上海市2009年高三十四校联考模拟考试数学(理科)试卷

数学试题（理科）

考试用时120分钟 满分150分

一、填空题（本大题满分60分，共12小题，每小题满分5分）

x10的解集为 .x2342．设sin,cos,则2的终边所在的象限是 551．不等式

.

.

3．以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x4y30上的抛物线方程是 4．二项式5．设z153xy15展开式中所有的理系数之和为 .13i,那么zz2z3z4z5z6= 22.6．设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取

22,3,55,0,,3,22,且 表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数22.

学期望Eξ=

2an17．若数列{an}满足2。则“数列p(p为正常数,nN*),则称{an}为“等方比数列”

an{an}是等方比数列”是“数列{an}是等方比数列”的 8．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为

角的余弦值为

.

条件.

4，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成39．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)1,对任意的xR都有下列两式成立：

f(x5)f(x)5;f(x1)f(x)1.若g(x)f(x)1x,则g(6)的值为 .10．如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列： 1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，

n3

则lim= nSn

.

11．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]=2，

1

[1.3]2,定义函数{x}x[x]，那么下列

命题中所有正确命题的序号为 ①函数{x}的定义域是R；③方程{x}.②函数{x}的值域为R；④函数{x}是周期函数；

3有唯一解；2⑤函数{x}是增函数.

12．矩阵的一种运算abxaxby,该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩cdycxdy阵ab22的作用下变换成点(axby,cxdy),若曲线x4xy2y1在矩阵cd.

1a22的作用下变换成曲线x2y1,则ab的值为 b1

二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）13．无穷等比数列1,212,,,…各项的和等于224（

）

A．22B．22C．21D．21

ABACBC0,且ABAC1,则△ABC14．已知非零向量AB与AC满足|AB||AC||AB||AC|2的形状是（ ）

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形

15．对任意正整数n，定义n的双阶乘n！！如下：当n为偶数时，

n!!n(n2)(n4)642;当n为奇数时,n!!n(n2)(n4)531；

现有四个命题：①(2009!!)(2008!!)2009!，②2008!!21004!，③2008！！个位

数为0，④2009！！个位数为5。其中正确的个数为

（ ）

A．1B．2C．3D．4

16．三个半径为1的球互相外切，且每个球都同时与另外两个半径为r的球外切。如果这两

个半径为r的球也互相外切，则r的值为

2

（

A．1

B．

）

C．

1213D．

16三、解答题（本大题满分74分，共5小题）17．（本题满分12分） 如图，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是

PC的中点。

（1）求异面直线AE和PB所成角的大小； （2）求三棱锥A—EBC的体积.

18．（本题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a23,c2,sinCsinB0

0b2c0,求ABC的面积S.cosA013

19．（本题满分14分）

设m、n为正整数，且m2,二次函数yx(3mt)x3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为d1,二次函数yx(2tn)x2nt的图像与x轴的两个交点间的距离为d2.如果d1d2对一切实数t恒成立,求m、n的值.

2220．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮。为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科

克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线。它的形成过程如下：

（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边

三角形，然后去掉底边，得到图②；

（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；

（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线.

4

将图①、图②、图③……中的图形依次记作M1、M2、…、Mn…设M1的边长为1。

求：（1）写出Mn的边数an、边长bn、周长Ln；（2）求Mn的面积Sn；

（3）观察上述求解的结果，数列{Ln},{Sn}有怎样的特性？它们的极限是否存在？

若存在，求出极限。并归纳雪花曲线的特性.

21．（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4

分） 我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直

线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题.

x2y2 （1）设F1、F2是椭圆M:1的两个焦点，点F1、F2到直线

259L:2xy50的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭

圆M的位置关系.

x2y2 （2）设F1、F2是椭圆M:221(ab0)的两个焦点，点F1、F2到直线

ab

L:mxnyp0（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆

M相切，试求d1·d2的值.

（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明.

5

（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必

证明）.

