数学-2021年高考数学试题分类汇编——向量

一、选择题

（－x,x）1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量ab （x,1）A平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】

2【解析】ab(0,1x),由1x0及向量的性质可知,C正确.

222.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为

0A. 6 B. 2 C. 25 D. 27

22200【解析】F3F1F22F1F2cos(18060)28，所以F327，选D.

3.（2009浙江卷理）设向量a，b满足：|a|3，|b|4，ab0．以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C

【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现． 4.（2009浙江卷文）已知向量a(1,2)，若向量c满足(ca)//b，b(2,3)．c(ab)，则c（ ）

A．(,) B．(,) C．(,) D．(,)7793737977397973【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．

【解析】不妨设C(m,n)，则ac1m,2n,ab(3,1)，对于ca//b，则有3(1m)2(2n)；又cab，则有3mn0，则有m,n797 35.（2009北京卷文）已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab，如果c//d，那么

A．k1且c与d同向 B．k1且c与d反向

C．k1且c与d同向 D．k1且c与d反向 【答案】D

【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.

.w ∵a1,0，b0,1，若k1，则cab1,1，dab1,1， 显然，a与b不平行，排除A、B.

若k1，则cab1,1，dab1,1，

即c//d且c与d反向，排除C，故选D.

6.（2009北京卷文）设D是正PP12P3及其内部的点构成的集合，点P0是PP12P3的中心，若集合S{P|PD,|PP0||PPi|,i1,2,3}，则集合S表示的平面区域是 ( )

A． 三角形区域

B．四边形区域

C． 五边形区域 D．六边形区域 【答案】D

【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及

学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.

如图，A、B、C、D、E、F为各边

三等分点，答案是集合S为六边形 ABCDEF，其中，

P,3 0AP2APAii1即点P可以是点A.

7.（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，

ckab(kR),dab,如果c//d，那么 （ ）

A．k1且c与d同向 B．k1且c与d反向 C．k1且c与d同向 D．k1且c与d反向 【答案】D

【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考

查. 取a1,0，b0,1，若k1，则cab1,1，dab1,1， 显然，a与b不平行，排除A、B.

若k1，则cab1,1，dab1,1，

即c//d且c与d反向，排除C，故选D.

8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，BCBA2BP，则（ ） A.PAPB0 B.PCPA0 C.PBPC0 D.PAPBPC0

【解析】:因为BCBA2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。 答案：B。

【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 可以借助图形解答。

9.（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= 52，则︱b ︱= （A）5 （B）10 （C）5 （D）25 答案：C

解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由ab52知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 选C。

10.（2009全国卷Ⅰ理）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则值为 ( D )

（A）2 （B）22 （C）1 (D)12 解: ac•bc的最小

a,b,c是单位向量ac•bcab(ab)cc1|ab||c|12cosab,c12故选D. 2

11.(2009湖北卷理)已知

P{a|a(1,0)m(0,1),mR},Q{b|b(1,1)n(1,1),nR}是两个向量集合，

则PQ

A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝ 【答案】A

【解析】因为a(1,m) b(1n,1n)代入选项可得PQ1,1故选A. 12.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量a2,1,ab10,|ab|52，则|b|

 A.

5

B.

10 C.5 D. 25

解：

50|ab|2|a|22ab|b|2520|b|2|b|5。故选C

013.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，b1 则a2b （A）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴a2b23 【答案】B

14.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在ABC所在平面内，且

OAOBOC,NANBNC0，且PA•PBPB•PCPC•PA，则点O，

N，P依次是ABC的

（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心

（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 解析：

由OAOBOC知,O为ABC的外心；由NANBNC0知，O为ABC的重心; PA•PBPB•PC，PAPC•PB0，CA•PB0,CAPB,同理，APBC,P为ABC的垂心，选C.15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 【答案】B

【解析】由计算可得c(4,2)3cb故选B

16.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则【 A 】 A．ADBECF0 B．BDCFDF0 C．ADCECF0



ADFCD．BDBEFC0 B

E图1

解:

ADDB,ADBEDBBEDEFC,得ADBECF0，故选A.

