2019暑假初一升初二数学教材讲义

暑 期 七 升 八 衔 接 班 讲 义

1

目 录

第一讲 与三角形有关的线段 ………………………………………………

3

第二讲 与三角形有关的角 ………………………………………………

第三讲 1

第四讲 1

第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 3

第九讲 3

第十讲 4

第十一讲 4

第十二讲5

第十三讲 8

全等三角形及其判定（SSS） ……………………………………… 1

全等三角形的判定（SAS, AAS, ASA） …………………………… 7

直角三角形全等的判定（HL）及三角形全等的判定的综合练习…

2

3

角平分线的性质 ………………………………………… 27 单元测试

轴对称 ………………………………………………………… 3

画轴对称图形 …………………………………………………… 9

等腰三角形 ……………………………………………………… 4

等边三角形 ………………………………………………………… 8

本章复习 ………………………………………………………… 2

同底数幂的乘法和幂的乘方 ………………………………………

2

54

第十四讲 积的乘方和整式的乘法…………………………………………… 5

第十五讲 结业考试

8

第一讲 与三角形有关的线段

知识点1、三角形的概念

 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。  三角形的表示方法

三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”

三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示. ABc b a 知识点2、三角形的三边关系

【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？

 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b

拓展：a+b＞c，根据不等式的性质得c-b＜a，即两边之差小于第三边。 即a-b＜c＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）

【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A．3cm

B．4cm

C．7cm

D．11cm

【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12

【辨析】有三条线段a、b、c，a+b＞c，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？

【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和

(1) 3

【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？

【练习】

1.指出下列每组线段能否组成三角形图形 （1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4 （3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=6

2.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm，求它的周长。

3.已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求这个三角形的腰长。

4、三角形三边为3，5，3-4a，则a的范围是 。

5、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为 。 6、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为

7、一个三角形周长为27cm，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长 。 8、等腰三角形两边为5cm和12cm，则周长为 。

9、已知：等腰三角形的底边长为6cm，那么其腰长的范围是________。

10、已知：一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的范围是_________。 11、下列条件中能组成三角形的是（ ）

A、5cm, 7cm, 13cm B、3cm, 5cm, 9cm C、6cm, 9cm, 14cm D、5cm, 6cm, 11cm

12、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（ ）

A、5，6 B、6，4 C、7，2 D、以上三种情况都有可能 13、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（ ） A、4，6 B、4，6，8 C、6，8 D、6，8，10 14、△ABC中，a=6x，b=8x，c=28，则x的取值范围是（ ） A、2＜x＜14 B、x＞2 C、x＜14 D、7＜x＜14 15、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍。 求这个三角形的周长。

16、如图，求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD

ADB

C

知识点3 三角形的三条重要线段

 三角形的高

(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫

4

做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的叙述方法 AD是△ABC的高 AD⊥BC，垂足为D

点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90度

【练习】

画出①、②、③三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.

AA A

BB ① C ② C B ③ CAB边上的高是线段____ AB边上的高是线段____ AB边上的高是线段____ BC边上的高是_________ BC边上的高是_________ BC边上的高是_________ AC边上的高是_________ AC边上的高是_________ AC边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________

[探究] 画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画

【结论】________________________________________  三角形的中线

（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

【探究2】如图，AD为三角形ABC的中线，△ABD和△ACD的面积相比有何关系？

【例2】如图，已知△ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=

4AB，AD=45厘米，△ABD的周长是12厘米，求△ABC各边的长。

 三角形的角平分线

（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

[辨析] 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？ 画出△ABC各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.

AA

C BBC[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？______________________________________ [自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：

5

C1(1)BD=______=________； (2)BC=2_______=2_______；

2A(3)∠BAE=_______=

EDB1_______；(4)∠BAC=2_______=2_______；(5)_______=________=90 2F知识点4 三角形的稳定性

三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。 你还能举出一些例子吗？

【试一试】

1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______

2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积

的2倍，则BE的长为（ ）

3、若点P是△ABC内一点，试说明AB+AC＞PB+PC

【课后作业】

1.AD是△ABC的高，可表示为 ，AE是△ABC的角平分线，可表示为 ，BF是△ABC的中线，可表示为 .

