1)

(𝑥≥1)𝑥

1

，𝑔(𝑥)＝log2𝑥(𝑥>0)，若存在实数𝑎，使得𝑓(𝑎)＝𝑔(𝑏)成立，则

实数𝑏的取值范围是（ ） A.[−2, 2] C.[−2, 0)∪(0, 2]

【答案】

B

【考点】

分段函数的应用 【解析】

先求𝑥≥0时，𝑓(𝑥)的值域为[0, 1]，再由𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，求出𝑥≤0时𝑓(𝑥)的值域为[−1, 0]，

从而得到在𝑅上的函数𝑓(𝑥)的值域为[−1, 1]．由𝑔(𝑥)为偶函数，求出𝑔(𝑥)的表达式，由条件可令−1≤

log2|𝑏|≤1．解出即可． 【解答】

2𝑥−1(0≤𝑥≤1)

∵ 𝑓(𝑥)={ ， 1

(𝑥≥1)𝑥∴ 当0≤𝑥≤1时，2𝑥−1∈[0, 1]， 当𝑥≥1时，𝑥∈(0, 1]，

即𝑥≥0时，𝑓(𝑥)的值域为[0, 1]，

∵ 𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，∴ 𝑥≤0时𝑓(𝑥)的值域为[−1, 0]， ∴ 在𝑅上的函数𝑓(𝑥)的值域为[−1, 1]．

∵ 定义在{𝑥|𝑥≠0}上的偶函数𝑔(𝑥)，𝑥>0的𝑔(𝑥)＝log2𝑥， ∴ 𝑔(𝑥)＝log2|𝑥|(𝑥≠0)

∵ 存在实数𝑎，使得𝑓(𝑎)＝𝑔(𝑏)成立， ∴ 令−1≤𝑔(𝑏)≤1． 即−1≤log2|𝑏|≤1． 即有≤|𝑏|≤2，

21

1

1

1

B.[−2, −2]∪[2, 2] D.(−∞, −2]∪[2, +∞)

11

∴ ≤𝑏≤2或−2≤𝑏≤−．

2

2

11

二、填空题

设△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶，所对的边分别是𝑎，𝑏，𝑐．若(𝑎+𝑏−𝑐)(𝑎+𝑏+𝑐)＝𝑎𝑏，则角𝐶＝________． 【答案】

2𝜋 3【考点】 余弦定理 【解析】

利用已知条件(𝑎+𝑏−𝑐)(𝑎+𝑏+𝑐)＝𝑎𝑏，以及余弦定理，可联立解得cos𝐵的值，进

试卷第7页，总17页

一步求得角𝐵． 【解答】

由已知条件(𝑎+𝑏−𝑐)(𝑎+𝑏+𝑐)＝𝑎𝑏可得𝑎2+𝑏2−𝑐2+2𝑎𝑏＝𝑎𝑏 即𝑎2+𝑏2−𝑐2＝−𝑎𝑏 由余弦定理得：cos𝐶=

𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏2𝜋3

=−2 1

又因为0<𝐶<𝜋，所以𝐶=

设________． 【答案】

．

𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若【考点】

等差数列的前n项和 【解析】

𝑆9𝑆5

𝑎5𝑎3

=

109

，则𝑆9𝑆5

=2

=

𝑎1+𝑎9×92𝑎1+𝑎5

×52=5×𝑎5，将𝑎5=

3

3

9𝑎𝑎109

，代入即可．

【解答】

依题意，数列{𝑎𝑛}是等差数列，所以=

𝑆5𝑆9

𝑎1+𝑎9×92𝑎1+𝑎5×52

=×

5

9

𝑎5𝑎3

，

又𝑎5=

3

𝑎109

，

9

109

所以𝑆9=5×

5

𝑆

=2，

已知△𝐴𝐵𝐶的三个内角𝐴，𝐵，𝐶的对边依次为𝑎，𝑏，𝑐，外接圆半径为1，且满足=tan𝐵

tan𝐴

2𝑐−𝑏𝑏

，则△𝐴𝐵𝐶面积的最大值为________．

【答案】

3√3 4【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】

利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin𝐶不为0，可得出cos𝐴的值，然后利用余弦定理表示出cos𝐴，根据cos𝐴的值，得出𝑏𝑐=𝑏2+𝑐2−𝑎2，再利用正弦定理表示出𝑎，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出𝑏𝑐的最大值，进而由sin𝐴的值及𝑏𝑐的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形𝐴𝐵𝐶面积的最大值． 【解答】

