兴安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

兴安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 圆心在直线2x＋y＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x轴交于M，N两点，则|MN|＝（ ） A．42 C．22

2B．45 D．25

2． 已知抛物线y4x的焦点为F，A(1,0)，点P是抛物线上的动点，则当面积为（ ） A.

|PF|的值最小时，PAF的 |PA|2 2B.2 C. 22 D. 4

【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.

3． 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个

4． 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）

A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜

5． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A．4 B．2 C． D．2 6． 设函数F（x）=

是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x

∈R恒成立，则（ ） A．f（2）＞e2f（0），f C．f（2）＞e2f（0），f A．充分不必要条件

B．f（2）＜e2f（0），f D．f（2）＜e2f（0），f

7． “1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）

B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8． 如图所示，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长

为（ ）

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A．22 B． C. D．42+2 9． 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

10．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（ ） A．

＞

B．＞

C．|a|＞|b|

D．a2＞b2

11．已知函数f（x）=xex﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

12．A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为 ． （2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2，2

k

k+1

14．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；

）”；其中所有正确

结论的序号是 ．

15．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB 则ED的长=____________ 17．已知实数x，y满足约束条

，则z=

的最小值为 ．

3，

BC3， E在AC上，若BEAC，

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18．设函数

，其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=ax有三个不同

的实数根，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题

19．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．

（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；

（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

20．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；

（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．

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21．已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明； （2）已知函数g（x）=log

22．（本题满分15分）

如图，已知长方形ABCD中，将ADM沿AM折起，使得平面ADMM为DC的中点，AB2，AD1，平面ABCM．

（1）求证：ADBM；

（2）若DEDB(01)，当二面角EAMD大小为

，当x∈[，

]时，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围．

时，求的值． 3

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

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23．已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）当

24．已知函数f（x）=sinx﹣2（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，

sin2

时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．

．

]上的最小值．

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兴安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】

【解析】选D.设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）． 2a＋b＝0

由题意得（－1－a）＋（－1－b）＝r，

（2－a）＋（2－b）＝r

2

2

2

2

2

2

解之得a＝－1，b＝2，r＝3，

∴圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝9， 令y＝0得，x＝－1±5，

∴|MN|＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D. 2． 【答案】B

|PF|y2【解析】设P(,y)，则

|PA|4y214y2(1)2y24y21t，则y24t4，t….又设1，所以4|PF|t12，当且仅当t2，即y2时，等号成立，此时点P(1,2)，„2|PA|22t4t4(1)22t11PAF的面积为|AF||y|222，故选B.

223． 【答案】B

【解析】解：a※b=12，a、b∈N，

*

若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；

若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，

所以满足条件的个数为4+11=15个．

故选B

4． 【答案】D

【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，

可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收， 名师出高徒也具有相关关系，

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吸烟有害健康也具有相关关系， 故选D．

，

【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．

5． 【答案】A ∴AB是正方体的体对角线，AB=设正方体的棱长为x， 则故选：A．

，解得x=4．

∴正方体的棱长为4，

【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），

【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．

6． 【答案】B 【解析】解：∵F（x）=∴函数的导数F′（x）=∵f′（x）＜f（x）， ∴F′（x）＜0，

即函数F（x）是减函数，

2

则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜ef（0），f，

，

=

，

故选：B

7． 【答案】A

【解析】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}， ∵A⊊B，

故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件． 故选A．

【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．

8． 【答案】C

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【解析】

考

点：平面图形的直观图.