2.如图2，AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ =

1∠ ；E在AC上，且AE=CE,20

则BE是△ABC的 ；CF是△ABC的高，则∠ =∠ =90，

CF AB.

0

3.如图3,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=60,则∠CAE= .

4.如图4,以AD为高的三角形共有 .

A 6

B

A A F

E

C

B C E D B

D

图4 图2

5.三角形的一条高是一条……………………………（ ）

A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线 6.下列说法中，正确的是………………………………（ ）

A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的高总在三角形的内部 C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段 D.三角形的中线在三角形的内部 7.下列图形具有稳定性的是………………………………（ ） A.正方形 B.梯形 C.三角形 D.平行四边形

8.如图8，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD、CE交于点O,OF⊥CE,则下列说法中正确的是………………………………………………………（ ）

A.OE为△ABD中AB边上的高 B.OD为△BCE中BC边上的高 C.AE为△AOC中OC边上的高 D.OF为△AOC中AC边上的高 9.某同学把一块三角形玻璃打碎成如图7-1-7所示的三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是……………………（ ）

A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去

10.已知BD是△ABC的中线，AC长为5cm，△ABD与△BDC的周长差为3cm.AB长为3cm，求BC的长.

0

11.如图11,在△ABC中，∠ACB=90,CD是AB边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm, 求(1) △ABC的面积；(2)CD的长.

A

A A A

图11

12.如图12，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明，AD是△ABC的角平分线. A

E B C D 图12

7

第二讲 与三角形有关的角

知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800。 【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠

0

ACB=180。

想一想，还可以怎样拼？

0

①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。

图2

0

②把B和C剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。

0

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于180的方法吗？

0

证明：已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180。

【例1】如图，C岛在A岛的北偏东30°方向，B岛在A岛的北偏东100°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

8

【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度? 结论: 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成 Rt△ABC。 由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点2、三角形的外角  定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 [自我探究] 画出图中三角形ABC的外角 1、判断图中∠1是不是△ABC的外角：_______________ ADA A1

11 CBCDBBC (3)(1)D(2) DAA

A1E D1CDB1 BBCC(5)(4)E(6)

A2、如图，(1)∠1、∠2都是△ABC的外角吗？________________

(2)△ABC共有多少个外角？___________________

1请在图中标出△ABC的其它外角.

2CB

3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CE∥AB， ∴∠A=_____，_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________

结论1___三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

结论2__三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)

【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。 外角的作用：

1、已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个 2、可证一个角等于另两个角的和 3、证明两个角不相等的关系。

[课后练习]

1.填空：求出下列各图中∠1的度数.

(1)如图，∠1=______；(2)如图，∠1=______；(3)如图，∠1=______；

A AD1A401B

303035CDB4题(2) 第(2)

C9

B404题(3) 第(3)

1第4题(1) (1)

CD

(4)如图，∠1=______；(5)如图，∠1=______；(6)如图，∠1=______.

DA

AD1 85A70120 1DC135B B40CBC第4题(4) (4) (5) 第4题(5) (6) 第4题(6)2、判断正误：

(1)三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）

(2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角，等于它的另一个不相邻的内角. ( ) (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角. ( ) 2. 已知：如图，∠1=30°，∠2=50°，∠3=45°， 1232则(1)∠4=______°；(2)∠5=______°. 43.已知：如图∠1=40°，∠2=∠3，则 4 (1)∠4=______°；(2)∠2=______°. 3514.如图，AB∥CD，∠B=55°，∠C=40°，则 第2题图 ED第3题图 C (1)∠D=______°；(2)∠1=______°.

A5. 如图，∠BAE，∠CBF， 11∠ACD是△ABC的三个外角，

3它们的和是多少？ B2ADBC第4题图 解：因为∠BAE=∠__+∠____，

第5题图 F ∠CBF=∠__+∠___，

∠ACD=__________， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD

=（∠__+∠___）+（________）+（___________） A =2（∠1+_________）=2×180°=360°. 6.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，

第6题

∠BAC=80°，∠C=40°，则∠BAD=________°. CBD7.已知：如图，BD是△ABC的角平分线,

A∠A=100°，∠C=30°，则∠ADB=________°.

