八年级数学上册(1.1 勾股定理)教学设计(2) 北师大版 教案

一、内容及其分析

本节课要学的内容是验证勾股定理，指的是通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想 ，其核心

是通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想，理解它关键就是要通过拼图验证勾股定理。学生已经

在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已

经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，本节课的内容验证勾股定理就是

在此基础上的发展的。由于它还与方程及无理数的形成有直接的联系，所以在本学科有数形结合的重要地位，

是本学科的核心内容。教学的重点是验证勾股定理，解决重点的关键是勾股定理的应用价值并逐步培养学生

应用数学解决实际问题意识和能力 ，为后面的学习打下基础. 二、目标及其解析

1、了解通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题； 2、理解拼图验证勾股定理，就是指通过拼图然后利用代数中的方程得到结论。 三、问题诊断与分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是难以理解用面积来证明勾股定理，产生这一障碍的原因是代数与几何的联系难以把握。要解决这一障碍，就要知道用代数式表示四边形的面积，其中关键是把握面积的不同表示方法。 四、教学支持条件分析

在本节课青朱出入图的教学中，准备使用幻灯片。因为使用幻灯片，有利于学生从动画中理解‘无字证明’。

五、教学过程设计：

本节课设计了五个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三） 追溯历史，激发情感；（四） 例题讲解，初步应用；（五） 拓展练习，能力提升； 问题一： 复习设疑，激趣引入 内容：教师提出问题：

（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）

（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.

设计意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.

问题二：小组活动，拼图验证.

活动1：教师导入，小组拼图.

教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，

拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）

活动2：层层设问，完成验证一.

学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：

在此基础上教师提问：

（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）； （2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2

=4×

12ab+c2

.并得到a2b2c2）

从而利用图1验证了勾股定理. 活动3 ： 自主探究，完成验证二.

教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？

（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）

设计意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课

的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐. 第三环节： 追溯历史 激发情感

活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.

国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 .2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！

a b c c a

b

国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.

约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.

不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .

意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.

第四环节： 例题讲解 初步应用

例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离

这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

设计意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.

第五环节 ： 拓展练习 能力提升

内容：一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题 （1）教材 P10练习题.

（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下

滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？

（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？ 说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.

设计意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深. 六、课堂小结：

通过这节课的学习，你有什么样的收获？

设计目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等. 七、目标检测

1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .

2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒

加固，木板的长为 .

3．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为 . 4．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（ ）． A．30 cm

2

B．130 cm

2

C．120 cm

2

D．60 cm

2

八、配餐作业

A组：基础巩固

1．Rt△ABC中，∠C＝90º, ∠A＝49º31′， 则∠B＝_________。

2．在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则其三个内角为∠A＝______，∠B＝_______，∠C＝________。 3．在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:1:2，则此三角形为_______三角形。

4．以下列各组数为边长组成三角形①3、4、5，②8、15、17，③10、24、25，④16、30,34，其中能构成直角三角形的序号有________;

5．已知三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形面积为________; 6. 在△ABC中，已知AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝15cm，则△ABC的面积等于（ ） A 108cm B 90cm

2

2

C 180cm

2

D 54cm

2

7．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）

（A）30 （B）40 （C）50 （D）60 B组：强化训练

1．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西行9km，到达目的地B，求AB两地间的距离. 2．一棵9m高的树被风折断，树顶落在离树根3m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？

C组：延伸拓广

1．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.

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