圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(K12教育文档)

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

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圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

圆锥曲线 1。圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于｜F1F2|,定义中的“绝对值\"与2a＜|F1F2｜不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2｜，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x2y2y2x2(1)椭圆：焦点在x轴上时221（ab0），焦点在y轴上时22＝1(ab0）。

abab方程Ax2By2C表示椭圆的充要条件是什么？(ABC≠0，且A,B，C同号，A≠B)。

x2y2y2x2(2）双曲线：焦点在x轴上:22 =1，焦点在y轴上：22＝1（a0,b0）。方程

ababAx2By2C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A,B异号）。

（3）抛物线：开口向右时y22px(p0)，开口向左时y22px(p0)，开口向上时x22py(p0)，开口向下时x22py(p0)。

3。圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x2，y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a最大，a2b2c2，在双曲线中，c最大，c2a2b2.

4。圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）椭圆（以221（ab0）为例）：①范围：axa,byb;②焦点：两

ab个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0），四个顶点(a,0),(0,b),

a2c其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线:两条准线x； ⑤离心率：e,椭圆

ca0e1,e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

x2y2(2）双曲线（以221（a0,b0）为例）:①范围：xa或xa,yR;②焦点：

ab两个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0),两个顶点(a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方

2ac程可设为x2y2k,k0；④准线：两条准线x； ⑤离心率：e，双曲线e1，

cab等轴双曲线e2，e越小，开口越小，e越大,开口越大；⑥两条渐近线：yx.

ap（3）抛物线(以y22px(p0)为例）：①范围：x0,yR；②焦点:一个焦点(,0)，其中p的

2几何意义是:焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y0，没有对称中心,只有一个顶点

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（0,0)；④准线：一条准线xcp； ⑤离心率：e，抛物线e1。

a222x0y0x2y25、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的关系：(1）点P(x0,y0)在椭圆外221;（2）

abab2222x0y0x0y0点P(x0,y0)在椭圆上22＝1；(3）点P(x0,y0)在椭圆内221

abab

6．直线与圆锥曲线的位置关系:

（1)相交:0直线与椭圆相交； 0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2)相切：0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；

（3）相离：0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。

提醒：（1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的

x2y2轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;（2）过双曲线22＝1外一点P(x0,y0)的直

ab线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线；(3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：

b22Sbtanc|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc;对于双曲线S. 如

2tan2（1）短轴长为5，

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；(2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点,则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，

则BC平行于x轴，反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1k2x1x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝11y1y2，若弦AB所在直线k2方程设为xkyb，则AB＝1k2y1y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解.

抛物线：

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b2x0x2y2在双曲线221中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线

abay0py22px(p0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。

y0提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！

11．了解下列结论

（1）双曲线x2y21的渐近线方程为x2y20；

ab2222ab2222（2）以ybx为渐近线(即与双曲线x2y21共渐近线）的双曲线方程为x2y2(为

aabab参数，≠0）。

(3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2ny21;

2b2（4）椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准

ab2线的距离)为,抛物线的通径为2p,焦准距为p；

c（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线y22px(p0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|x1x2p；

p2,y1y2p2 ②x1x24（7)若OA、OB是过抛物线y22px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)

12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

（1） 给出直线的方向向量u1,k或um,n；

（2）给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;

（3）给出PMPN0,等于已知P是MN的中点；

（4）给出APAQBPBQ，等于已知P,Q与AB的中点三点共线；

（5） 给出以下情形之一:①AB//AC；②存在实数,使ABAC;③若存在实数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

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（6） 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出MAMBm0，等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角，

MAMB（8）给出MP，等于已知MP是AMB的平分线/

MAMB（9）在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是矩形; （11）在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

(12) 在ABC中,给出OAOBOC0,等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在ABC中,给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）;

ABAC（14）在ABC中,给出OPOA( )(R)等于已知AP通过ABC的内心；

|AB||AC|（15)在ABC中，给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）;