第7题 D8.*如图，AD、BE分别是△ABC的高和

角平分线，∠BAC=100°，∠C=30°，则∠1=________°. CB9、如图所示，D,E分别AC，AB边上的点，DB,EC相 A交于点F，则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________ 第8题

E110.△ABC中，∠B=∠A+100，∠C=∠B+200， 求△ABC各内角的度数

第9题

11、如图所示，已知∠1=∠2，∠BAC=70度，求∠DEF的度数。

BDC 10

第三讲 全等三角形

[观察与探案]

1、观察下列图形，都有什么共同特征？你还能举出其他例子吗？

 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2、右图中的二个图形是全等形吗？

[思考]二个图形满足什么条件时就能完全重合呢？ 结论： 3、判断下列说法是否正确：

①五角星都是全等形；（ ） ⑤周长相等的长方形是全等形；（ ） ②面积相等的三角形是全等形； （ ）⑥周长相等的正方形是全等形；（ ）

③全等的两个图形面积相等（ ） ⑦全等的两个三角形的大小和形状完全相同；（ ） 4、拿出纸片，对折以后用剪刀剪出两个三角形，观察发现：这两个三角形_____、_____相同,能够 ,因此，我们把 的两个三角形叫做全等三角形。  定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

“全等”用“≌”表示，读作“全等于” ，如图中的两个三角形全等，记作：△ABC≌△DEF] 5、按要求填空

△ ABC中，AB边的对角是________，AC边的对角是_______，∠B的对边

是________；______是∠A的对边；AB与BC的夹角是_________，AC与BC的夹角是___________，∠B是_____和_____的夹角。

[问题]：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该

怎样做它们才能重合呢？

（1ABC[发现]：两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把 重合到一起（或

11

重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。

 表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形

的对应关系。

[思考]两个三角形全等，它们的对应边有什么关系？对应角呢？

[发现]全等三角形的性质：全等三角形的对应边________，对应角_____________  用几何语言表示全等三角形的性质 如图： ∵∆ABC≌ ∆DEF

∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（全等三角形对应边相等） ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F（全等三角形对应角相等）

[思考]图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完全重合?

一个图形经过平移、翻折、旋转后，_________变化了，但_______和_______没变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

[思考]通过刚才的操作，你能说说每对三角形的对应顶点，对应角，对应边吗？

[试一试]下列图形中，至少有两个三角形是全等的，请写出你找到的对应边、对应角。

AEOBD

 根据位置元素来推理

a.有公共边的，公共边是对应边； b.有公共角的，公共角是对应角； c.有对顶角的，对顶角是对应角；

d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角； [练一练]

图形 记作 对应边 C对应角 12

【例1】如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于以下结论，1AC=AF

○

2∠FAB=∠EAB○3EF=BC○4∠EAB=∠FAC,其中正确的个数是（ ） ○

A、 1 B、2 C、3 D、4 D

E【例2】如图, △ABD ≌ △EBC

1、请找出对应边和对应角。

2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.

AB

BC=AB+CD,○4AB∥DC中成立的是（ ）

A ○1 B ○1○3 C ○1○3○4 D ○1○2○3○4

【课后习题】

C【例3】如图RT△ABE≌RT△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：○1AE=ED○2AE⊥DE○3

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三角形全等的判定（一）边边边

 [思考与探究]

1、问题：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，•你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃？

14

(1) (2)

2、是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？ A．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？

B．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm． ②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

[发现] 给出一个或二个条件时，两个三角形不能保证全等

[思考] 如果给出三个条件时，两个三角形会全等吗？这些条件可以怎样分类？ 条件分类：三条边相等， ，_______________,__________________

 [操作] 1、已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画

的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ [尺规作图]

先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗） 画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC： 1．画线段取B′C′=BC；

2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′； 3．连接线段A′B′、A′C′．

上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？

（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）． （2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．

【例1】如图所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD

C

【例2】如图,已知AC=AD,BC=BD, 求证AB是∠DAC的平分线.

