年考研数学真题及答案

【篇一：2010年考研数学一试题及答案】

=txt>一、选择题 ??x2

lim（1）、极限??x?? ?(x?a)(x?b)?

a、1b、e c、e【详解】 a?b x

?（ c） d、e b?a

??xlim?e??limx??x?? ?(x?a)(x?b)??lime x??

??a?b?x?ab?x??(x?a)(x?b)???? 2 x

??x2 ln?

?(x?a)(x?b)???? x

?lime x?? ??x2

x??1??(x?a)(x?b)??? ?a?b?x2?abx ?lime x??

(x?a)(x?b) ?ea?b

（2）、设函数z?z(x,y)，由方程f(,)?0确定，其中且f2??0，则x （ b）

a、xb、z c、?xd?z yzxx?z?z?y??u?y

f为可微函数， ??????【详解】 等式两边求全微分得：

(fu1x?f2vx)dx?(fu1y?f2vy)dy?(fu1z?f2vz)dz?0， 所以有，

??f?vxf?u?f2?z?z1uy?f2vy ，， ????1x

?????xf?yf1uz?f2vz1uz?f2vz

1yz1u?v??v?，，，，，，代入即可。 u?0v?0yxzzy xx2x2x

其中，ux?? （3）、设m,n

是正整数，则反常积分 ? 10

的收敛性( d )

(a)仅与m的取值有关 (b)仅与n有关

(c)与m,n都有关(d)都无关 【详解】：显然x?0,x?1是两个瑕点，有 ? ? ? 120 ? ?

1122m 1n 2m

21?mn 对于 120

的瑕点x?0，当x?

0?ln(1?x)x等价于(?1)x ? ， 而 ? x

21?mn 21

dx收敛收敛；

（因m,n是正整数????1），

故对于mn(?1,?)(0的瑕点x?1，当x?1 2121211mnmnm??)?

而11(?)x?2ln(1?x)?2(1?x)， 22

显然收敛，故

收敛。所以选择d. n n

（4）、lim n n??

??22?( d ) i?1j?1(n?i)(n?j) a、 ?1 1

dx? x 1

(1?x)(1?y2) b、 ? 1

dx? x

(1?x)(1?y) c、 ? 1 1 1 ? 1 1

dx?

(1?x)(1?y) d、 ?

1

dx0

(1?x)(1?y2 )

【详解】： n n

lim1

x????nn

?i)(n2?j2?limi?1j?1(n)n???11i?1 (1?i)n?n11 ?j?1(1?(j)2)n ? 1

dx? 1

(1?x)(1?y2 ) nn

（5）设a为m?n型矩阵，b为n?m型矩阵，e为m阶单位矩阵，若ab=e，则（ a） a、秩r(a)=m, 秩r(b)=m b、秩r(a)=m, 秩r(b)=n c、秩r(a)=n, 秩r(b)=md、秩r(a)=n, 秩r(b)=n 【详解】 ?ab?e?r(ab)?m

又r(ab)?m?min(r(a),r(b)),即r(a)?m,r(b)?m 而r(a)?m,r(b)?m?r(a)?m,r(b)?m

(6) 设a为4阶实对称矩阵，且a2

?a?0，若a的秩为3，则a相似于（d） ??1??1? ??1?

a．?? b. ?1? ?1????0? ???1? ?0? ?

??1? ?

???1?

c. ??1??d. ??1? ??1????0? ?

??1??0? ?

【详解】设a的特征值为r，因为a2?a?0为所以?2???0 即?(??1)?0???0或???1

又?r(a)?3 ，a必可相似对角化，且对角阵的秩也是3. ????1是三重特征根 ??1???

?1??a~???1???所以正确答案为（d） 0?? ?0 x?0

x?(7) 设随机变量的分布函数f(x)?? ?

10?x?1?2

，则 {x=1}= （c） ??1?e ?xx?1

a．0Ｂ.12 c. 12 ?e?1d. 1?e?1

【详解】p{x?1}?f(1)?f(1?0)?1?e?1 ?1?1?e?1 22

.所以选c

(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[?1,3]上的均匀分布的概率密度，f(x)???af1 (x)

x?0?bf2(x) x?0

(a?0,b?0)为概率密度，则a,b应满足：（a ）

a、2a?3b?4 b、3a?2b?4c、a?b?1 d、a?b?2 【详解】由概率密度的性质 ? ?? ??

f(x)dx?1，有 a?0 ??

f1(x)dx?b?

