1)时，在证明过程的第二步从n＝k到n＝k＋1时，左边增加的项数是 ( )A．2k B．2k－1 C． D．2k＋1
参： A 略
5. 对于实数x，y，若，，则的最大值为（ ）
A．1 B. 2 C. 4 D. 5
参：
D
6. 若函数f（x）=aex﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A．
B．
C．（﹣∞，0）
D．（0，+∞）
参：
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D
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】函数f（x）=aex﹣x﹣2a的导函数f′（x）=aex﹣1，
当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln，函数在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增， f（x）的最小值为f（ln）=1﹣ln﹣2a=1+lna﹣2a＜0即可， 【解答】解：函数f（x）=aex﹣x﹣2a的导函数f′（x）=aex﹣1，
当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln，函数在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增， 所以f（x）的最小值为f（ln）=1﹣ln﹣2a=1+lna﹣2a， 令g（a）=1+lna﹣2a，（a＞0），g′（a）=，a
，g（a）递增，a
递
减， ∴
∴f（x）的最小值为f（ln）＜0，函数f（x）=aex
﹣x﹣2a有两个零点； 综上实数a的取值范围是：（0，+∞）， 故选：D．
7. 执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（ ）
A．5 B．11 C．23 D．47
参：
C
【考点】程序框图．
【分析】分析程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，即可求出满足题意的y值．
【解答】解：根据题意，本程序框图为求y的和 循环体为“直到型”循环结构，输入x=2， 第一次循环：y=2×2+1=5，|x﹣y|=3≤8，x=5； 第二次循环：y=2×5+1=11，|x﹣y|=6≤8，x=11； 第三次循环：y=2×11+1=23， ∵|x﹣y|=12＞8， ∴结束循环，输出y=23． 故选：C．
8. 在△ABC中，CB=4，M是△ABC的外心，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
参：
C ∵M是
的外心，
∴
．
故选C．
9. 已知命题p与命题q，若命题：（￢p）∨q为假命题则下列说法正确是（ ） A．p真，q真 B．p假，q真 C．p真，q假 D．p假，q假
参：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由已知中命题：（￢p）∨q为假命题，结合复合命题真假判断的真值表，可得答案． 【解答】解：若命题：（￢p）∨q为假命题， 则命题（￢p），q均为假命题，
故命题p为真命题，q为假命题， 故选：C
10. 已知函数
为奇函数，
，则函数
的零点所在区间为
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（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
参：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B.
C.
D.
参：
D
利用赋值法:令
排除A,B,C,选D.
12. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是 。
参：
略
13. 已知圆：过坐标原点，则圆心到直线距离的最
小值为 ； 参：
14. 已知双曲线，则离心率为 ．
参：
15. 已知函数 则_____________
参：
略
16. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱垂直底面的四棱锥称之为阳马．现有一阳马的
三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为▲cm3，表面积为 ▲ cm2．
参：
16 ；
17. 已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，
则该四棱椎的体积是 . 参：
90 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB （1）求cosA
（2）若a=3，求△ABC的面积的最大值．
参：
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）根据正弦定理将边化角，利用两角和的正弦函数公式化简得出cosA；
（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，
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∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA， 又A∈（0，π），∴sinA≠0， ∴
．
（2）∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即
，∴b2+c2=9+bc≥2bc，∴
．
∵sinA==
，
∴△ABC的面积，（
时取等号）
∴
．
19. 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
试问（1）通过散点图来判断y与x间是否有线性相关关系？若有，求出线性回归方程； （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为
,
参考数据：，.
参：
（1）散点图见解析，有线性相关关系，回归直线方程为；（2）12.38万元
【分析】
（1）画出散点图，根据散点图判断呈线性相关。由线性回归方程公式，即可求得回归方程。（2）根据回归方程公式，即可求得当时的预测维修费用。
【详解】（1）作散点图如下所示：
由散点图可知，
与呈线性相关关系
,
，
∴
∴ ∴
（2）当
时 (万元)
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法和简单应用，计算量较为复杂，属于基础题。 20. （本小题满分12分）已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝
在（0，＋∞）上单调递
减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点；如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围.
参：
函数y＝
在（0，＋∞）上单调递减，则0曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，则△＝(2a－3)2
－4×1×1>0，解得：
a>，或a<，结合a>0且a≠1，得q：a>或0由p∧q为假命题，p∨q为真命题得：，或，解得：≤a<1，或a>；∴实数a的取值范围为[，1）∪（，＋∞）.
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21. 已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）设
，证明：对任意
，
。
参：
（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证. 试题解析：
（Ⅰ）解：的定义域为
，
。
当时，，故在单调递增； 当
时，
，故
在单调递减；
当时，令，解得。由于在上单调递减，故当
时，，故在单调递增；当时，
，故在
单调递减。
（Ⅱ）证明：不妨假设．由于，故
在
单调递减。 ∴等价于。
即
。
令，则
。
于是。
从而在
单调递减，故
，
即
，故对任意
。
考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用。
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具。本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力。本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数
，然后再对函数
求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题
简捷巧妙获证。
22. (本小题满分12分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求的分布列及期望E； 参：
解：(1) ··········6分
(2)的可能取值为200元，250元，300元
∴的分布列为
200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 ∴200×0.4+250×0.4+300×0.2＝240 ··········12分
略