【课后作业】

BAD 15

第四讲 全等三角形的判定（SAS,AAS,ASA）

16

知识点1、边角边定理

[探究] 通过前面的操作，我们知道当满足三个角相等时，两个三角形不一定全等，当满足三条边相等时，两个三角形全等，如果满足二条边和一角对应相等时，两个三角形全等吗？ [操作1]

1、画∠AOB=30度。

2、在射线OA上取OD=6厘米

3、以点A为圆心，以4厘米为半径作弧交射线OB于E，连结DE 和同伴画的三角形比较，两个三角形全等吗？ [思考]在以上的操作中，满足了哪些条件呢？ [操作2]

1、画∠AOB=30度。

2、在射线OA上取OD=6厘米

3、在身线OB上取OE=4厘米，连结DE

和同伴画的三角形比较，两个三角形现在全等吗？

[思考]在以上的操作中，又满足了哪些条件呢？通过以上操作，你认为二个三角形满足什么条件时，就全等呢？ 知识点2、“边角边”定理  两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）．

【例1】如图所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，•使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？

【例2】(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的

三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．

【例3】已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

17

【例4】如图 , 已知：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：∠BED=∠CED

【课后作业】

18

全等三角形的判定（二）

知识点3、“角边角定理（ASA）”

[回顾] 三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？___________________

19

到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？_____________ 三角形中已知两角一边有几种可能？______________________

[问题] 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？

[做一做] 三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，•你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？  两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

[思考] 在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

【例1】如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ 证明：

 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 【例2】如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．

【例3】如图，AD,12，AC，BD相交于O，求证：①AB=CD ②OA=OD B 1 2 C A O D 20

【例4】如图：D是△ABC的边AB上一点，DE交AC于点E，交CF于点F， DE=FE,FC∥AB,求证：AE=CE D B

CAFE【例5】已知，如图，AD,12,AFCD，求证：AB=DE

【课后作业】

21

第五讲 直角三角形全等的判定（HL）及三角形全等的判定的综

合练习

22

[问题] 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（播放课件） （1）你能帮他想个办法吗？

（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，此时能判定两个三角形全等吗？ [操作]

画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB; 1． 画∠MC′N=90°。

2． 在射线C′M上取B′C′=BC。

3． 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。连接A′B′。

上图给出了画Rt△A′B′C′的方法，你是这样画的吗？它反映了什么规律？

 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

【例1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．

【例2】如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF,求

证:BF=DE

【例3】如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BD=DG

23

【例4】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？

【例5】已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE

【课后作业】

24

25

第六讲 角平分线的性质

[问题] 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两

26

边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？

[操作]

作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线． 作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N． （2）分别以M、N为圆心，大于

1MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C． 2（3）作射线OC，射线OC即为所求． [探索] 按以下步骤折纸

将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

[证明]

已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E 求证：PD=PE 证明：

[几何语言描述]

P在AOB的平分线上

PDOA于D，PEOB于E PDPE

 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【例1】已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：∠B=∠C．

【例2】在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3. 求BD的长。

27

【例3】如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB．

F

【例4】如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

【课后作业】

28

角平分线的判定

[思考]角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的条件是_________；结论是__________

29

如果将条件和结论互换，则可以得到命题________________________________________，那么，这个命题是真命题吗？可以证明吗？

 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

【例1】证明如下：

已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．

【例2】如图，已知BD = CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上．

【例3】如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

【例4】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。

30

【课后作业】

1、如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ ∴PD=PE

2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。

A E B

（1题） (2题)

C D 3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？

⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。

4、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.

31

第八讲 轴对称

知识点1、轴对称的概念

【观察探案】观察下面的图片，它们都有些什么共同特征?你还可以举出一些例子吗？

32

 概念：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，

这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

【试一试】

下列各图，你能找出它们的对称轴吗？

像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

[辨析] 轴对称与轴对称图形是同一概念吗？成轴对称的两个图形具有怎么的关系？ ________________________________________________________________________

【探究】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？ 图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直． AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？

够与另一个这条直线叫

【练习】

1.如图，△ABC与△DEF关于直线a对称， 若AB=2cm，∠C=55°，则DE= ，∠F= 。

2. 一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？

33

知识点2、垂直平分线

概念：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

知识点3、（重、难点）垂直平分线的性质

[探究1]

如下图．木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．

探究结果：

 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

即AP1=BP1，AP2=BP2，…

【例1】已知：如图，直线l⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 证明：

【练习】

1.如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线

交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于______．

2.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？

34

【思考】你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．

 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 [尺规作图] 用尺规作线段的垂直平分线

已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法:

1.分别以点A和B为圆心,以大于

1AB长为半径作弧,两弧交于点C和D. 22.作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线.