3

f2(x)dx?1 ? 13 2a?4 b?1

?2a?3b?4

所以选a。 二、填空题 t 2（9）、设x?e?t ,y??ln(1?2 dy

0u)du,求d2 x ?

【详解】 若

ln?1?t2y??t?dy ??dxx?t?e?t ?

d2yd?dy?d?dy?dt ??????

dx2dx?dx?dt?dx?dx?ln?1?t2???1 ???

??x?t?e?t ?? 2t

e?t?ln?1?t2?e?t21

???2?t?t?e?e?2t2?e2t(?ln(1?t))2 1?t d2y2 故dx （10） 、 ?0 ?2 ?

??4?

【详解】 ? ?2

??4? ?t,原式为

2?t2costdt?2t2sint|???2tsintdt??4?tsintdt?4tcost|?00??0costdt??4? 000 ? ? ? ? ? ? ? ?

,点是(1,0),则曲线积分（11）、已知曲线l的方程为y?1?x,x?[?1,1],起点是(?1,0)终 ? l

xydx?x2dy?【详解】令 ?x?t?x?t

l1:??1?t?0 l2:?0?t?1 ?y?1?t?y?1?t ? l

xydx?x2dy ?? ?? l10

xydx?x2dy? ? l2

xydx?x2dy 10 ?1

t?1?t??t2dt? ?1 ?

t?1?t??t2dt 10

?23t2???t??

32???0

?t223?????t? 3?2? 22

（12）、设??{(x,y,z)x?y?z?1},则?的形心坐标z? 2 3

【详解】 ?

???zdxdydz ?

???dxdydz ?

d?rdr?? ?d??rdr? r 2 1

2?11 2

2??1 3

dzr2 2

?zdz ?

（13）设?1?(1,2,?1,0)t,?2?(1,1,0,2)t,?3?(2,1,1,?)t,若由形成的向量空间维数是2，则?

【详解】由题意知向量组?1,?2,?3线性相关，而其中两个向量线性无关，所以r(?1,?2,?3）?2，即 ?112??1??? r?2r

?211?21?0??101?r??03?r1????02???0??????6?0???6

2?2??11???r?r?1?3?32?0?1?3????r134?2r2000? ??????2???00??6? c

,k?0,1,2,?，则ex2?k! 1

（14）设随机变量x概率分布为p{x?k}? ?

【详解】由概率密度的性质 ?p{x?k}?1，有 k?0 c?1

?1?c?e ?k!k?0 e?1

,k?0,1,2,?为参数为1的泊松分布，则有 即p{x?k}?k! ?

ex?1,dx?1

?ex2?dx?(ex)2?2

三、解答题 （15）（本题满分10分） 求微分方程y???3y??2y?2xe的通解

【详解】齐次方程y???3y??2y?0的特征方程为?2?3??2?0由此得?1?2,?2?1.对应齐次方程的通解为y?c1e2x?c2ex x

a??1,b??2y?ax?bxe??设非齐次方程的特解为 代入原方程得从而所求解为 x

y?c1e2x?c2ex?(?x2?2x)ex

（16）（本题满分10分） 求函数f(x)? x2 ? 1

(x2?t)e?tdt的单调区间与极值 x2 2

【 详解】由

f?(x)?2x?e?tdt?0 1

，可得，x?0，?1

【篇二：2015年考研数学(一)真题及答案详解】

p> 一、选择题:1

8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项

符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

(1)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线

y?f(x)的拐点的个数为 () (a) 0 (b) 1 (c) 2(d) 3 曲线y?(2)(a) (b) (c) (d) . 2

所以2,1为特征方程r?ar?b?0的根，从而a??(1?2)??3，b?1?2?2，从而原方

程变为y???3y??2y?ce，再将特解y?xe代入得c??1.故选（a） (3) 若级数 xx ?a n?1 ?

x?3依次为幂级数n条件收敛，则 x? ?na(x?1) n n?1 ? n

的 ()

(a) 收敛点，收敛点

(b) 收敛点，发散点 (c) 发散点，收敛点 (d) 发散点，发散点 【答案】（b）

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 n

x?2条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以aa(x?1)?n?nn?1 n?1 ? ? ?a(

xnn?1? n ?