解：由𝑟=1，利用正弦定理可得：𝑐=2𝑟sin𝐶=2sin𝐶，𝑏=2𝑟sin𝐵=2sin𝐵， ∵ tan𝐴=cos𝐴，tan𝐵=cos𝐵， ∴ tan𝐵=cos𝐴sin𝐵=

tan𝐴

sin𝐴cos𝐵

4sin𝐶−2sin𝐵

2sin𝐵

sin𝐴

sin𝐵

=

2sin𝐶−sin𝐵

sin𝐵

，

试卷第8页，总17页

∴ sin𝐴cos𝐵=cos𝐴(2sin𝐶−sin𝐵)=2sin𝐶cos𝐴−sin𝐵cos𝐴， 即sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵=sin(𝐴+𝐵)=sin𝐶=2sin𝐶cos𝐴， ∵ sin𝐶≠0，

∴ cos𝐴=2，即𝐴=3， ∴ cos𝐴=

𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐1

𝜋

=2，

1

∴ 𝑏𝑐=𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏2+𝑐2−(2𝑟sin𝐴)2=𝑏2+𝑐2−3≥2𝑏𝑐−3， ∴ 𝑏𝑐≤3（当且仅当𝑏=𝑐时，取等号）， ∴ △𝐴𝐵𝐶面积为𝑆=𝑏𝑐sin𝐴≤×3×

2

2

1

1

√32

=

3√34

，

则△𝐴𝐵𝐶面积的最大值为：故答案为：

3√3． 4

3√3． 4

已知函数𝑓(𝑥)=𝑥+3sin(𝑥−)+，则𝑓(

2

2

1112019

)+𝑓(

22019

)+⋯+𝑓(

20182019

)=________．

【答案】

2018 【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】

由题意计算𝑓(𝑥)+𝑓(1−𝑥)的值，利用倒序相加法求得𝑓(的值． 【解答】

函数𝑓(𝑥)=𝑥+3sin(𝑥−2)+2，

∴ 𝑓(𝑥)+𝑓(1−𝑥)＝[𝑥+3sin(𝑥−)+]+[1−𝑥+3sin(1−𝑥−)+]

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

12019

)+𝑓(

22019

)+⋯+𝑓(

20182019

)＝2+sin(𝑥−)+sin(−𝑥)

2

2

11

＝2；

设𝑆=𝑓(2019)+𝑓(2019)+⋯+𝑓(2019)，…① 则𝑆＝𝑓(2019)+𝑓(2019)+...+𝑓(2019)，…②

①+②得，2𝑆＝2018×[𝑓(2019)+𝑓(2019)]＝4036，

解得𝑆＝2018．

三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15∼65岁的人群抽样了𝑛人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．

试卷第9页，总17页

1

2018

2018

2017

1

1

2

2018

组号 分组 [15, 25) 第1组 [25, 35) 第2组 [35, 45) 第3组 [45, 55) 第4组 [55, 65) 第5组

（1）分别求出𝑎，𝑏，𝑥，𝑦的值；

回答正确 的人数 5 𝑎 27 𝑏 3 回答正确的人数 占本组的概率 0.5 0.9 𝑥 0.36 𝑦 （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？

（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．

【答案】

第1组人数5÷0.5＝10，所以𝑛＝10÷0.1＝100； 第2组人数100×0.2＝20，所以𝑎＝20×0.9＝18； 第3组人数100×0.3＝30，所以𝑥＝27÷30＝0.9； 第4组人数100×0.25＝25，所以𝑏＝25×0.36＝9； 第5组人数100×0.15＝15，所以𝑦＝3÷15＝0.2． 第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:9＝2:3:1， 所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．