[思考] 刚才的作图中，体现了哪些相等的条件，你能说明为什么这样做出来的就是垂直平分线吗？

【例2】如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？

【练习】

3、如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和同桌交流你的作图过程．

【课后作业】

1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0.

35

AMN

2、如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。

3、如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC的长。

4、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，DE垂直平分AB，连接AE,若CE﹕AE=2﹕6，求CE的长。

BC

36

37

第九讲 画轴对称图形

38

【探究】动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？ 【归纳】

（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；

（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点； （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【例1】（1）已知点A和直线l，你能作出点A关于直线l对称的图形吗？

（2）已知线段AB和直线l，你能作出线段AB关于直线l对称的图形吗？

（3）如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？

BCBACAOlA'C'B'l

归纳：

1、几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；

2、对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 【练习】

1、在图中分别画出点A关于两条直线的对称点 A'和A''.

2.画出所示图形关于直线L的对称图形.

3.如图是由三个小正方形组成的图形，请你再图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形. (二)

【思考】：

如右图是一副老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关

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于中轴线对称的。如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，其中东直门的坐标为（3.5,4），你能说出西直门的坐标吗？

【探究】

在下图的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎么样的规律，再和同学讨论一下。 已知点 关于x轴的对称点 关于y轴的对称点

【思考】检查一下你发现的规律。

1.观察下图中关于x 轴对称的每对对称点的坐标有怎 样的变化规律？

2. 观察关于y 轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变 化规律？

【归纳】在平面直角坐标系中，

关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数. 关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（___，____）； 点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（___，____）． 【例1】如右图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为

A(2, -3) Aˊ( , ) A〞( , ) B(-1, 2) Bˊ( , ) B〞( , ) C(-6, -5) Cˊ( , ) C〞( , ) D(1/2, 1) Dˊ( , ) D〞( , ) E(4, 0) Eˊ( , ) E〞( , ) 40

A（-5，1），B（-2，1）， C（-2，5），D（-5，4），

（1）请画出与四边形ABCD 关于y 轴对称的图形． （2）类似的，请在图上画出四边形ABCD 关于x 轴对称的图形．

【练习】

1.点A(-3,2)与点B(-3,-2)的关系是（ ） Ａ关于Ｘ轴对称 Ｂ关于Ｙ轴对称 Ｃ关于原点对称 Ｄ以上各项都不对

2.已知点Ｍ(3,-2),点N (a ,b )是Ｍ点关于Ｙ轴的对称点，则 a = ，b = . 3.已知点Ｐ(a-1,5)和点Ｑ(2,b-1)关于Ｘ轴对称，则 a = ，b = .

【课后练习】

41

42

第十讲 等腰三角形

43

[问题]

①三角形是轴对称图形吗？

②什么样的三角形是轴对称图形？

[操作] 请利用轴对称的知识作一个等腰三角形

 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹

的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角 [思考]：

1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ 等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（ “三线合一”）． [探究]你能通过几何证明等腰三角形的性质吗？ 1、如图，△ABC中，AB=AC，求证∠B=∠C

2、如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证BD=CD,AD⊥BC 以上结论用符号语言描述为

（1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠＿=∠＿，＿=＿；

（2）∵AB=AC，AD是中线， ∴∠＿=∠＿，＿⊥＿； （3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴＿⊥＿，＿=＿ 【例1】

(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_____ __； (2)等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________； (3)等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为______ __。 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求：△ABC各角的度数．

【例3】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数

ABDCADBC 44

【课后作业】

1、如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°, 则∠B = ；

2、如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =3 ∠B, 则∠A = ； 3、等腰三角形一个角为40°,它的另外两个角为___________________

第四题

4、如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBD的度数为 。 5、如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。

6、已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。 求证：BD=CE。

A

B D E C

45

[思考]：若△ABC中AB=CD，那么哪些角相等？如果∠B=∠C，那么那些线段相等？

推论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 【例4】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是

等腰三角形。

已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC

求证：AB=AC.