或ADBECFADDFCFAFCF0.

17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为60，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝

（A）3 （B）23 （C）4 （D）12

【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴a2b23 0【答案】B

18.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a、b、c满足|a||b||c|,abc，则a,b

（A）150°B）120° （C）60° （D）30°

【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。

解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。

19.（2009陕西卷文）在ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足PA2PM,

学

则PA(PBPC)等于

科网

（A）

4444 （B） （C） (D) 9339答案:A.

解析:由AP2PM知, p为ABC的重心,根据向量的加法, PBPC2PM则

214AP(PBPC)=2APPM=2APPMcos021

339故选A

20.（2009宁夏海南卷文）已知a3,2,b1,0，向量ab与a2b垂直，则实数的值为 （A）1111 （B） （C） （D）

6776【答案】A

【解析】向量ab＝（－3－1，2），a2b＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝21.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,“a//b”的正确是 （A） A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】：A

【解析】由ab0，可得ab，即得a//b，但a//b，不一定有ab，所以“ab0”是“a//b的充分不必要条件。

22.（2009福建卷文）设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，

1，故选.A。 7ac ∣a∣=∣c∣,则∣b •c∣的值一定等于

A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B. 以b，c为两边的三角形面积 C．a，b为两边的三角形面积 D. 以b，c为邻边的平行四边形的面积

解析 假设a与b的夹角为，∣b •c∣=︱b︱·︱c︱·∣cos∣=︱b︱·︱

a︱•∣cos(90)∣=︱b︱·︱a︱•sin,即为以a，b为邻边的平行四边形的面积，

0故选A。

23.（2009重庆卷理）已知a1,b6,a(ba)2，则向量a与向量b的夹角是（ ）

A．

 6B．

 42C．

 3D．

 2【答案】C

【解析】因为由条件得aba2,所以ab2a3abcos16cos,

21所以cos，所以

2324.（2009重庆卷文）已知向量a(1,1),b(2,x),若a+b与4b2a平行，则实数x的值是（ ）

A．-2 B．0 C．1 D．2

【答案】Dhttp://www.naz.cn 哪知问答网 知识问答题库 问答平台 百科问答 常识问答网站

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解法1因为a(1,1),b(2,x)，所以ab(3,x1),4b2a(6,4x2),由于ab与

4b2a平行，得6(x1)3(4x2)0，解得x2。

解法2因为ab与4b2a平行，则存在常数

，使ab(4b2a)，即

(21)a(41)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x2。

二、填空题

1.（2009广东卷理）若平面向量a，b满足ab1，ab平行于x轴，b(2,1)，则a .

B

【解析】ab(1,0)或(1,0)，则a(1,0)(2,1)(1,1) 或a(1,0)(2,1)(3,1).

A

C P

第7题图

o2.（2009江苏卷）已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2,|b|3，则向量a和向量b的

数量积ab= 。 【解析】 考查数量积的运算。 ab2333 2o3.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120. 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若OCxOAyOB,其中x,yR,则xy 的最大值是________. [解析]设AOC

1cosxyOC•OAxOA•OAyOB•OA,2，即 cos(1200)1xyOC•OBxOA•OByOB•OB,2∴xy2[coscos(120)]cos3sin2sin(06)2

4.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或

=

+

，其中

，

R ，则

+

= _________。

【解析】设BCb、BAa则AF11ba ,AEba ,ACba 2224代入条件得uu

33【答案】4/3

5.（2009江西卷文）已知向量a(3,1)，b(1,3)， c(k,2)，若(ac)b 则

k= ．

答案：0

【解析】因为ac(3k,1),所以k0.

6.（2009江西卷理）已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)∥b，则

k= ．

答案：5 【解析】

3k6k5 137.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC，

则 x 1

33 ，y . 22

图2

解:作DFAB,设ABAC1BCDE2，DEB60,BD6, 2由DBF45解得DFBF62333,故x1,y. 222228.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－

2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________. 【解析】平行四边形ABCD中,OBODOAOC

∴ODOAOCOB＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D点坐标为(0,－2) 【答案】（0，－2）