2014年高考数学试卷

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M=｛0,1,2｝，N=x|x23x2≤0，则MN=( ) A. ｛1｝

B. ｛2｝

C. ｛0，1｝

D. ｛1，2｝

2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxkz12i，则z1z2（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则ab = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 4.钝角三角形ABC的面积是1，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) A. 5

D. 5

2B. 5 C. 2 D. 1

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 17 B. 5 C. 10 D. 1

2792737.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

xy7≤09.设x,y满足约束条件x3y1≤0，则z2xy的最大值为（ ）

3xy5≥0A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

10.设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A. 3393 C. 63 D. 9

B. 83244

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，

则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

302 D. 21051012.设函数fx3sinx.若存在fx的极值点x0满足

m A. 1 B. 2 C. 2x02fx0m，则m的取值范围是（ ）

A. ,66, B. ,44, C.

2,22,

1

D.,14,

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题

13.xa的展开式中，x7的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 14.函数fxsinx22sincosx的最大值为_________.

15.已知偶函数fx在0,单调递减，f20.若fx10，则x的取值范围是__________.

16.设点M（x0,1），若在圆O:x2y21上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则x0的取值范围是________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

已知数列an满足a1=1，an13an1.

（Ⅰ）证明an1是等比数列，并求an的通项公式；

102（Ⅱ）证明：11…+13.

a1a2an218. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.

19. （本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 1 2 3 4 5 6 7 年份代号t 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入y 2.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

2

bttyyiii1ntiti1n2ˆ ˆybt，a

20. （本小题满分12分）

2y2x设F1,F2分别是椭圆C:221ab0的左,右焦点，M是C上一点且MF2与x轴ab垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a,b.

21. （本小题满分12分）

已知函数fx=exex2xzxxk （Ⅰ）讨论fx的单调性；

（Ⅱ）设gxf2x4bfx，当x0时，gx0,求b的最大值；

（Ⅲ）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

3

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：

（Ⅰ）BE=EC；

（Ⅱ）ADDE=2PB2

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴

为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，

.zxxk 0,2（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到

的参数方程，确定D的坐标.

24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数fx=x1xa(a0)

a（Ⅰ）证明：fx≥2；

（Ⅱ）若f35，求a的取值范围.

4

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参

一、 选择题

（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C

（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C

二、 填空题

1（13） （14）1 （15）（3,1） （16）1,1

2

三、 解答题 （17）解：

11 （I）由an13an1得an13(an)。

221331 又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列。

222213n3n1 an，因此an的通项公式为an.

22212 （Ⅱ）由（I）知n

an3111 因为当n1时，3n123n1，所以n。 3123n111111313于是...1...n1(1n)。

a1a2an332321113所以 ...

a1a2an2

（18）解：

（I）连接BD交AC于点O,连结EO。

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。 又E为PD的中点，所以EO∥PB。

EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB∥平面AEC.

（Ⅱ）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直。

如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0,3,0),E(0, 设b(m,0,0)(m3131,). ,),AE(0,22220)，则c(m,3,0),AC(m,3,0)。

5

设n1(x,y,z)为平面ACE的法向量，

mx3y0,nAC0,则1即3， 1yz0,n1AE0,22可取n1(量，

3,1,3)。 m又n2(1,0,0)为平面DAE的法向

1，即 2由题设cosn1,n2313m，解得。 234m22因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为三菱锥EACD的体积

11313 V3.

32228

（19）解：

（I） 由所给数据计算得

1 t（1+2+3+4+5+6+7）=4

71

y（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3

7

(t1t)2=9+4+1+0+1+4+9=28

t171. 2

(t1t)(y1y)

t17 =（3）×（1.4）+（2）×（1）+（1）×（0.7）+0×0.1+1×0.5

+2×0.9+3×1.6 =14. b(tt171t)(y1y)1(tt17t)2140.5， 28 aybt4.30.542.3. 所求回归方程为 y0.5t2.3.

6

（Ⅱ） 由（I）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

将2015年的年份代号t=9带入（I）中的回归方程，得

y0.592.36.8

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. （20）

b222解：（I）根据cab及题设知M(c,),2b23ac

ac1c 将b2a2c2代入2b23ac，解得,2（舍去）

a2a1 故C的离心率为.

2 （Ⅱ）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的

b2交点D(0,2) 是线段MF1的中点，故4，即

a b24a ①

由MN5F1N得DF12F1N。

设N(x1,y1)，由题意知y10，则

32(cx1)cx1c,，即2 2y12y119c21代入C的方程，得221。

4ab9(a24a)1221 将①及cab代入②得24a4a解得a7,b24a28，

故a7,b27.

（21）解：

（I）f'(x)=exex20，等号仅当x0时成立。 所以f(x)在(,) （Ⅱ）g(x)=f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x

2x2xxxee2b(ee)(4b2) g'(x)=2

=2(exex2)(exex2b2)

（i）当b2时，g'(x)≥0，等号仅当x0时成立，所以g(x)在(,)单调递增。而g(0)=0，所以对任意x0,g(x)0；

2b2，即（ii）当b2时，若x满足2exex 7

0xln(b1b22b)时

g'(x)＜0.而g(0)=0，因此当0xln(b1b22b)时，g(x)＜0. 综上，b的最大值为2.

3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，g(ln2)22b2(2b1)ln2.

23823 当b=2时，g(ln2)426ln2＞0；ln2＞＞0.6928；

21232 当b1时，ln(b1b22b)ln2，

43 g(ln2)=22(322)ln2＜0，

2182 ln2＜＜0.6934

28 所以ln2的近似值为0.693.

（22）解：

（I） 连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA

∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD，从而BEEC。

因此BE=EC.

（Ⅱ）由切割线定理得PA2PBPC。

因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB。

由相交弦定理得ADDEBDDC， 所以ADDE2PB2.

（23）解：

（I）C的普通方程为(x1)2y21(0y1).

可得C的参数方程为

x1cost,（t为参数，0tx） ysint,

8

（Ⅱ）设D(1cost,sint).由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，

 tant3,t.

333 故D的直角坐标为(1cos,sin)，即(,)。

3322

（24）解：

111（I）由a0，有f(x)xxax(xa)a2.

aaa 所以f(x)≥2.

1（Ⅱ）f(3)33a.

a1521，由f(3)＜5得3＜a＜。 a2115当0＜a≤3时，f(3)=6a，由f(3)＜5得＜a≤3.

a215521 综上，a的取值范围是（，）

22当时a＞3时，f(3)=a 9