证明：∵AD∥BC （ ）

∴∠1=______（ ） ∠2=______（ ） ∵∠1=∠2（已知） ∴______

∴AB=AC （ ）

【例5】标杆AB高5cm,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D 、 E两点拉

两条绳子,使得点D 、B、 E在一条直线上.量得DE＝4cm,绳子CD和CE要多长?

46

【课后作业】

1、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点第1题 E作MN∥BC交AB于M， 交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9 2、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（ ） A．AD=AE B. DB=EC C. ∠ADE=∠C D. 2DE=BC

3、如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，则 重合部分的图形形状是（ ）。

A、直角三角形 B、等腰直角三角形 C、等腰三角形 D、不能确定 第2题 A第3题

4、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，

过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的 FDE周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① C第4题 B

5、如图：在△ABC中，∠ABC=∠ACB，OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，问：图中有几个等腰三角

形？ 为什么？

6、如图,AD∥BC,BD平分∠ABC, 求证:AB＝AD。

第十一讲 等边三角形

在等腰三角形中，有一类特殊的三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三

47

角形．

【思考】把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？

有等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：

1、性质：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都是60°． 2、判定（1）：三个角都相等的三角形是等边三角形．

（2）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

【例1】如图，在等边△ABC的边AB、AC上分别截取AD∥AE，那么△ADE是等边三角形吗？为什么？

ADBEC

【例2】 等边三角形ABC的周长等于21㎝，求：（1）各边的长；（2）各角的度数。

【例3】如图B是AP上一点，△APC、 △BDP都是等边三角形，联结BC和DP.图中隐藏着一对全等三角形，你能找出他们吗？试着说明道理

【例4】如图，等边三角形ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ上的高， ∠ ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ＝６０ °，图中有哪些与BD相等的线段？

ABD

C

【练习】

1.三边都相等的三角形叫做____三角形. 2.等边三角形的每个内角都等于____度. 3.等边三角形有____条对称轴.

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4.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm ， 则△ABC的周长________ 5.△ABC是等腰三角形，周长为15cm且∠A=60°，则BC=_______

6.如图，兴趣小组在一次测量活动中测得∠APB＝60°，AP=BP=200 m，他们便得出了结论：池塘最长处不小于200 m．他们的结论对吗？

【课后练习】

１、下列四个说法中，不正确的有（ ） （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

① 三个角都相等的三角形是等边三角形。 ② 有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 ③ 有一个是60°的等腰三角形是等边三角形。 ④ 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。 ２、等边三角形的对称轴有（ ）

（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条

３、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ ） （A）3条（B）6条（C）9条（D）7条

4、△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD, 求证:BD=DE

5．已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小．

6、如图，已知△ABC是等边三角形，P是BC上一点，问在CA和AB上是否存在点Q和R，使△PQR为等边三角形？若存在，求出点Q和R，并加以证明；若不存在。请说明理由.

49

【探究】如右图，将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？你能证明你的结论吗？

结论：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 【练习】

1、 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，则BC 的长为 ．

ABCD

第1题 第2题

2、 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .

【例2】如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？

B D AE C

【练习】

3. Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？

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第十二讲 本章复习

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52

第十三讲 整式的乘法 一

53

同底数幂的乘法和幂的乘方

【问题】一种电子计算机每秒可进行10次运算，它工作10秒可进行多少次运算？ 次数=运算速度×工作时间

所以计算机工作10秒可进行的运算次数为：10×10计算下列各式：

（1）2×2

（2）a·a

（3）5·5（m、n都是正整数）

a·a等于什么（m、n都是正整数）？为什么？ 结论：am·an=am+n （m和n都是正整数）。

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

【思考】当三个或三个以上同底数幂相乘时，同底数幂的乘法公式是否也适用呢？怎样用公式表示？ 计算a·a·a后，能找到什么规律？ 【例1】

（1） a·a4 = （2） (- 5) × (- 5)7 =

m

n

p

m

n

m

n

3

2

5

23

12

3

12

3

（3）

（5）(a-b)3 · (a-b)2=

（4）2×2×2 =

345

aba+b

【例2】已知3=9,3=27,求3的值．

【例3】中国奥委会为了把2008年北京奥运会办成一个环保的奥运会，做了一个统计：一平方千米的

85

土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧10千克煤所产生的能量。那么10平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？

