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象棋盘上的数学题
作者：林 革
来源：《初中生·考试》2010年第11期
大家对中国象棋不陌生. 许多人喜爱这项老少咸宜的益智活动. 象棋是一种娱乐工具,棋子的走法有约定俗成的规定. 如马走“日”字,卒每次只走一格,且不能后退. 为了获胜,下棋双方都想用尽量少的步数抢占有利位置. 在抢占位置的过程中,就出现了一道道妙趣横生的数学题. 【问题1】(纵马走天涯)中国象棋中的马按照象棋规则,可以跳到棋盘上的任意一个格点,走遍“天涯”吗?
对于这个似乎有点想当然的问题,许多人也存在疑惑:中国象棋中的马走“日”字,不像车那样横竖通行没有,它真的能做到么?最常规的思路就是动手试验,不过这种尝试极易让人抓狂. 因为象棋的格点很多,马又可以跳出不同的“日”字到达不同位置,如果让马在棋盘上跳来跳去,对每一个格点加以检验,那非常繁琐,也少有人对这种表面可行的方法有足够耐心. 有没有简捷的推理方法呢?回答是肯定的.
我们可以把问题转化成易于理解、易于解决的情形:把马放在棋盘的任意一位置上,如果我们能够证明这个马可以走到邻近的任一格点,那么就证明了它可以走到任何一个格点. 因为既然它可以走到邻近的一个格点,那么从这个点出发,它又可以走到下一个邻近的格点,依次类推,就说明了它可以走到棋盘上任何一个格点. 这样一来问题就转化成:只要证明马可以走到邻近的一个格点就可以了.
如图1,我们不难发现,马先走到1,再走到2,最后跳到了3(邻近的一格点),同样马可先走到4,再到5,最后到6(也是邻近的一格点). 马跳到另外两个邻近格点也只需三步就可完成,大家不妨一试.
在这个问题的解决过程中,你能直观形象地体会到逻辑推理和数学归纳的重要作用. 【问题2】(无法回头的马)象棋盘上有一只马(如图2),按规则跳奇数步后能否跳回原位? 对于这则经典智力题,它的经典绝不在于二分之一正确率的随意回答,要正确判断需要的是正确的推导. 从这个意义来说,它本质上是一则颇为灵活的数学趣题. 许多人对这个问题仍存在直觉上的猜测:既然是奇数次,意味着是可以无限的,而且上面提到马神通广大,甚至可以跳遍整个棋盘的任何一个格点,跳来跳去总可以回到原位吧!那请先试着跳跳看,很快你就会否定自己当初的想法.
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现在大多数人都会认同相反的结论,即跳奇数步的马跳不回原位. 可有什么令人信服的依据呢?这正是我要向大家介绍的数学推理:
我们可在棋盘上建立平面直角坐标系,并设这只马所在的位置P的坐标为(x0,y0),那么,马跳一步后的位置的坐标应为(x0+x1,y0+y1),只要在坐标系中考虑一下P在任何方向上跳“日”字所能到达的所有位置,就可以肯定x1和y1只可能是1、-1、2、-2这四个数中的一个,且x1与y1只能是一奇或一偶(如x1=1,y1=-1就不可能),也就是x1+y1必为奇数. 跳第二步后,马的坐标应为(x0+x1+x2,y0+y1+y2),这里的x2和y2也只可能是1、-1、2、-2. 如此这般跳了五步后,马的坐标就应该为(x0+x1+x2+x3+x4+x5,y0+y1+y2+y3+y4+y5). 假设这时马又回到原来的位置,那么就有 x0+x1+x2+x3+x4+x5=x0,y0+y1+y2+y3+y4+y5=y0. 即x1+x2+x3+x4+x5=0, (1)y1+y2+y3+y4+y5=0.(2) (1)+(2)得
(x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)+(x4+y4)+(x5+y5)=0. (3)
根据上面的推理可知,(x1+y1)、(x2+y2)、(x3+y3)、(x4+y4)、(x5+y5)每一组坐标之和只能是奇数,五个奇数的和仍是奇数,不可能等于0,这与(3)矛盾. 假设不成立,也就是说无论马怎样跳,跳五步都不可能回到原来的位置.
有了这样的分析,大家不难进行类推,跳七步、九步……奇数步后,马都不能回到原位,因为奇数的就是一条无法逾越的绊马索. ■
