2022-2023学年安徽省合肥市一中高三上学期期中考试数学试题及答案

合肥一中2022—2023学年第一学期高三年级阶段性诊断 考试数学试卷

时长：120分钟 分值：150分 命题人：王晓冉、朱寒梅 审题人：王晓冉、朱寒梅

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数z满足z(2i)13i，则z( ) A．1i 2．已知集合A{x|A．{x|0x1}

1B．i

555C．i

3315D．i

33x20}，B{x|x(x1)0}，则Ax1B( )

B．{x|0x1} C．{x|0x1} D．{x|0x1}

3．已知数列{an}为等差数列， ， ,则 =( ) A．9

3.1B．11 C．13 D．15

14．已知a，b3.10.1，clog0.12，则 ， ， 的大小关系是( )

2 A. abc B. acb C. cba D. bac

5.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到 的近似值为( )

A．

72

B.

48 C．

36 D．

 1826．已知cos()， ，)．则下列结论正确的是( )

410A. C. 17 B.  55324 D. cos(2)

22547.在平行四边形 中， ， ， 对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中 ，则下列结论错误的是( ) 点，AE的延长线与CD交于点F．设 1A. EFAE

31 B. AFab

3711C. AF D. AFAB

33高三数学第1页，共4页

8.已知a1，b1，且 ，则 的最小值为( ) A．

9 2B．9 C．

13 2D．13

9．设函数f(x)的定义域为R，函数 为偶函数，函数 为奇函数，若f(0)f（3） ，则 ) A．11

B．9

C．7

D．5

x2ex,x110.已知函数f(x)ex,若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取

,x12x值范围是( )

2e2e2e,, A. , B. e2822e822e2eC. e2,82, D.

2e2e2,,

e8211.已知函数f(x)3sin2x2cos2x1，把函数f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)636的图象，若x1、x2是关于 的方程 在[0，]内的两根，则 的值为( )

2A．310 10B．10 10C．10 10D．310 1012. 已知函数 ， g(x)xa 的最小值是( )

1，若不等式 对任意 恒成立，则实数ex11A. B. C.  D. 2 ee二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

，且(amb)(3ab)，则 =__________. 13．已知向量a(6,1)，

14. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ， ，则 __________.

15．已知幂函数 在(0,)上单调递增，函数 ， ， ， ， ，使得f(x1)g(x2)成立，则实数 的取值范围是__________.

16．已知正三角形ABC的边长为2，点D，E，F分别在线段AB，BC，CA上，且D为线段AB的中点.若DEDF，则三角形DEF面积的最小值为__________．

高三数学第2页，共4页

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)

已知函数f(x)2cosx(3sinxcosx)． （1）求函数f(x)的最小正周期和对称中心坐标；

（2）讨论f(x)在区间[0,]上的单调性．

2

18.(本小题满分12分)

若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S24． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn

3，求数列{bn}的前n项和Tn． anan119.(本小题满分12分)

33 已知向量a(cos,sin)，b(cos,sin)，[0,]，

22223（1）若a3a2b，求的值；

（2）求

ab的最大值和最小值．

|ab|高三数学第3页，共4页

20.(本小题满分12分)

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2Asin2B(sinC（1）求角C；

（2）若 ，边AB上的中线CD

23sinAsinB)sinC． 37，求边a,b的长． 221.(本小题满分12分)

已知函数f(x)ln(13x)ax(a0) （1）讨论f(x)的单调性；

111（2）证明：(1)(1)(1n)3e (e为自然对数的底数，nN*)．

41

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)3exsinx(e为自然对数的底数）． （1）求f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程；

（2）记g(x)f(x)ax，0a9，试讨论g(x)在(0,)上的零点个数．（参考数据：e24.8)

高三数学第4页，共4页

高三数学参题号选项1A2C3C4D5C6B7C8A9C10B11C12A一、选择题9.f(x1)为偶函数，+2−1为奇函数，f(x)既关于直线x1对称，又关于点(2,1)对称，且2−1=0，f(0)f（2）=1，f（3）=2−（1）=7，f(x)f(2x)且𝐨𝐩+𝐨4−𝐩=2，∴𝐨2−𝐩+𝐨4−𝐩=2，T4，94∴𝐨2023)=𝐨3)=2×−8=7．故选：C．10.解关于x的方程[f(x)]22af(x)0有两个不相等的实数根，关于x的方程f(x)[f(x)2a]0有两个不相等的实数根，关于x的方程f(x)2a0有一个非零的实数根，函数yf(x)与y2a有一个交点，横坐标x0，4e2结合图象可得：22a或2ae，e42e2e

所以的取值范围是(2,)(,).e82

11.函数𝐨𝐩=3sin(2−3)−cos(2−3)=10sin(2−3−𝐩，其中，cos=3把函数f(x)的图象向左平移10,sin=110，6个单位，得到函数g(𝐩=10sin(2−𝐩的图象，∈[0，]时，2−∈[−𝐬−𝑝，所以21−+22−=，所以1+2=+，22所以cos1+2=−𝑠𝐵=−12.当=0时，+即+≥−𝐵+考察函数ℎ(𝐩=+1111−1>0显然成立，下面讨论<0时，1010.ℎ'(𝐩=1−知ℎ(𝐩在(0, +∞)为增函数．ℎ(−𝐵)=−𝐵+𝐵=−𝐵+𝐵=−𝐵+.即ℎ(𝐩≥ℎ(−𝐵)，当≥1，∵<0, >1，∴−𝐵>0，等价于≥−𝐵

