运动学动力学问题的图像法用(讲义)

〔一〕位移图像和速度图像的意义及用 【实例解析】

1.〔2007·〕甲乙两辆在平直的公路上沿同一方向作直线运动，t＝0时刻同时

经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v/(m/s) v－t图中〔如图〕，直线a、

b分别描述了甲乙两车在0－20 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，10 b(乙) 5 a(甲) 以下说法正确的选项是

0 5 10 15 20 t/s A．在0－10 s内两车逐渐靠近

B．在10－20 s内两车逐渐远离

C．在5－15 s内两车的位移相

D．在t＝10 s时两车在公路上相遇

[解析]此题属于追及问题。由图知：甲做匀速直线运动，乙做匀减速直线运

动，在前10S内V甲两者速度相，间距最大；10S之后V甲>V乙,两者间距逐渐减小。 [答案]C

2.〔2007··物理〕固光滑细杆与地面成一倾角，在杆上套有一个光滑小环，小环在沿杆方向的推力F作用下向 F/N v/ms－1 5.5 1 F 5 上运动，推力F与小环速度v随时间

 变化

0 2 4 6 t/s 0 2 4 6 t/s 规律如下图，取重力加速度g＝10m/s2

。求：

〔1〕小环的质量m；

〔2〕细杆与地面间的倾角。

[解析]該题实质为牛顿运动律的根本用题型〔运动求解力〕，其特点是以速

度图像的形式呈现出物体的运动信息。

由图知前2S小环做初速为零的匀加速运动，其加速度a＝v2

t ＝0.5m/s，

再依据牛顿第二律得

F1－mg sin＝ma……①

2s后小环做匀速运动，依据共点力的平衡条件得：F2＝mg sin

……②

联立①②两式并代入a即得所求。 [答案]m＝1kg，＝30。

【小结】高考对运动图像的考查问题可分为两类。一类题目给出物体的受力、

运动情况，求作位移、速度图像或从所给图像中作出选择，有的还需要据所作

图像解答相关问题；另一类题目那么直接给出位移或速度图像，要求对物体的

运动情况做出分析并答复或解答相关问题。

解决第一类问题的关键是要抓住物体的运动特征，解决第二类问题的关键是

要抓住图线特征，要准确把握点、线、面、斜率、交点、截距的物理含义，并

注意与运动过程、状态的对关系。

对于第一类题目，依据运动规律先建立函数关系式〔数学模型〕，再据所学

解析几何知识确图线的类型或变化趋向或依据数据描点〔常用十字点〕、连线，

必要时再结合所作图像解答相关问题。对于第二类问题，一般着眼于图线的特

征，对物体的运动性质先做出判断，弄清其运动特征，其次要注意图像反映的物理量与其它物理量的联系，如速度与动能、动量的关系；加速度与合外力的

关系，位移、合外力与功的关系，时间、合外力与冲量的关系。

【考前须知】运动图像问题是常见题型，解答此类问题时要特别注意纵轴表示

的是位移还是速度，其次要注意图线是直线还是曲线，位移图像中的“直线〞

表示物体做匀速运动或保持静止；“曲线〞表示物体做变速运动；速度图像中的“直线〞表示物体做匀变速运动或匀速运动；“曲线〞表示物体做变加速运动。其三要注意速度、加速度的方向及其大小或变化趋势其四要注意与匀变速直线运动公式、牛顿第二律、动能理、动量理知识的综合。 【同步练习】s/m

1.〔2007··物理〕在中得到小车做直线运动的s-t关系如下图。E D 〔1〕由图可以确，小车在AC段和DE段的运动分别为【 C A B 】〔A〕AC段是匀加速运动；DE段是匀速运动。 t/s

〔B〕AC段是加速运动；DE段是匀加速运动。 〔C〕AC段是加速运动；DE段是匀速运动。 〔D〕AC段是匀加速运动；DE段是匀加速运动。

〔2〕在与AB、AC、AD对的平均速度中，最接近小车在A点瞬时速度的是_________段中的平均速度。

[提示]DE段为倾斜直线说明物体做匀速运动，AC段发生弯曲说明物体做

变速运动，由于各点切线斜率即速度逐渐增大，所以物体做加速运动；瞬时速度是物体在某时刻或某位置的速度，从数学角度讲瞬时速度是物体平均速度的极限值即slimt0t [答案]〔1〕C；〔2〕AB