【练习】

x

1、 25× 125 = 5，则 x = ；

6( ) ( ),

2、 m=m·m你能给出几种不同的填法吗？

mnm+n

3、已知２=5,2=16,求2的值．

4.计算:

345n2n-1

① -a·(-a)·(-a) ②x·(-x)·x

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5.下列各式的计算结果等于４５

的是＿＿＿

A -42·43 B 42·(-4)3 C (-4)2·(-4)3 D (-4)2·43

【课后作业】 1.填空：

（1）x5 ·（ ）=x 8 （2）a ·（ ）=a6

（3）x · x3（ ）=x7 （4）xm ·（ ）＝ｘ3m

2.填空：

（1） 8 = 2x

，则 x = ；

（2） 8× 4 = 2x

，则 x = ；

（3） 3×27×9 = 3x

，则 x = . 3.下面计算错误的是( )

A.a4

+2a4

=3a4

B.x2·x·(－x)3=－x6 C.a2+a2=a4 D.(－x)·(－x)3=x4

4.在①a2n·an=a3n;②22

·33

=65

;③32

·32

=81;④a2

·a3

=5a;⑤(－a)2

(－a)3

=a5

中，计算正确的式子有( )

A.4个

B.3个 C.2个 D.1个

5.计算xn(－x)n的正确结果是( )

A.－x2n B.(－1)n·x2n C.x2n D.－2x2n

6.如果xm-n·x2n+1=xn，且ym-1·y4-n=y7. 求m和ｎ的值

7.已知：a2 · a6= 28.求a的值

8.卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)是7.9×103

米/秒，求卫星绕地球运行2×102

秒走过的路程.

二、幂的乘方

【思考】如果一个正方体的棱长是 32 cm,那么它的体积是 cm3.（用代数式表示）

即(32)3=32×32×32

你现在知道该怎么计算(32)3了吗?请同学们动手做一做(结果用幂的形式表示) 做一做：根据乘方的意义及同底数幂的乘法计算：

(1)(62)3 ； (2)(a2)3 ；

55

(3)(am)3 ； (4)(am)n.

结论：(am)n = amn （m和n都是正整数）

即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

【例1】

计算:

(1) (103)5; (2) (a4)4;

(3) (am)2; (4) -(

【例2】

(5)(x2)3； (6)(

(7)－(x9)8； (8)(

【练习】

1. 下列各式对吗？请说出你的观点和理由：

(1) (a4)3=a7 ( ) (2) a4 a3=a12 ( ) (3) (a2)3+(a3)2=(a6)2 ( ) (4) (－x3)2=(－x2)3 ( )2．下列各式中，与x5m+1相等的是（ ）

A（x5)m+1 B（xm+1)5 C 3．x14不可以写成（ ）

A x5 · (x3)3 C (x7)7 D 4.化简 (1)

5.已知,44•83=2x,求x的值.

56

x4)3. a3)2－(a2)3; a2)3·a5.

x · (x5)m D x · x5 · xm B (－x) · (－x2) · (－x3) · (－x8) x3 · x4 · x5 · x2 (2)

【课后作业】

1．3x3y22的值是（ ）

4A．6xy5 B．9x4y9 C．9x4y6 D．6x4y6

2．下列计算错误的个数是（ ）

①

3xm326x;②5a65b5225a10b10383223;③xx;④3xy33481x6y7

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．若2abmn38a9b215成立，则（ ）

A．m=3,n=2 B．m=n=3 C．m=6,n=2 D．m=3,n=5 4．计算x3yxy3的结果是（ ）

A．x5y10 B．x5y8 C．x5y8 D．x6y12 5．3a2bc2ab2=_______________。

6．x·（x）=x，则n=_______．

2332

7．计算（10）=_______，（10）=________．

52252 5

8．计算（－x）=_______，（－x）=________，[（－x）]=______．

mnm+2n2n+16n+3

9．（1）已知a=3，a=2，求a的值;（2）已知a=5，求a的值．

x2y

10.已知x+4y=5,求4×16的值。

mn2mn

11.已知a=2，a=3，求a+3的值

3

n

5

13

223第十四讲 整式的乘法 二

积的乘方和整式的乘法

【思考】填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？ （1）（ab）=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a （2）（ab）=______=_______=a