数学（理）参考答案

一、填空题（本大题满分60分，共12小题，每小题满分5分）1．(,2)1, 5．

2．第四象限

7． 2

3． y6x。 4． 0 8．

24 6． 必要不充分 72 9． 1 310． 6 11．①⑤ 12． 2

二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）13．B 14．D 15．C 16．D

三、解答题（本大题满分74，共5小题）

17．解：（1）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF//PB， 所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角； ……………3分 ∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，

AF3,AE2,EF2;2231 cosAEF22241AEFarccos;6分4所以异面直线AE和PB所成角的大小为arccos. ………………8分

6

14 （2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为

12PA1, …………10分

V13AEBCVEABC344133. …………12分18．（本题满分14分）

解：由行列式得：bsinC2csinBcosA0 …………3分

2cbb2c2a2 由正、余弦定理得：bc2bc0 …………6分

b2c2a2bc,A3 ………………9分

又a23,c2,b4

………………12分

S12bcsinA23 ……………………14分19．（本题满分14分） 解：设二次函数yx2(3mt)x3mt的图象与x轴的两个交点分别为(x1,0), (x2,0)，

二次函数yx2(2tn)x2nt的图像与x轴的两个交点分别为(x3,0),(x4,0)则d1|x1x2|(x21x2)4x1x2(mt3)212mtd2|x22x4|(x3x4)4x3x4(n2t)28nt4分d1d2对一切实数t恒成立, (mt3)212mt(n2t)28nt对一切实数t恒成立即:(m24)t2(6m4n)t9n20对一切实数t恒立2m40(6m4n)24(m24)(9n2)08分m24(mn6)2012分

又∵m、n为正整数，m3,n2或m6,n1 …………14分

20．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）

解：（1）an1n34； ………………2分

7

b(1n1n3)； ………………4分

L4n1n3(3). ………………6分

（2）当由M3n1生成Mn时,每条边上多了一个面积4b2n的小等边三角形，

共有an1个.

S3nSn14ab23232n1nSn24an2bn14an1bn S3233214a1b24a22b34an1bn(n2) …………10分S314Sn3(13(13)234(13)434n2(13)2n24)

3344444(3(9)(9)2(9)n14) …………12分23334n1520(9). （3）{Ln},{Sn}都是等比数列，且是单调递增的数列；

{L23n}极限不存在；{Sn}极限存在，limnSn5. ………………14分 雪花曲线的特性是周长无限增大而面积有限的图形. ………………16分 （第3小题酌情给分）21．（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4

分）

解：（1）d1d2|425||4253|39； ………………2分

x2 联立方程25y291消去y可得59x25010x1000； …………3分2xy50

(5010)24591000,所以直线L与椭圆M相交. …………4分

8

x2y21, （2）联立方程组a2b2mxnyp0

消去

y可得(a2m2b2n2)x22a2mpxa2(p2b2n2)0,(*)6分(2a2mp)24(a2m2b2n2)a2(p2b2n2)4a2b2n2(a2m2b2n2p2)0即p2a2m2b2nn.8分因为椭圆焦点F1(c,0),F2(c,0),其中c2a2b2;|mcp||mcp||p2m2c2|d1d22222m2n2mnmn|a2m2b2n2m2c2|b2.10分22mnx2y2 （3）设F1、F2是椭圆M:221(ab0)的两个焦点，点F1、F2到直线

ab

L:mxnyp0(m,n不同时为0)的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同

侧.那么直线L与椭圆相交的充要条件为：d1d2b；直线L与椭圆M相切的充要条件为：d1d2b；直线L与椭圆M相离的充要条件为：d1d2b　……14分

222

证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交(*)中0pambn22222p2m2c2a2m2b2n2m2c22d1d2b;22222222mnmnmnmn2 同理可证:直线L与椭圆M相离d1d2bmcpmcp直线L与椭圆M相切d1d2b2.16分 命题得证.

（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）

x2y2 （4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线M:221的两个焦点，点F1、F2到

ab直线L:mxnyp0(m,n不同时为0)距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：d1d2b；直线L与双曲线M相切的充要条件为：d1d2b；直线L与双曲线M相离的充要条件为：d1d2b2229

………………20分

（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）

10