记抽取的6人中，第2组的记为𝑎1，𝑎2，第3组的记为𝑏1，𝑏2，𝑏3，第4组的记为𝑐， 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：

(𝑎1, 𝑎2)，(𝑎1, 𝑏1)，(𝑎1, 𝑏2)，(𝑎1, 𝑏3)，(𝑎1, 𝑐)，(𝑎2, 𝑏1)，(𝑎2, 𝑏2)，(𝑎2, 𝑏3)， (𝑎2, 𝑐)，(𝑏1, 𝑏2)，(𝑏1, 𝑏3)，(𝑏1, 𝑐)，(𝑏2, 𝑏3)，(𝑏2, 𝑐)，(𝑏3, 𝑐)， 其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：

(𝑎1, 𝑎2)，(𝑎1, 𝑏1)，(𝑎1, 𝑏2)，(𝑎1, 𝑏3)，(𝑎1, 𝑐)，(𝑎2, 𝑏1)，(𝑎2, 𝑏2)，(𝑎2, 𝑏3)，(𝑎2, 𝑐)， 故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为𝑝=

915

=．

5

3

【考点】

频率分布直方图 分层抽样方法 【解析】

（1）第1组人数10，从而𝑛＝100；第2组人数为20，从而𝑎＝18；第3组人数为30，从而𝑥＝0.9；第4组人数为25，从而𝑏＝9；第5组人数为15，从而𝑦＝0.2．

（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:9＝2:3:1，由此能出第2，3，4组每组应依次抽取的人数．

（3）记抽取的6人中，第2组的记为𝑎1，𝑎2，第3组的记为𝑏1，𝑏2，𝑏3，第4组的记为𝑐，从6名学生中任取2名，利用列举法能求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的

试卷第10页，总17页

概率． 【解答】

第1组人数5÷0.5＝10，所以𝑛＝10÷0.1＝100； 第2组人数100×0.2＝20，所以𝑎＝20×0.9＝18； 第3组人数100×0.3＝30，所以𝑥＝27÷30＝0.9； 第4组人数100×0.25＝25，所以𝑏＝25×0.36＝9； 第5组人数100×0.15＝15，所以𝑦＝3÷15＝0.2． 第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:9＝2:3:1， 所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．

记抽取的6人中，第2组的记为𝑎1，𝑎2，第3组的记为𝑏1，𝑏2，𝑏3，第4组的记为𝑐， 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：

(𝑎1, 𝑎2)，(𝑎1, 𝑏1)，(𝑎1, 𝑏2)，(𝑎1, 𝑏3)，(𝑎1, 𝑐)，(𝑎2, 𝑏1)，(𝑎2, 𝑏2)，(𝑎2, 𝑏3)， (𝑎2, 𝑐)，(𝑏1, 𝑏2)，(𝑏1, 𝑏3)，(𝑏1, 𝑐)，(𝑏2, 𝑏3)，(𝑏2, 𝑐)，(𝑏3, 𝑐)， 其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：

(𝑎1, 𝑎2)，(𝑎1, 𝑏1)，(𝑎1, 𝑏2)，(𝑎1, 𝑏3)，(𝑎1, 𝑐)，(𝑎2, 𝑏1)，(𝑎2, 𝑏2)，(𝑎2, 𝑏3)，(𝑎2, 𝑐)， 故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为𝑝=15=5．

等差数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎𝑛>0，𝑎1+𝑎2+𝑎3=15，且𝑎1+2，𝑎2+5，𝑎3+13构成等比数列{𝑏𝑛}的前三项．

(1)求数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式；

(2)求数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛． 【答案】

解：(1)设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，则由已知得：𝑎1+𝑎2+𝑎3=3𝑎2=15，即𝑎2=5， 又𝑎1+2，𝑎2+5，𝑎3+13为等比数列{𝑏𝑛}前三项，

∴ (5−𝑑+2)(5+𝑑+13)=100，解得𝑑=2或𝑑=−13（舍）， 𝑎1=𝑎2−𝑑=3，

∴ 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)×𝑑=2𝑛+1， 又𝑏1=𝑎1+2=5，𝑏2=𝑎2+5=10， ∴ 𝑞=2，