2.〔2006··物理〕a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图像如图1所示，以下说法正确的选项是

A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度 B．20秒时，a、b两物体相距最远

C．60秒时，物体a在物体b的前方

D．40秒时，a、b两物体速度相，相距200m

[解析]该题属于追及问题。由图知前20S物体b处于静止状态，故物体a位于物体b的前面。在〔20~40〕S内，ab，a、b间距继续增大；当t=40S时间距最大并且于两条图线与时间轴围成的图形的面积，所以

S(1040)abSaSb220(4020)240900；在〔40~60〕S内，ab，a、b间距逐渐减小。由图像斜率的物理意义知aa2ab[亦可由at分别求出aa1.5(ms)、

ab2(ms2)]。由图知在60S

内图线a与时间轴围成的图形的“面积〞大于图线

b在〔20~60〕S内与时间轴围成的图形的“面积〞，所以t=60S时物体a在物体b的前面。 [答案]C.

3.(2007··物理)如图a所示，质量为M的滑块A放在气垫导轨B上，C为位移传

感器，它能将滑块A到传感器C的距离数据实时传送到计算机上，经计算机处理后在屏幕上显示滑块A的位移-时间〔s-t〕图像和速率-时间〔v-t〕图像。整个装置置于高度可调节的斜面上，斜面的长度为l、高度为h。〔取重力加速度g=10m/s2

，结果可保存一位有效数字〕。

l ⑴现给滑块A一沿气垫导轨向上的初速度，A的

C B h v-tA 图像如图b所示。从图线可得滑块A下滑

时的加速度a=___m/s2

，摩擦力对滑块A运动的影响

_____。〔填“明显，不可忽略〞或“不明显，可图a

忽

略〞〕

⑵此装置还可用来验证牛顿第二律。时通过改变_____，可验证质量一时，加速度

与力成正比的关系；通过改变_____，可验证力一时，加速度与质量成反比的关系。 ⑶将气垫导轨转换成滑板，滑块A换成滑块A´，给滑块A´一沿滑板向上的初速度，A´的s-t图线如图c所示。图线不对称是由于_____造成的，通过图v/(ms-1) s/m 3.0 线可求得滑板的倾角θ=____〔用反三角函数表示〕0.9 0.8 ，滑块与滑板间的动摩擦0.7 2.0 因数μ=____。 0.6 0.5

0.4 0.3 7.1.0 0.5 某同学用图2所示的装置研究小车在斜面上的运动。0.2 0.1 0.0 0.0 步骤如下：0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 t/s 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 t/s 图b

图c

a．安装好器材。

[解析]该题属于填空型题，背景比拟颖，表达了高考与科技相联系得思路、

表达了设计的创能力、表达了对综合用能力的考查。

〔1〕由t图像知滑块A匀减速上滑、匀加速下滑，其加速度大小分别为

a0.03.02上滑1t10.496.1(ms2)、a下滑t3.00.01.00.495.9(ms2)。取一位有效数字得2a上滑a下滑6(ms2)。设导轨倾角为，滑块A与导轨间的动摩擦因素为，依据

牛顿第二律可得物体沿斜面上滑、下滑的加速度分别是a上滑g(sincos)、

a下滑g(sincos)。因a上滑a下滑，所以摩擦力作用不明显。 〔2〕滑块所受

和外力F合mgsin，所以m一时，可通过调节导轨倾角或另一端的高度h到达改变和外力之目的。又因sinh，所以Fmghl合l，为验证〔合〕力一时，加速度与质量的反比关系，在改变滑块质量m后调节导轨高度h，并且要使质量与高度之积mh保持不变，以控制〔合〕力大小不变。