?na(n?1

(a) (b) (c) (d) x

(5) 设矩阵，b??d?，若集合，则线性方程组有 ???14a2??d2?????

无穷多解的充分必要条件为 ()

(a) a??,d?? (b) a??,d?? (c) a??,d?? (d) a??,d?? 【答案】(d) ?111?

【解析】(a,b)??12a

?14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(dd?2)?? ，

由r(a)?r(a,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?

22 (6)设二次型f?x1,x2,x3? 在正交变换为x?py 1 其中2?p??e1,e2,e3? ，若q??e1,?e3,e2? ，则f?x1,2x3??()

222(a) 2y1 ?y2?y3222(b) 2y1 ?y2?y3222(c) 2y1 ?y2?y322(d) 2y1 ?y2?y3 【答案】(a) 222x?f?ta

xyt(ptap)y?2y1. ?y2?y3 ?? t

且p?. ?1??? ?100? ??

由已知可得:q?p?001??pc ?0?10????200? ??ttt

故有qaq?c(pap)c??0?10? ?001??? 222

所以f?xtax?yt(qtaq)y?2y1.选（a） ?y2?y3

(7) 若a,b为任意两个随机事件，则 () (a) p?ab??p?a?p?b? (b) p?ab??p?a?p?b? (c) p?ab??【答案】(c)

【解析】由于ab?a,ab?b，按概率的基本性质，我们有p(ab)?p(a)且

p?a?p?b?p?a?p?b? (d) p?ab?? 22 p(ab) (8) () (a)(9) .

??. 方法二：lim?lim?lim?limx?0x?0x?0x?0x2x2x2x22 (10)

sinx(???21?cosx?x)dx?________. 2 ?

【答案】 4

【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. ?2sinx???

【解析】?2???x?dx?2?2xdx?. 0?4?2?1?cosx ?

(11)若函数z?z(x,y)由方程ex?xyz?x?cosx?2确定，则dz【答案】?dx

【分析】此题考查隐函数求导.

【解析】令f(x,y,z)?ez?xyz?x?cosx?2，则 (0,1)

?________. fx?(

(12)???(x?? . ????

1?.???4? (13) n【答案】2 n?1 ?2

【解析】按第一行展开得

【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】

ss=txt>（经典珍藏版）

1987年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值. (2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平 面图形的面积是_____________. 1?x

(3)与两直线y??1?t z?2?t 及

x?1y?1?2z?1 1?1

都平行且过原点的平面方程为 _____________. (4)设 l

为取正向的圆周x2 ?y2

?9,则曲线积分 ?? l

(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为 坐标是_____________. 二、(本题满分8分)

求正的常数a与b,使等式lim1x2 x?0bx?sinx?0 ?1成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u? f(x,xy),v?g(x?xy), 求

?u?x,?v?x . (2)设矩阵 a 和 b

满足关系式

ab=a?2b, 其中

??301?

a??110?,求矩阵b. ?4??01??

四、(本题满分8分)

求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设lim f(x)?f(a) x?a (x?a) 2

??1,则在x?a处 (a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取 得极大值

(c)f(x)取得极小值 (d)f(x) 的导数不存在 (2)设f(x) 为已知连续函数s ,i?t? t0

f(tx)dx,其中t?0,s?0, 则i的值

(a)依赖于s和t (b)依赖于s、 t和x

(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t (3)设常数?

k?0,则级数?(?1)nk?nn 2

n?1(a)发散(b)绝对收敛

(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关

(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a* 是a的伴

随矩阵，则|a*|等于 (a)a (b)1a (c)an?1 (d)an

六、（本题满分10分） 求幂级数? ?

1n?1n?2n

x的收敛域，并求其和函数. n?1

七、（本题满分10分） 求曲面积分

i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy, ?

其中?

是由曲线f(x)?? ?z?1?y?3?

绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?. 2x?0??

八、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.

九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组

x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1 个球放到

第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量x

的概率密度函数为f(x)? 十一、（本题满分6分）

设随机变量x,y相互,其概率密度函数分别为

fx(x)? ?x 2

?2x?1

,则x的数学期望为____________,x的方差为____________. 1

0?x?1其它 , ?y

y?0,求zfy(y)?y?0?2x?y 的概率密度函数.