9． 【答案】A

【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m，n），有36种可能，而使⊥的m，n满足m=2n，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能； 由古典概型公式可得⊥的概率是：故选：A．

【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．

10．【答案】A 【解析】解：∵a＜b＜0， ∴﹣a＞﹣b＞0，

22∴|a|＞|b|，a＞b，

；

即

，

可知：B，C，D都正确， 因此A不正确． 故选：A．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．

11．【答案】C

【解析】解：设g（x）=xex，y=mx﹣m， 由题设原不等式有唯一整数解， 即g（x）=xex在直线y=mx﹣m下方， g′（x）=（x+1）ex，

g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0）， 结合函数图象得KPA≤m＜KPB， 即

≤m＜

，

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，

故选：C．

【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．

12．【答案】B

【解析】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R， 则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，

其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR， 则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=故选B．

=．

【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．

二、填空题

13．【答案】 2 ．

【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位）， ∴z=

，∴|z|=

=

=2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的 模，属于基础题．

14．【答案】 ①②④ ．

【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．

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∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0． ∵f（2x）=2f（x），

kk

∴f（2x）=2f（x）．

①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确； ②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0． 若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0． …

mm+1

一般地当x∈（2，2），

则∈（1，2]，f（x）=2

m+1

﹣x≥0，

从而f（x）∈[0，+∞），故正确；

③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，

nn+1nnn

∴f（2+1）=2﹣2﹣1=2﹣1，假设存在n使f（2+1）=9， nn

即2﹣1=9，∴2=10，

∵n∈Z，

n

∴2=10不成立，故错误；

④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数， ∴若（a，b）⊆（2，2

k

k+1

）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．

故答案为：①②④．

15．【答案】 [，1] ．

【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M， ∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得 2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]， 故答案为[，1]．

16．【答案】

【解析】在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.

3

因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2

2

3332121－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.

42242

21 2

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17．【答案】 ．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=

=32x+y，

设t=2x+y， 则y=﹣2x+t， 平移直线y=﹣2x+t，

由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小， 此时t最小． 由

，解得

，即B（﹣3，3），

代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3． ∴t最小为﹣3，z有最小值为z=故答案为：

．

=3﹣3=

．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

18．【答案】 （﹣1，﹣]∪[，） ．

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【解析】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2． 当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．

当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x． 当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．

当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2． 当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3． 设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），

坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图： 2个不同的交点， 则OA的斜率k=

当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（﹣1，1），C（3，1）时，有

，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，

或

，

故满足条件的斜率k的取值范围是故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）

【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的1%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励， ∴0＜x≤8时，y=0.15x；x＞8时，y=1.2+log5（2x﹣15） ∴奖金y关于销售利润x的关系式y=

（2）由题意知1.2+log5（2x﹣15）=3.2，解得x=20． 所以，小江的销售利润是20万元．

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【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3， 则

，

解得由于

，，，…

，故n=55．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为： p=

，

），…

由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，∴P（X=k）=∴EX=

=

，DX=

=

，k=0，1，2，3， ．…

【点评】本题考查相互事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．

21．【答案】

【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数． 理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分） 又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x）， 则f（x）是奇函数. （2）g（x）=log

=2log3

，（5分）

又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分） 由f（x）≥g（x）得log3即

≥

≥log3

，

，（8分）

即k2≥1﹣x2，（9分）

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x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）

2

则k≥，（11分）

又k＞0，则k≥，

].

即k的取值范围是（﹣∞，

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．

22．【答案】（1）详见解析；（2）233. 【解析】（1）由于AB2，AMBM∴BM平面ADM，…………3分

又∵AD平面ADM，∴有ADBM；……………6分

2，则BMAM，

又∵平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM＝AM，BM平面ABCM，

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23．【答案】

【解析】解：（1）f（x）==sin2x+=

=sin（2x﹣周期T=π，

因为cosx≠0，所以{x|x≠当2x﹣

∈，即

+kπ，k∈Z}…5分

+kπ，x≠

+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，

sinxcosx﹣ +

sin2x﹣ ）…3分

﹣

+kπ≤x≤

所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分 （2）当sin（2x﹣故当x=

，2x﹣

∈，…9分

时取最大值，

）∈（﹣，1），当x=

时函数f（x）取最大值为1…12分

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．

24．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2=sinx﹣2=sinx+

×cosx﹣）﹣

sin2

=2sin（x+

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∴f（x）的最小正周期T=（2）∵x∈[0，∴x+

∈[

]，

=2π；

）﹣．

∈[﹣

，2﹣

，π]，

∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+

]上的最小值为：﹣

]，

∴可解得f（x）在区间[0，

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

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