〔3〕假设滑板理想光滑，那么全过程加速度相同，滑块做类竖直上抛运动，位移-时间图像是对称的抛物线。假设滑块受到滑动摩擦力作用，那么上滑与下滑的加速度

大小不同，必然导致上、下滑动过程的位移图线出现不对称现象。由图像知：滑块上滑、下滑位移大小均为S= 0.m，时间分别为t10.4S、t20.6S。对上滑过程，_由11S020t、a1g(sincos)两式得sincos0.8……①；

1t1对下滑过程，由_1St22tt、a2cos0.37……

2tg(sincos)两式得 sin2②

联立①②解得sin0.585；0.265。

按题目要求结果取一位有效数字得sin0.6，arcsin0.6；0.3。[答案]⑴6；可忽略 。 ⑵h；M和h，且M h不变。⑶滑动

摩擦力；arcsin0.6；0.3。

〔二〕运动学问题的图像法处理

图像法是物理学研究常用的数学方法。用它可直观表达物理规律，可帮助

人们发现物理规律。借用此法还能帮助人们解决许许多多物理问题。对于诸多

运动学、动力学问题特别是用物理分析法〔公式法〕难以解决的问题，假设能恰当地运用运动图像处理，那么常常可使运动过程、状态更加清晰、求解过程大为简化。本节只学习运动学问题的图像解法。 【实例解析】

1. 〔2007高考理综Ⅰ〕甲乙两运发动在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9ms的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前S013.5m处作了标记，并以9ms的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听口令时起跑，并恰好在速度到达与甲相同时被甲追上，完成交接棒。接力区的长度为L20m。求：⑴此次练习中乙在接棒前的

加速度a。

⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。

【解析】该题实质上是追及、相遇问题，其物理情景同学们比拟熟悉，对参加过接力赛的同学来说，大多都能正确画出如下过程示意图。 乙 L 甲 相遇点 依据甲、乙两运发动的运动过程所 S0 S2 S作速度图像如下图。1

⑴由于追上时甲乙，由图知

三角形A的“面积〞即为甲“发口令〞时二者间距t s0 s乙 甲 0s1s2，三角形

B的“面积〞 为甲、乙 相遇时乙的位移且ss1，t'2a，A 20t'

B '所以a2O t t 2s。

0⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离L'Ls02013.56.5(m)。

【答案】

22s；6.5m。 0【小结】用图像法处理追及、相遇类问题最大的优点是直观、简捷、容易。在

一条直线上有相对运动的假设干物体，同向运动或相向运动，均可用此法处理。用该法能判断出物体能否相遇、相遇前是否有最大或最小距离并可顺利完成解答。用图像法处理此类问题的一般方法、步骤是：①分析物体的运动特征，把握其运动性质及所遵循的运动规律即先建立物理问题的数学模型；②依据数学模型即函数关系式，在同一坐标系中性作出各个物体的运动图线。③依据图像斜率、“面积〞的物理意义建立方程并求解之。 2. 质量为M的长木板静止在光滑的水平面上，一质量为m的小铁块〔可视为质

0 点〕以初速度0从长木板左端滑上长木板，并恰能滑至长木板最右端。现将长木板分成长度与质量都相的左右两段A和B后仍紧挨在一起置于光滑水平面上，让小铁块再次以初速度0从左端滑上长木板，那么: A 小铁块仍能滑至B的最右端 B 小铁块将从B的右端滑出

C 小铁块停在B上，不能从B的右端滑出 D 因未给出铁块的具体质量，无法 判断最终结果 【解析】依题意作出铁块a、木板b0 速度图象如

图所示。第一种情景：三角形M的〞a  3 M a+b 面积〞即为

木板的长度。第二种情景：铁块在A

1 2 上滑行时 与前者相同，滑到B上时B的运动对O t0 t 粗线1，

A的运动对粗线2；当铁块与B同速后

共同运动(对粗线3)。因四边形的面积小于

三角形M的面积，所以最后B停在小铁块上，且不能滑至B的右端。 【答案】C.