1 (16） 在ABC中，给出ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线；

22

（3）已知A,B为抛物线x=2py(p>0）上异于原点的两点，OAOB0,点C坐标为（0，2p） (1）求证：A，B，C三点共线；

（2)若AM＝BM（R）且OMAB0试求点M的轨迹方程。

x12x22（1）证明：设A(x1,),B(x2,)，由OAOB0得

2p2px12x22x12x12x222) x1x20,x1x24p，又AC(x1,2p),AB(x2x1,2p2p2p2px22x12x12x1(2p)(x2x1)0,AC//AB,即A，B,C三点共线。

2p2p222AB过定点C，又由OMAB0及AM＝BM（R)知OMAB，垂

222

足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x+(y—p)=p（x0,y0)。

（2）由（1）知直线

13。圆锥曲线中线段的最值问题：

2

例1、（1）抛物线C：y=4x上一点P到点A(3，42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐

标为______________

(2）抛物线C： y=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为 。

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PHPF,因而AQHPFB2

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当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图,作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小. 解：

1（1)（2,2）（2）（,1）

4x21、已知椭圆C1的方程为y21,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、

4右顶点分别是C1的左、右焦点. （1） 求双曲线C2的方程；

(2) 若直线l：ykx2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足OAOB6（其中O为原点），求k的取值范围。

解：(Ⅰ)设双曲线

22xyC2的方程为221，则a2413,再由a2b2c2得b21. abx2x22故C2的方程为y1.（II）将ykx2代入y21得(14k2)x282kx40.

34由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

11(82)2k216(14k2)16(4k21)0,即 k2. ①

4x2将ykx2代入y21得(13k2)x262kx90.由直线l与双曲线C2恒有两个不同

32113k0,22即k且k1. 的交点A，B得22232(62k)36(13k)36(1k)0.62k9,xxAB13k213k2 由OAOB6得xAxByAyB6,而设A(xA,yA),B(xB,yB),则xAxBxAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxB2k(xAxB)2962k2k2

13k213k2 (k21)3k272.3k13k2715k21313122于是26,即0.解此不等式得k或k. ③

3k13k21153圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

由①、②、③得

1113k2或k21. 4315故k的取值范围为(1,13311313)(,)(,)(,1) 15322315在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,—1），B点在直线y = —3上，M点满足MB//OA, MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程;(Ⅱ）P为C上的动点,l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 (Ⅰ)设M（x,y),由已知得B(x，-3),A（0，-1).所以MA=（-x,—1—y）， MB=(0，-3—y），

AB=（x,—2）。再由愿意得知（MA+MB）• AB=0，即（-x，—4—2y）• （x,—2)=0.

11所以曲线C的方程式为y=x2-2. (Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=x2-2上一点,因为

44111y'=x，所以l的斜率为x0因此直线l的方程为yy0x0(xx0)，即x0x2y2y0x20。

22212x04|2y0x|12142则O点到l的距离d。又y0x02，所以d2(x04)2,

2224x04x042x04202当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2。

x2y22

设双曲线221(a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等于

ab( )

x2y2设双曲线221的一条渐近线,则双曲线的离心率为（ ）.

ab x2y2过椭圆221(ab0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若

abF1PF260，则椭圆的离心率为

x2y221(b0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为yx，点已知双曲线

2bP(3,y0)在双曲线上。则PF1·PF2＝( )0

已知直线ykx2k0与抛物线C:y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若

|FA|2|FB|，则k( ）

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已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）

设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A,B两点。若

AB的中点为(2，2），则直线l的方程为_____________.

x2y2椭圆1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|4,则|PF2| ；F1PF2的大小

92为 .

过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p________________ 【解析】设切点P(x0,y0),则切线的斜率为

y'|xx02x0。由题意有

y02x0又y0x021解得： x0x021,bb2,e1()25aa

bx2y2bbyx2双曲线221的一条渐近线为yx，由方程组a,消去y,得xx10有唯一解，所

abaa2yx1bb2ca2b2b以△=()40，所以2，e1()25aaaaa

由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2y22，于是两焦点坐标分别是(－2，0)和(2,0），且P(3,1)或P(3,1).不妨去P(3,1)，则