∴ 𝑏𝑛=5⋅2𝑛−1．

(2)∵ 𝑇𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛=5(2𝑛+1)⋅2𝑛−1，

∴ 𝑇𝑛=5[3+5⋅2+7⋅22+⋯+(2𝑛+1)⋅2𝑛−1]， 2𝑇𝑛=5[3⋅2+5⋅22+7⋅23+⋯+(2𝑛+1)⋅2𝑛]， 两式相减得

−𝑇𝑛=5[3+2⋅2+2⋅22+⋯+2⋅2𝑛−1−(2𝑛+1)⋅2𝑛] =5[(1−2𝑛)⋅2𝑛−1]，

则𝑇𝑛=5[(2𝑛−1)⋅2𝑛+1]． 【考点】 数列的求和

等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 【解析】

（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得𝑎𝑛．再利用等比数列的通项公式即可得出𝑏𝑛．

（2）利用“错位相减法”与等比数列的前𝑛项和公式即可得出．

试卷第11页，总17页

9

3

【解答】

解：(1)设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，则由已知得：𝑎1+𝑎2+𝑎3=3𝑎2=15，即𝑎2=5， 又𝑎1+2，𝑎2+5，𝑎3+13为等比数列{𝑏𝑛}前三项，

∴ (5−𝑑+2)(5+𝑑+13)=100，解得𝑑=2或𝑑=−13（舍）， 𝑎1=𝑎2−𝑑=3，

∴ 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)×𝑑=2𝑛+1， 又𝑏1=𝑎1+2=5，𝑏2=𝑎2+5=10， ∴ 𝑞=2，

∴ 𝑏𝑛=5⋅2𝑛−1．

(2)∵ 𝑇𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛=5(2𝑛+1)⋅2𝑛−1，

∴ 𝑇𝑛=5[3+5⋅2+7⋅22+⋯+(2𝑛+1)⋅2𝑛−1]， 2𝑇𝑛=5[3⋅2+5⋅22+7⋅23+⋯+(2𝑛+1)⋅2𝑛]， 两式相减得

−𝑇𝑛=5[3+2⋅2+2⋅22+⋯+2⋅2𝑛−1−(2𝑛+1)⋅2𝑛] =5[(1−2𝑛)⋅2𝑛−1]，

则𝑇𝑛=5[(2𝑛−1)⋅2𝑛+1]．

某地区2008年至2016年粮食产量的部分数据如下表： 2008 2010 2012 2014 2016 年份𝑡 236 246 257 276 286 产量𝑦（万吨）

（1）求该地区2008年至2016年的粮食年产量𝑦与年份𝑡之间的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2008年至2016年该地区粮食产量的变化情况，并预测该地区2018年的粮食产量．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为𝑏=

∑𝑖=1𝑛 𝑡𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑡𝑦

22∑𝑛𝑖=1 𝑡𝑖−𝑛𝑡

¯¯¯

∑𝑛𝑖=1 (𝑡𝑖−𝑡)(𝑦𝑖−𝑦)

2∑𝑛𝑖=1 (𝑡𝑖−𝑡)

¯¯¯

=

，𝑎=𝑦−𝑏𝑡．

¯

¯

【答案】

由所给数据可以看出，粮食年产量𝑦与年份𝑡之间是近似直线上升， 下面来求线性回归方程，为此对数据预处理如下： −4 −2 0 2 年份−2012 −21 −11 0 19 产量−257 对预处理后的数据，容易算得∴ 𝑏=

−4−2+0+2+4

5

4 29 =0,

−21−11+0+19+29

5

=3.2，

(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29−5×0×3.2

(−4)2+(−2)2+22+42−5×02=

26040

=6.5，𝑎=3.2−6.5×0=3.2．

由上述计算结果，知所求线性回归方程为𝑦−257=𝑏(𝑡−2012)+𝑎=6.5(𝑡−2012)+3.2，

即𝑦=6.5(𝑡−2012)+260.2． 由（1）知，𝑏=6.5>0，

试卷第12页，总17页

故2008年至2016年该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6.5 万吨． 将𝑡＝2018代入（1）中的线性回归方程，得𝑦=6.5×6+260.2=299.2， 故预测该地区2018 量为299.2万吨． 【考点】