（3）（ab）=______=______=a

n3

( )( )

2

( )( )

b

b

( )( )

b（n是正整数）

结论： （ab）n=an·bn（n为正整数）

即 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 反过来积的乘方法也可以进行逆运算．即：

nnn

a·b=（ab）（n为正整数） 【例1】 计算

(2b)5 57

（1）(3x)

2

（2）

（3）(-2xy) （4）)(3a)

【归纳总结】：

1．积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）=a·b（n为正整数）． 2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（abc）=a·b·c（n为正整数）．

3．积的乘方法则也可以逆用．即a·b=（ab），a·b·c=（abc），（n为正整数）．

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

4 2n【例2】地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别代表球的体积和半径，那么的半径约为6×10千米，它的体积大约是多少立方千米? 【练习】 1、计算：

(1) (- 3n)3 ; （2）(5xy)3 ;

(3) –a3 +(–4a)2 a 。 2. 计算

3

。地球

(1)(3x4y2)2 (2)(mn)3

4(3)(a3)m(am1)2

3.填空

(1)如果(9n)238,则n (2)a6b327,则a2b

58

【课后作业】

1．下列计算错误的个数是（ ）

①

3xm326x;②5a65b5225a10b10383223;③xx;④3xy33481x6y7

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若2abmn38a9b215成立，则（ ）

A．m=3,n=2 B．m=n=3 C．m=6,n=2 D．m=3,n=5 3．计算x3yxy3的结果是（ ）

A．x5y10 B．x5y8 C．x5y8 D．x6y12 4．若N=aa2b3772，那么N等于（ ）

48121212127A．ab B．ab C．ab D．ab 5．已知ax5,ay3,则axy的值为（ ）

A．15 B． C．a2 D．以上都不对 6．3a2bc2ab2=_______________。 7.4105323531103__________ 2n+12

23

28.化简(a·a)·(-2a)所得的结果为____。 mn22m+n

9.已知2=3，2=2，则2的值是多少

2m

整式的乘法

【思考】光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

（1）怎样计算（3×105）×（5×102）?计算过程中用到哪些运算律及运算性质？

（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5•bc2怎样计算这个式子？ 说明：（3×105） ×（5×102），它们相乘是单项式与单项式相乘．

ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：ac5•bc2＝（a•b）•（c5•c2）=abc5+2=abc7．

结论：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

59

【例2】 计算：

（1）（－5a2b）（－3a）； （2）（2x）3（－5xy2）．

【练习】 1计算：

（1）3x25x3； （2）4y（－2xy2）；

（3）（3x2y）3•（－4x）； （4）（－2a）3（－3a）2．

2下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？

（1）3a3•2a2 = 6a6； （2）2x2 • 3x2 = 6x4 ；

（3）3x2 • 4x2 = 12x2； （4）5y3 • y5 = 15y15．

【课后作业】

1．式子x4m+1可以写成（ ） A．（xm+1）4 B．x·x4m C．（x3m+1）m D．x4m+x 2．下列计算的结果正确的是（ ） A．（-x2）·（-x）2=x4 B．x2y3·x4y3z=x8y9z

C．（-4×103）·（8×105）=-3.2×109 D．（-a-b）4·（a+b）3=-（a+b）73．计算（-5ax）·（3x2y）2的结果是（ ）

A．-45ax5y2 B．-15ax5y2 C．-45x5y2 D．45ax5y24．已知am=2，an=3，则a3m+n=_________；a2m+3n=_________．

5．一种电子计算机每秒可以做6×108次运算，它工作8×102秒可做_______次运算． 6．计算： ①（2xy2）·（

12

xy）； ②（-5a3bc）·（3ac2）. 3

7．先化简，再求值：

-10（-a3b2c）2·

1a·（bc）3-（2abc）3·（-a2b2c）2 ，其中a=-5，b=0.2，c=2。 5 60

8. 若2a=3，2b=5，2c=30，试用含a、b的式子表示c．

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