PF1(23,1)，PF2(23,1)。

∴

PF1·

PF2＝(23,1)(2【解析】设抛物线C:y28x的准线为l:x2直线

ykx2k0恒过定点P2,0 .如图过A、B分 AMl于M,BNl于N, 由|FA|2|FB|，则

别作

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|AM|2|BN|，点B为AP的中点.连结OB,则|OB| |OB||BF| 点B的横坐标为1, 故点B的坐标为

1|AF|， 2(1,22)k22022， 故选D 1(2)32y14x1Ax1,y1,Bx2,y2,则有x1x2，2y24x2yy242两式相减得，y12y24x1x2，11

x1x2y1y2直线l的方程为y-2=x-2,即y=x

一、椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的

圆,除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离。

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

xxyyx2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭圆的切线方程是02021.

ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2

abxxyy的直线方程是02021.

abx2y27. 椭圆221 (a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F 2,点P为椭圆上任意一点F1PF2，

ab则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.

2x2y28. 椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0（F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)）.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分

别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交

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于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b211. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB2，

abab2x0即KAB2。

ay0x0xy0yx02y02x2y212. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被Po所平分的中点弦的方程是2222。

abababx2y2x2y2x0xy0y13. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2222。

ababab二、双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角。

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点。

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。（内切:P在右支；外切：P在

左支）

x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线221(a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

abx0xy0y21. 2abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0，b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点

abxxyy为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27. 双曲线221(a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点

abF1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot2。

x2y28. 双曲线221（a＞0,b＞o)的焦半径公式：（F1(c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a，|MF2|ex0a。

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结

AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF。

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10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q， A1、A2为双曲线实轴上的顶点，

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF。

x2y211. AB是双曲线221（a＞0，b＞0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点,

abb2x0b2x0则KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内,则被Po所平分的中点弦的方程是

abx0xy0yx02y02222. 2ababx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0，b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

abx2y2x0xy0y22. a2b2ab椭圆与双曲线的对偶性质—-(会推导的经典结论）

椭 圆

x2y21. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆

abx2y2于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221。

abx2y22. 过椭圆221 (a＞0, b＞0）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭

abb2x0圆于B，C两点,则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y23. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1， F 2是焦点， PF1F2，

abPF2F1，则

actancot。 ac22x2y24. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一

ab点，在△PF1F2中,记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsinax2y25. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L，则当0＜e≤21ab时,可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

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x2y26. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点,则

ab2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立。

(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是7. 椭圆

a2b2A2a2B2b2(Ax0By0C)2。

x2y28. 已知椭圆221(a＞b＞0）,O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ。（1）

ab4a2b2111122

22；（2）｜OP｜+|OQ｜的最大值为22;（3）SOPQ的最小值22ab|OP||OQ|aba2b2是22。 abx2y29. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M，N两点，弦MN的

ab|PF|e. 垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2x2y210. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x

aba2b2a2b2x0轴相交于点P(x0,0)， 则. aax2y211. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记

ab2b2F1PF2，则（1）|PF1||PF2|.（2） SPF1F2b2tan.

1cos2x2y212. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点,P是椭圆上的一点，PAB,

ab2ab2|cos||PA|22c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有（1）.(2) PBA，BPA，

accos2tantan1e.（3） SPAB22a2b22cot. 2bax2y213. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直

ab线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦

点的连线必与切线垂直.

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15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半

径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心

率).

(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e。 18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

x2y21. 双曲线221（a＞0,b＞0)的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线

abx2y2交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221。

abx2y22. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线

abb2x0交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数)。

ay0x2y23. 若P为双曲线221（a＞0，b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点，F1, F

ab2

是焦点， PF1F2, PF2F1,则

cacatancot（或tancot）. ca22ca22x2y24. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，P（异于长轴端点）为双

ab曲线上任意一点,在△PF1F2中，记F1PF2， PF1F2，F1F2P，则有

since.