求解线性回归方程 【解析】

（1）将数据处理，求出回归系数，求出回归方程即可；

（2）将𝑡＝2018代入前面的回归方程，预测该地区2018年的居民人均纯收入． 【解答】

由所给数据可以看出，粮食年产量𝑦与年份𝑡之间是近似直线上升， 下面来求线性回归方程，为此对数据预处理如下： −4 −2 0 2 4 年份−2012 −21 −11 0 19 29 产量−257 对预处理后的数据，容易算得∴ 𝑏=

−4−2+0+2+4

5

=0,

−21−11+0+19+29

5

=3.2，

(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29−5×0×3.2

(−4)2+(−2)2+22+42−5×02

=

26040

=6.5，𝑎=3.2−6.5×0=3.2．

由上述计算结果，知所求线性回归方程为𝑦−257=𝑏(𝑡−2012)+𝑎=6.5(𝑡−2012)+3.2，

即𝑦=6.5(𝑡−2012)+260.2． 由（1）知，𝑏=6.5>0，

故2008年至2016年该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6.5 万吨． 将𝑡＝2018代入（1）中的线性回归方程，得𝑦=6.5×6+260.2=299.2，

故预测该地区2018 量为299.2万吨．

已知等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1+𝑎𝑛=9⋅2𝑛−1，𝑛∈𝑁∗． (Ⅰ)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若不等式𝑆𝑛>𝑘𝑎𝑛−2对一切𝑛∈𝑁∗恒成立，求实数𝑘的取值范围． 【答案】

（1）设等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，

∵ 𝑎𝑛+1+𝑎𝑛=9⋅2𝑛−1，𝑛∈𝑁∗，∴ 𝑎2+𝑎1＝9，𝑎3+𝑎2＝18， ∴ 𝑞=

𝑎3+𝑎2𝑎2+𝑎1

=

1

=2，

又2𝑎1+𝑎1＝9，∴ 𝑎1＝3． ∴ 𝑎𝑛=3⋅2𝑛−1,𝑛∈𝑁∗． （2）𝑆𝑛=

𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞

=

3(1−2𝑛)1−2

=3(2𝑛−1)，

1

∴ 3(2𝑛−1)>𝑘⋅3⋅2𝑛−1−2，∴ 𝑘<2−3⋅2𝑛−1．

试卷第13页，总17页

令𝑓(𝑛)=2−

13⋅2𝑛−1，𝑓(𝑛)随𝑛的增大而增大，

1

5

5

∴ 𝑓(𝑛)min=𝑓(1)=2−3=3．∴ 𝑘<3． ∴ 实数𝑘的取值范围为(−∞,)．

35

【考点】

数列与不等式的综合 数列递推式 【解析】

(Ⅰ)利用等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1+𝑎𝑛=9⋅2𝑛−1，确定数列的公比与首项，即可求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(Ⅱ)求出𝑆𝑛，再利用不等式𝑆𝑛>𝑘𝑎𝑛−2，分离参数，求最值，即可求实数𝑘的取值范围． 【解答】