【小结】该题属于动力学综合问题，可以看成力〔隐含条件〕，性分析物体的运动情况的一类问题。解此类问题的关键是先要弄清楚物体的受力特征，正确断其运动规律，其次是借助运动图像正确再现其物理过程和状态，最后是比拟、分析、判断、推理并完成答题。假设物体所受合力是变力，要注意加速度即速度图线切线斜率的变化特征以大体确图线的“趋向〞。 【考前须知】

用运动图像处理运动学问题有其自身的特点和优势，但并不说明用该法可解决

所有运动学问题，也不能说明用图像法解题总是最简单的，在什么情况下用图像法解，用什么样的图像来处理，这一切都决于同学们对图像法解题的“钟爱〞和熟悉程度，相信通过同学们的努力一能用好用足图像，开拓思维空间，提高灵活处理问题的能力。 【同步训练】

1如下图，质量相同的木块A、B，用轻弹簧连接，置于光滑的水平面上，开始弹簧处于自然状态，现用水平恒力F推木块A，那么弹簧在第一次被压缩到最短的过程中

A、A、B速度相同时，加速度aAaB, B、A、B速度相同时，aAaB C、A、B加速度相同时，F A B AB D、A、B加速度相同时， AB.

【解析】弹簧被压缩的过程就是A相对B向右 A B 运动的

O t1 t2 t 过程，故AB，开始时必有aAaB，以后aA逐渐减 小、aB逐渐增大，其速度图像如下图。可见速度相同 时aAaB；加速度相同时AB。 【答案】C。

2. 一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，AB=BC。物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且物体在B点的速度为ACB2，那么

A．a1> a2 B．a1= a2 C．a1< a2 D．不 能确 【解析】依题意作出物体的速度图像如下图。C a b c 图B线下方所围成的面积在数值上于物体的位移，

AO t0 2t0 t 由几何知识知：图线b、c不满足AB=BC，图线a可满足之。又斜率表示加速度，所以a13. 由甲地从静止出发沿平直公路驶向乙地停下。在这段时间内，可做匀速运 m 动，也可做加速度为a匀变速运动。甲、乙相距S,那么要使从甲地到乙地所用时O t1 t2 t 间最短，如何运动？最短时间为多少？

【解析】该题属于运动学极值问题，可用公式法建立方程，然后利用二次函数求极值。下面用速度图像求解：依据运动特征(匀加速、匀速、匀减速〕可作如下速度图像。因位移S恒且于梯形的“面积〞，要使时间最短，无匀速运动

过程，即先做匀加速运动再做匀减速运动。设最短时间为tm，最大速度为m，那么据S1mtm，matm22，得tm2Sa。

4.小球A从地面以初速度0竖直上抛，T秒后小球B以相同的初速度从地面竖直上抛，那么两小球相遇的时间及相遇处距离地面的高度分别为多少？

【解析】该题属于相遇问题。依据其运动规律做位移图像如下图。由图知相遇时间

tt20rT20Tg2；

gT0。 S T 相遇处距离地面的高度hH1g(T22)2,

H 又 O T tr t t 2H0202g，所以h1gT22g8 。 【答案】

0Tg2；20g18gT22。

5.火车从某站出发，开始以加速度a1做匀加速直线运动，当速度到达后，再匀速行驶一段时间，然后又以大小为a2的加速度做匀减速运动直到停止。如果火车经过的位移为s，那么火车运动时间为多少？

【解析】依据火车的运动性质、规律做其速度图像如下图。 那么s12(t3t2t1)……①

t 1

a……②

1

mt t32a……③

2O t1 t2 t3 t 解之得ts1132(a1a)。 2【答案】s112(a1a)。 26. 两辆完全相同的，沿水平直路一前一后的行驶，速度均为0，假设前车突然以恒的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。前车在刹车过程中所行的距离为s，假设要保证两辆车在上述情况中不相撞，那么两车在匀速行驶时保持的距离至少为多少？

【解析】由于前后两车刹车时，初速度相同、加速度也相同，

如下图。前车由O时刻开始刹车，经t0时间停止， 位移 为S；后车由t0时刻开始刹车，到2t0时刻停下来0 位移 也为S，易看出，在由前车开始刹车到后车停下来的这段O t0 2t0 t 时间内，

两车的位移之差恰为2S。

【答案】2S。

〔三〕运动学、动力学问题的图像法详解

许多运动学、动力学问题均可借助运动图像分析、解决，特别是涉及相对运动的力学问题，用图像法处理常能收到简捷、快速求解之效果。本文仅以高中物理常见的传送带类问题为例来说明用图像法处理相关力学的一般思路、方法和步骤，对广子有所启迪和帮助。