(sinsin)ax2y25. 若双曲线221（a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

ab1＜e≤21时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项。

x2y26. P为双曲线221（a＞0，b＞0）上任一点，F1，F2为二焦点，A为双曲线内一

ab圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

定点，则|AF2|2a|PA||PF1|，当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立。

x2y27. 双曲线221(a＞0，b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是

abA2a2B2b2C2.

x2y28. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且

abOPOQ. 4a2b2111122

22;（2）|OP|+｜OQ|的最小值为2(1）；(3）SOPQ的最小222ba|OP||OQ|aba2b2值是22。

bax2y29. 过双曲线221(a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,

ab|PF|e。 弦MN的垂直平分线交x轴于P,则

|MN|2x2y210. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分

aba2b2a2b2线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或x0.

aax2y211. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0)上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦点

ab2b2记F1PF2，则（1）|PF1||PF2|.（2） SPF1F2b2cot。

1cos2x2y212. 设A、B是双曲线221（a＞0，b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，

abPAB， PBA,BPA,c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1）

2ab2|cos||PA|22. 2|accos|（2) tantan1e.(3） SPAB22a2b22cot. 2bax2y213. 已知双曲线221（a＞0，b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦

ab点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点。

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与

相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必

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与焦半径互相垂直。

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率).

（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）。

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项。

其他常用公式：

1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB1k2x1x211y1y2 2k2、直线的一般式方程:任何直线均可写成3、知直线横截距与直线

，常设其方程为垂直的直线可表示为

(A,B不同时为0）的形式。

（它不适用于斜率为0的直线）

。

4、两平行线5、若直线则

（斜率）且

与直线

间的距离为

平行

。

（在轴上截距） （充要条件）

，特别提醒：只有当

6、圆的一般方程：

时，方程二次方程

。

才表示圆心为，半径为的圆。二元且

且

表示圆的充要条件是

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7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数

；

方程的主要应用是三角换元：

8、切线长:过圆

为直径端点的圆方程

（

（

）

）外一点

所引圆的切线的长为

9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角

三角形来解：

,当

；②过两圆时，方程

、交点的圆（公共弦)系为

为两圆公共弦所在直线方程..

攻克圆锥曲线解答题的策略

摘要：为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 关键词:知识储备 方法储备 思维训练 强化训练 第一、知识储备:

1。 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率ktan,[0,) ②点到直线的距离d（3）弦长公式

Ax0By0CAB22 ③夹角公式:tank2k11k2k1

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直线ykxb上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离:AB1k2x1x2

(1k2)[(x1x2)24x1x2] 或AB11y1y2 k2（4)两条直线的位置关系

①l1l2k1k2=-1 ② l1//l2k1k2且b1b2 2、圆锥曲线方程及性质

(1）、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式）

x2y2 标准方程：1(m0,n0且mn)

mn 距离式方程：(xc)2y2(xc)2y22a 参数方程：xacos,ybsin (2)、双曲线的方程的形式有两种

x2y2 标准方程：1(mn0)

mn 距离式方程：|(xc)2y2(xc)2y2|2a （3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

2b22b22p 椭圆：；双曲线：；抛物线：aa（4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

x2y2如：已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，平面内一个动点M满足MF1MF22则

43动点M的轨迹是（ ）

A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 （5）、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，SFPFb2tan

122 P在双曲线上时，SFPFb2cot

122圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

|PF1|2|PF2|24c2（其中F1PF2,cos,PF1•PF2|PF1||PF2|cos)

|PF1||PF2|(6)、记住焦半径公式：（1）椭圆焦点在x轴上时为aex0;焦点在y轴上时为aey0，可简记

为“左加右减，上加下减\"。

(2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0|a

(3）抛物线焦点在x轴上时为|x1|,焦点在y轴上时为|y1| （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备

1、点差法(中点弦问题） 设Ax1,y122p2p2x2y2、Bx2,y2，Ma,b为椭圆1的弦AB中点则有

4322x1yxyxx211,221；两式相减得14343422y21y2320

x1x2x1x24y1y2y1y23kAB=3a 4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什

么？如果有两个参数怎么办?