（1）设等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，

∵ 𝑎𝑛+1+𝑎𝑛=9⋅2𝑛−1，𝑛∈𝑁∗，∴ 𝑎2+𝑎1＝9，𝑎3+𝑎2＝18， ∴ 𝑞=

𝑎3+𝑎2𝑎2+𝑎1

=

1

=2，

又2𝑎1+𝑎1＝9，∴ 𝑎1＝3． ∴ 𝑎𝑛=3⋅2𝑛−1,𝑛∈𝑁∗． （2）𝑆𝑛=

𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞

=

3(1−2𝑛)1−2

=3(2𝑛−1)，

13⋅2𝑛−1∴ 3(2𝑛−1)>𝑘⋅3⋅2𝑛−1−2，∴ 𝑘<2−

1

．

令𝑓(𝑛)=2−3⋅2𝑛−1，𝑓(𝑛)随𝑛的增大而增大， ∴ 𝑓(𝑛)min=𝑓(1)=2−=．∴ 𝑘<．

3

3

3

1

5

5

∴ 实数𝑘的取值范围为(−∞,3)．

已知向量𝑎=(𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥, 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥)，𝑏=(−cos𝜔𝑥−sin𝜔𝑥, 2√3cos𝜔𝑥)，设函数𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏+𝜆(𝑥∈R)的图象关于直线𝑥=𝜋对称，其中𝜔，𝜆为常数，且𝜔∈(, 1).

2

→

→

1

→

→

5

(1)求函数𝑓(𝑥)的最小正周期；

(2)若𝑦=𝑓(𝑥)的图象经过点(, 0)，求函数𝑓(𝑥)在区间[0, ]上的取值范围．

4

5

𝜋

3𝜋

【答案】

解：∵ 𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏+𝜆

=(𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥)×(−𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥)+𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥×2√3𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥+𝜆 =−(𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑥)+√3sin2𝜔𝑥+𝜆 =√3sin2𝜔𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥+𝜆 =2𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑥−6)+𝜆,

试卷第14页，总17页

𝜋→

→

又∵ 图象关于直线𝑥=𝜋对称， ∴ 2𝜋𝜔−=+𝑘𝜋，𝑘∈Z,

6

2𝜋

𝜋

∴ 𝜔=+. 2

3

𝑘1

又𝜔∈(2, 1), ∴ 𝑘=1时，𝜔=6, ∴ 函数𝑓(𝑥)的最小正周期为(2)∵ 𝑓(4)=0,

∴ 2𝑠𝑖𝑛(2××−)+𝜆=0,

6

4

6

5

𝜋

𝜋

𝜋

2𝜋

52×61

5

=

6𝜋5

. ∴ 𝜆=−√2, ∴ 𝑓(𝑥)=2sin(𝑥−)−√2. 3

6

5

𝜋

又𝑥∈[0, 5]， ∴ 3𝑥−6∈[−6, 6]， ∴ sin(3𝑥−6)∈[−2, 1]，

∴ 2sin(𝑥−)−√2=𝑓(𝑥)∈[−1−√2, 2−√2]，

3

6

5

𝜋

5

𝜋

1

5

𝜋

𝜋

5𝜋

3𝜋

故函数𝑓(𝑥)在区间[0, ]上的取值范围为[−1−√2, 2−√2].

5

3𝜋

【考点】

二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 正弦函数的周期性

三角函数中的恒等变换应用 数量积的坐标表达式 正弦函数的对称性

正弦函数的定义域和值域 【解析】

（1）先利用向量数量积运算性质，求函数𝑓(𝑥)的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数𝑓(𝑥)化为𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝑘型函数，最后利用函数的对称性和𝜔的范围，计算𝜔的值，从而得函数的最小正周期；

（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得𝜆的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数𝑓(𝑥)的值域． 【解答】

解：(1)∵ 𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏+𝜆= (𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥)×(−𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥)+ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥×2√3𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥+𝜆

=−(𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑥)+√3𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑥+𝜆

试卷第15页，总17页

→

→

=√3sin2𝜔𝑥−cos2𝜔𝑥+𝜆 =2sin(2𝜔𝑥−)+𝜆，

6𝜋

又∵ 图象关于直线𝑥=𝜋对称， ∴ 2𝜋𝜔−6=2+𝑘𝜋，𝑘∈Z， ∴ 𝜔=2+3. 又𝜔∈(2, 1)， ∴ 𝑘=1时，𝜔=6， ∴ 函数𝑓(𝑥)的最小正周期为(2)∵ 𝑓()=0,

4𝜋

2𝜋

52×6𝜋𝜋

𝑘1

1

5

=

6𝜋5

. ∴ 2𝑠𝑖𝑛(2××−)+𝜆=0,

6

4

6

5𝜋𝜋

∴ 𝜆=−√2, ∴ 𝑓(𝑥)=2sin(3𝑥−6)−√2. 又𝑥∈[0, 5],

∴ 3𝑥−6∈[−6, 6]， ∴ sin(𝑥−)∈[−, 1]，

3

6

2

5

𝜋

1

5

𝜋

𝜋

5𝜋

3𝜋

5

𝜋

∴ 2sin(𝑥−)−√2=𝑓(𝑥)∈[−1−√2, 2−√2]，

3

6

5𝜋

故函数𝑓(𝑥)在区间[0, 5]上的取值范围为[−1−√2, 2−√2].