【题目】1.将粉笔头A轻放在以02ms的恒速度运动的足够长水平传送带上后，传送带上留下一条长为L4m的划线。假设使该传送带改做加速度大小为

a01.5ms2的匀减速运动直至速度为零，并且在传送带开始做匀减速运动的同

时，将另一粉笔头B轻放在传送带上，那么粉笔头B停在传送带上的位置与划线起点间的距离为多少？

【解析】该题看似属于水平传送带类运动学问题，实质上是一道动力学综合题，题中涉及粉笔头受力情况分析及运动性质的判断。

〔1〕以传送带为参考系，粉笔头A被轻放〔初速为零〕在传送带上后相对于传送带的运动方向与传送带对地的运动方向相反，粉笔头所受滑动摩擦力的方向与传送带对地运动方向相同；又粉笔头 所受重力与带的支持力相互平衡，其合力于滑动摩擦力，依据牛顿第二 律及物体直、曲线运动的条件可知：在开始阶段，粉笔头A对地做初速0 M 为零的匀加速直线运动，与带同速后相对静止共同以带速对

O t t 地做匀速运动。其速度图像如下图.由“面积〞含义知三角形M的

面积在数值上表示传送带相对于粉笔头

A的位移，也表示粉笔头A相对于传送带位移的大小， 即L1020t，又ta，

解之得加速度大小为a0.5ms2。

注意：从图像可直观看出传送带对地的位移是粉笔头A对

地位移的2倍，二者间的相对位移于粉笔头A的对地位移〔或传送带对地位移的一半〕。

〔2〕粉笔头B在前一阶段的运动情况与粉笔头A在开始阶段的运动情况相同，不同的是粉笔头B与传送带同速后，因粉笔头B对地的速度大于传送 带对地的速度，它所受滑动摩擦力的方向与其运动方向0 相反〔向后〕，所以粉笔头B传送带 m 以加速度大小为a0.5ms2〔隐含条件〕对

O t1 t2 t3 t 地做

匀减速运动直到静止，传送带先停下，粉笔头B后 停下。其速度图像如下图。在t1时刻以前粉笔头B

相对于传送带向后滑动，在t1时刻以后那么相对于传送带向前滑动，即粉笔头B相对于传送带的运动有往复，所以粉笔头B停在传送带上的位置与划线起点间的距离

s1210t12m(t3t2)……①

mat10a0t1……②

0a0t2……③ ma(t3t1)……④

联立以上各式解得s56m。由于速度图线与时间轴围成的图形的“面积〞的数

值表示物体位移的大小，所以上面的①式也可用下式替换s1120t22mt3，其它各式不变。

【题目】2. 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的。桌布的一边与桌的AB边重合，如图示。盘与桌布间的动摩擦因数为 μA 1，盘与桌面间的动摩擦因数为 μ2。现突然以a 恒加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的B 且垂直于AB边。假设圆盘最后未从桌面掉下，那么加速度a满足的条件是什么？(以g表示重力加速度)

【解析】该题与上例类似，桌布与传送带对，圆盘与粉笔头对。从题型上看该题属于动力学两类根本问题的综合用。依据题知：以加速度a抽出桌布过程中，圆盘相对桌布向后滑动过程，它对地做匀加速运动，滑离桌布后在桌面上做匀

减速运动，其速度图像如下图，图中1、2分别表示t1时刻圆盘滑离桌布〔或滑到桌面上〕时圆盘、桌布的速度。假设方桌边长为L，那么由“面积〞的含义有

L2121t2……① L21212t121t1……②  假设圆盘在桌布、桌面上滑动的加速度大小分别为2 a1、a2 那么有

1 1a1t1a2(t2t1)……③ O t1 t2 t 2at1……④

依据牛顿第二律有

a11g……⑤

a22g……⑥

联立以上各式得a22121g。

注：对于有关传送带的其它问题诸如能量及其转化问题，也可以借助速度图像进行分析，此处不再赘述。