设直线的方程,并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

使用判别式0，以及根与系数的关系,代入弦长公式，设曲线上的两点

A(x1,y1),B(x2,y2)，将这两点代入曲线方程得到错误!错误!两个式子,然后错误!-错误!，

整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系,消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y280上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点

A在y轴正半轴上）。

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（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程； (2）若角A为900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程。

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900可得出AB⊥AC，从而得x1x2y1y214(y1y2)160，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程； 解:（1)设B（x1,y1）,C(x2，y222x12y12x2y21,1 ），BC中点为(x0,y0)，F(2,0)则有20162016两式作差有

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)02016x0y0k0 （1) 54F(2,0）为三角形重心，所以由

x1x2yy246

2，0得y02，得x03,由1代入（1)得k 335

直线BC的方程为6x5y280

2)由AB⊥AC得x1x2y1y214(y1y2)160 （2)

设直线BC方程为ykxb,代入4x25y280,得(45k2)x210bkx5b2800

5b28010kb，x1x2 x1x22245k45k8k4b280k2y1y2,y1y2 代入(2）式得

45k245k29b232b10b4(舍)b，解得或 2945k449y41，即9y29x232y160 直线过定点（0，),设D（x,y），则9xx1620所以所求点D的轨迹方程是x2(y)2()2(y4)。

99y4、设而不求法

例2、如图,已知梯形ABCD中AB2CD，点E分有向线段AC所

34成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当23时,求双曲线离心率e的取值范围。

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分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设

x2y2cC ,h，代入221,求得hab2，进而求得xE,yEx2y2,再代入221，建立目

ab标函数f(a,b,c,)0，整理f(e,)0，此运算量可见是难上加难。我们对h可采取设而不求的解题策略，

建立目标函数f(a,b,c,)0，整理f(e,)0，化繁为简.

解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称

c1依题意，记Ac, 0，C ,h，Ex0, y0，其中c|AB|为双

22曲线的半焦距，h是梯形的高,由定比分点坐标公式得

cc22c, yh x001211x2y2设双曲线的方程为221，则离心率ec

aab由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和ec代入双曲线方程得

ae2h2 21， ①

4be22h2 21 ②

411bh2e2由①式得 21， ③

4b将③式代入②式，整理得

e2 4412，

4故 123

e1圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

由题设23得,21233

334e24解得

7e10

7 , 10所以双曲线的离心率的取值范围为

分析:考虑AE,AC为焦半径，可用焦半径公式, AE,AC用E,C的横坐标表示,回避h的计算, 达到设而不求的解题策略．

解法二：建系同解法一,AEaexE,ACaexC，

cc2cAE2xE，又,代入整理123，由题设23得，34121e1AC123312 3e24解得

7e10

7 , 10所以双曲线的离心率的取值范围为5、判别式法 例3已知双曲线C:y2

2,0,斜率为k，当0k1时，双曲线的

2x2直线l过点A1，2上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。

分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切。 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0。 由此出发，可设计如下解题思路：

l:yk(x2)0k1

2

直线l’在l的上方且到直线l的距离为

把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0

l':ykx2k222k

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解得k的值

解题过程略。

分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解。 据此设计出如下解题思路：

关于x的方程问题 kx2x22kk1求解 220k1有唯一

转化为一元二次方程根的问题 简解：设点M(x,2x2)为双曲线C上支上任一点,则点M到直线l的距离为：

kx2x22kk122

0k1 

于是，问题即可转化为如上关于x的方程。 由于0k1，所以2x2xkx，从而有

kx2x22kkx2x22k.

于是关于x的方程

kx2x22k2(k21) 2x22(2(k21)2kkx)2, 22(k1)2kkx0k21x22k2(k21)2kx22(k1)2kkx0. 2(k21)2k20,

2圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

由0k1可知：

方程k21x22k2(k21)2kx2(k21)2k20的二根同正,故

22(k21)2kkx0恒成立，于是等价于

k21x2k2(k1)2kx222(k21)2k20。

25. 52 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得 k点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C：x22y28和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使

APAQ，求动点Q的轨迹所在曲线的方程。 PBQB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. 由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：APAQ来转化。由A、B、P、Q四点共线,不难得到x4(xAxB)2xAxB，PBQB8(xAxB)要建立x与k的关系,只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可。 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