已知等差数列{𝑎𝑛}，前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1＝𝜆(𝜆>0)，𝑎𝑛+1＝2√𝑆𝑛+1(𝑛∈𝑁∗) （1）求𝜆的值；

（2）若数列{𝑎【答案】

𝑎1＝𝜆(𝜆>0)，𝑎𝑛+1＝2√𝑆𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，

可得𝑆𝑛+1−𝑆𝑛＝2√𝑆𝑛+1，即有𝑆𝑛+1＝(√𝑆𝑛+1)2， 由𝑆𝑛>0，可得√𝑆𝑛+1−√𝑆𝑛=1，

可得{√𝑆𝑛}为首项为√𝜆，公差为1的等差数列，即有√𝑆𝑛=√𝜆+(𝑛−1)＝𝑛+√𝜆−1， 即𝑆𝑛＝(𝑛+√𝜆−1)2，当𝑛≥2时，𝑎𝑛＝𝑆𝑛−𝑆𝑛−1＝2𝑛+2√𝜆−3， 由等差数列{𝑎𝑛}，可得2√𝜆−1＝𝜆，解得𝜆＝1； 证明：由（1）可得𝑎𝑛＝2𝑛−1，

1𝑎𝑛𝑎𝑛+1

1

𝑛𝑎𝑛+1

3𝜋

}的前𝑛项和𝑇𝑛，求证：𝑇𝑛<2．

1

=(2𝑛−1)(2𝑛+1)=2(2𝑛−1−2𝑛+1)，

1111

试卷第16页，总17页

前𝑛项和𝑇𝑛=(1−+−+⋯+

2

3

3

5

1

1

1

1

12𝑛−1

−

1

2𝑛+1

)=(1−

2

11

2𝑛+1

)<．

2

1

【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】

（1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求值； （2）求得𝑎𝑛＝2𝑛−1，

1𝑎𝑛𝑎𝑛+1

=

1

(2𝑛−1)(2𝑛+1)

=(

11

22𝑛−1

−

1

2𝑛+1

)，由数列的裂项相消求和

和不等式的性质，即可得证． 【解答】

𝑎1＝𝜆(𝜆>0)，𝑎𝑛+1＝2√𝑆𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，

可得𝑆𝑛+1−𝑆𝑛＝2√𝑆𝑛+1，即有𝑆𝑛+1＝(√𝑆𝑛+1)2， 由𝑆𝑛>0，可得√𝑆𝑛+1−√𝑆𝑛=1，

可得{√𝑆𝑛}为首项为√𝜆，公差为1的等差数列，即有√𝑆𝑛=√𝜆+(𝑛−1)＝𝑛+√𝜆−1， 即𝑆𝑛＝(𝑛+√𝜆−1)2，当𝑛≥2时，𝑎𝑛＝𝑆𝑛−𝑆𝑛−1＝2𝑛+2√𝜆−3， 由等差数列{𝑎𝑛}，可得2√𝜆−1＝𝜆，解得𝜆＝1； 证明：由（1）可得𝑎𝑛＝2𝑛−1，

1𝑎𝑛𝑎𝑛+1

=

1

(2𝑛−1)(2𝑛+1)

1

=(

1

11

22𝑛−1

1

−

1

2𝑛+1

)，

1

1

1

1

1

前𝑛项和𝑇𝑛=2(1−3+3−5+⋯+2𝑛−1−2𝑛+1)=2(1−2𝑛+1)<2．

1

试卷第17页，总17页