应力张量的认识(三)

应力张量的认识（三）

本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。相关还有：Levy-Mises理论的思考 前面两部分分别介绍了应力张量的基础和对齐本质的思考，最终得出了应力张量的本质是一个线性变换的结论。这一部分是对上述结论的验证计算和关于严谨性方面的补充证明。 前面两部分参考链接 应力张量的认识（一） 应力张量的认识（二）

验证计算 为了加深对应力张量是线性变换的矩阵的理解，进行如下计算：从线性变换的角度求出变换矩阵（即应力张量），并验证其相似性。

为了计算方便又不失一般性，取如下图所示的计算条件：

S1、S2为全局绝对坐标系下的两个局部坐标系（他们由截取P的两两相互垂直的平面的法向决定），S1和全局坐标系重合，S2为全局坐标系绕z轴逆时针旋转90°得到。P点应力状态在S1、S2系下，分别可以用一个应力张量表示，并且是相似的。接下来就从线性变换角度计算说明。 S1、S2的基及过渡矩阵 根据局部坐标轴在全局坐标系下的方向余弦容易得到他们的基分别为：

α基到β基的过渡矩阵W满足

β=αW

同理β基到α基的过渡矩阵W-1满足 α=βW-1

解出

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线性变换在基下的矩阵 设全局坐标系描述下，应力张量表示为

设T表示应力张量对应的线性变换，T(α1)表示α1截面上的应力，显然

T(α1)=(σ11,σ12,σ13)T

T(β1)表示S2坐标系下β1截面上的应力，对应的是全局坐标系下y截面的应力，即

T(β1)=(σ21,σ22,σ23)T

于是可得到

根据T(α)=αA，T(β)=βB，得到线性变换在两个基下的矩阵分别为

也就是P点在S1、S2坐标系下的应力张量（由于表示上的缘故，这里为转置关系）。 相似关系 验证可知W-1AW=B，即A~B

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至此，可以清晰看出不同坐标系下应力张量与不同基下线性变换矩阵的等价关系。 线性空间的证明 再进一步，关于线性变换的理解都是基于σijnij=pi的形式而推出的，似乎还不够严谨。比如，没有证明截面位置、截面应力可以做成一个线性空间，也没有证明从截面位置到截面应力的变换是线性变换。 本着彻底打通这条路的心思，下面开始对这两个问题进行分析。 线性空间的定义 设V是一个非空集合，R为实数域。如果对于V中任意两个元素α，β，V中总有唯一的一个元素γ与之对应，称为a与b的和，记作γ= α+β；又对于R中任一数λ与V中任一元素α，V中总有唯一的一个元素δ与之对应,称为λ与α的积，记作δ=λα。

并且这两种运算满足以下运算规律（设α，β，γ为V重元素，λ，μ为R重元素）： (i) α+β=β+α; (ii) (α+β)+γ=α+(β+γ);

(iii) 在V中存在零元素0，对任何α,都有α+0=α; (iv) 对任何α，都有α的负元素β，使α+β=0; (v) 1α=α; (vi) λμ(α)=(λμ)α; (vii) (λ+μ)α=λα+μα; (viii) λ(α+β)=λα+λβ.

那么，V就称为（实数域R上的）线性空间（或向量空间）。 线性空间的证明 截面应力空间显然是一个线性空间，因为它是一个一般的三维向量空间。

对于截面位置空间，需要证明其对于某种定义的加法和乘法运算封闭，且满足上述运算律。 截面位置空间是由方向余弦描述的，

α=(n1,n2,n3)=(cos,cos,cos) β=(m1,m2,m3)=(cos,cos,cos)

表示截面法线与坐标轴x的夹角，其他以此类推。n1,n2,n3取值范围为[-1,1]，且满足平方和为1。显然常规的加法和数乘运算不满足封闭条件。

考虑到截面空间的描述特点，采用球坐标系下角度的常规加法和数乘运算来定义。

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球坐标系下，

α=(n1,n2,n3)=(sinφ1cosθ1,sinφ1sinθ1,cosφ1) β=(m1,m2,m3)=(sinφ2cosθ2,sinφ2sinθ2,cosφ2)

定义加法和数乘运算

α+β=(sin(φ1+φ2)cos(θ1+θ2),sin(φ1+φ2)sin(θ1+θ2),cos(φ1+φ2))

λα=(sinλφ1cosλθ1,sinλφ1sinλθ1,cosλφ1)

在这种加法和数乘运算定义下，首先显然对元素是封闭的，其次简单验证就可知对加法两个运算律、数乘的三个运算律也是满足的。 零元素：

取φ=θ=0可得零元素(0,0,1) 负元素：

取β=(-sinφ1cosθ1,-sinφ1sinθ1,cosφ1)，可得α+β=(0,0,1) 单位1：

显然1即为单位元素

综上可知，截面位置对于如上定义的运算可以作为一个线性空间。 线性变换的证明 线性变换的证明只需证明变换满足线性运算，对于此变换：

T(n)=σn

满足

T(α+β)=σ(α+β)=σα+σβ=T(α)+T(β)

T(λα)=σ(λα)=λσα=λT(α)

总结 这一部分是对第二部分的验证说明和严谨性证明，主要是线性空间与线性变换的内容，由此也可体会相关知识的贯通性。 主要知识点：

• •

线性变换对应矩阵的求法。

线性空间的证明方法：对定义的加法和数乘运算封闭且满足运算规则。

至此，对应力张量的思考认识已经全部记叙完成，于是轻吐一口气。

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