试题高三∵𝐵>0∴≥−考察𝐨𝐩=−𝐵𝐨𝐩的最大值为𝐨𝐩=−二、填空题：13．=−13，𝐧(𝐩=−(𝐵)2𝐨𝐩在区间(1, 𝐩是增函数，在区间(𝐬 +∞)上是减函数，𝐵𝐵.𝐵𝘒114.152=−，∴≥−𝐬  ∴的最小值为−𝐮15．≤−216．333216.解：根据题意，设BDE，0󰆅󰆅90，在BDE和ADF中，由正弦定理知DEBDDFAD

，，sin60sin(120)sin60sin(30)3322化简得DE，DF，sin(60)sin(30)

故SDEF

13DEDF，28sin(60)sin(30)311313cossin)(cossin)sin2，2222243423333，2因为sin(60)sin(30)(所以SDEF34sin223󰆆故三角形DEF面积的最小值为333．2三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解答】解：（Ⅰ）f(x)2cosx(3sinxcosx)3sin2x2cos2x

3sin2xcos2x12sin(2x)1．6T2，2由2xk，kZ．k，得x6122k，1)，kZ；122f(x)的对称中心为(（Ⅱ）由解得由2k󰆅2x󰆅2k，kZ．262k󰆅x󰆅k，kZ．3632k󰆅2x󰆅2k，kZ．2622k󰆅x󰆅k，kZ．63解得试题高三取k0，可得f(x)在区间[0,]上的增区间为[0，]，减区间为(，]．266218．【解答】解：（1）根据题意，设等差数列{an}公差为d(d0)，因为S1，S2，S4成等比数列，S24，2S2S1S4所以S24，a1(4a16d)(2a1d)2整理得：2a1d4a1

解得1d2

．，故an2n1(nN)．证明：（2）由（1）得：bn3311()，(2n1)(2n1)22n12n13111113133．Tn[(1)()...()](1)23352n12n122n124n219．【解答】解：（1）a3a2ba3a2b0，3aa2ab0

33|a|1，abcoscossinsincos2222232cos20，[0,]3

；1233（2）a(cos,sin)，b(cos,sin)222233abcoscossinsincos2，|a||b|12222222|ab|ab2ab22cos24cos2，|ab|2cos([0,])，3abcos22cos21．2cos2cos|ab|ab2t21111令tcos，t[,1]，yt(t[,1])，22t2t2|ab|y110，2t2试题高三ab2t2111设t2cos，则t，t[,1]，2t2t2|ab|令ytyt11，则y1202t2t11在[,1]上递增2t2t111时，y；t1时，y22211ab的最大值为，最小值为；22|ab|2323sinAsinB)sinCa2b2c2absinC，3320．【解答】解：（1）sin2Asin2B(sinC即2abcosC故C2；323absinC，即tanC3，3（2）由余弦定理知a2b2ab19，CDBCDAcosCDBcosCDA0，cc()2CD2b2()2CD2a2即220．cc2CD2CD22a2b213,解得a3，b2或a2，b3．21．【解答】（1）解：f(x)

33ax3a

a，13x13x1当a0时，f(x)0f(x)在(，)上单调递增；3当a0时，f(x)0xa3111，3aa33111由f(x)0x，3a3再令f(x)0，得x11，a311111f(x)在(，)上单调递增，在(，)上单调递减．3a3a3试题高三1综上所述：当a0时，f(x)在(，)上单调递增；311111当a0时，f(x)在(，)上单调递增，在(，)上单调递减．3a3a3（2）证明：由（1）知，当a3时，f(x)在(0，)上单调递减，当x(0,)时，由f(x)f(0)0，ln(13x)3x，ln(1x)x111ln[(1)(1)(1n)]41111ln(1)ln(1)ln(1n)4111(1n)11141(11)1，2n4144434n314111(1)(1)(1n)3e．4122．【解答】（1）f(x)3exsinx，f(0)0f(x)3ex(sinxcosx)，则f(0)3则切线方程是y3x；（2）g(x)3exsinxax，g(x)3ex(sinxcosx)a，令h(x)g(x)，则h(x)6excosx，x(0,)时，h(x)0，x(，)时，h(x)0，22g(x)即h(x)在(0,)单调递增，在(，)上单调递减，22g(0)3a，g()3ea0，①当3a󰆆0即0a3时，g(0)󰆆0，g()0，2存在x0(，)，使得g(x0)0，2当x(0,x0)时，g(x)0，当x(x0，)时，g(x)0，g(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，g(0)0，g(x0)0，又g()a0，则g(x)在(0,)上仅有1个零点，②当3a9时，g(0)3a0，试题高三g(x)在(0,)上单调递增，在(，)上单调递减，且g()3e2a0，222存在x1(0,)，x2(，)，使得g(x1)0，g(x2)0，22且当x(0,x1)，(x2，)时，g(x)0，x(x1，x2)时，g(x)0，g(x)在(0,x1)和(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，92g(0)0，g(x1)0，g()3ea3e20，g(x2)0，222又g()a0，故g(x)在(x1，x2)和(x2，)上各有1个零点，综上：当0a3时，g(x)仅有1个零点，当3a9时，g(x)有2个零点．试题