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xAPPBAQQB 4(xAxB)2xAxB 8(xAxB)将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 xfk 利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数点Q的轨迹方程

在得到xfk之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参,目的不过是得到关于x,y的方程（不含k)，则可由yk(x4)1解得k可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解：设Ax1,y1,B(x2，y2),Q(x,y)，则由APPBAQQBy1，直接代入xfk即x4可得：4x1x24xx1, x2x解之得：x4(x1x2)2x1x2 （1)

8(x1x2)设直线AB的方程为:yk(x4)1，代入椭圆C的方程,消去y得出关于 x的一元二次方程：

2k21x24k(14k)x2(14k)280 (2）

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

4k(4k1)xx,12∴ 2k21

2xx2(14k)8.122k21代入（1），化简得：x4k3. (3)

k2与yk(x4)1联立，消去k得：2xy4(x4)0. 在（2)中,由k2k240,解得

1621016210 x.99210210k44,结合（3）可求得

故知点Q的轨迹方程为：2xy40 （162910x162109）.

点评：由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道。

6、求根公式法 例5设直线l过点范围。

分析:本题中，绝大多数同学不难得到：AP=xA,但从此后却一筹莫展， 问题的

PBx2y2P（0,3），和椭圆1顺次交于

94APA、B两点,试求的取值

PBxB根源在于对题目的整体把握不够。 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。

分析1: 从第一条想法入手，

APx=A已经是一个关系式,但由于有两个变量PBxBxA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量-—直线

AB的斜率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式,到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 求根公式 圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

简解1：当直线l垂直于x轴时，可求得

APPB15; 当l与x轴不垂直时，设Ax1,y1,B(x2，y2)，直线l的方程为：ykx3，代入椭圆方程，消去y得9k24x254kx450

解之得 x1,27k69k2529k24. 因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑k0的情形。

当k0时，x27k69k2519k2，x27k69k25429k24, 所以 APx19k29k2518kPBx==1=.

k29k259k29k51182929295k2由 (54k)21809k240， 解得 k259， 所以 1112951，

k25综上 1APPB15. 圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

分析2： 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来。 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于

xAP1不是关于x1,x2的对称关系式。 原因找到后，解决PBx2问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式。

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB） 构造所求量与k的关系式 由判别式得出k的取值范围

关于所求量的不等式 简解2：设直线l的方程为：ykx3，代入椭圆方程，消去y得

9k则

54kxx,219k24 xx45.129k2424x254kx450 （＊）

2x11324k令，则，22.

x245k20圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

在（＊）中，由判别式0,可得 k2， 从而有 41361324k236，所以 ，解得 5. 42255545k201559结合01得1。 综上,1AP1. PB5点评:范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法,函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里。

第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，

它是数学求解的核心.以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标,得出结论的一系列推理过程.在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推理严密.通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力.

例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点，且AFFB1，

OF1．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点

F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。

思维流程:

（Ⅰ） 由AF•FB1，OF1

(ac)(ac)1，c1 a2,b1 写出椭圆方程 圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

（Ⅱ）

由F为PQM的重心 PQMF,MPFQ

kPQ1yxm3x24mx2m220 22 消元 x2y2

两根之和， 两根之积 得出关于 m的方程 解出m MP•FQ0

解题过程：

x2y2（Ⅰ）如图建系,设椭圆方程为221(ab0),则c1

ab又∵AFFB1即 (ac)(ac)1a2c2，∴a22

x2故椭圆方程为y21

2 （Ⅱ)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则

设P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵M(0,1),F(1,0),故kPQ1，

yxm223x4mx2m20 于是设直线l为 yxm,由2得,2x2y2∵MPFQ0x1(x21)y2(y11) 又yixim(i1,2) 得x1(x21)(x2m)(x1m1)0 即

2x1x2(x1x2)(m1)m2m0 由韦达定理得 2m224m2(m1)m2m0

33解得m或m1（舍） 经检验m符合条件．

点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．

例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上,且经过A(2,0)、B(2,0)、

4343圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

3C1,三点． 2（Ⅰ）求椭圆E的方程:

（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(1,0),H(1,0)，当ΔDFH内切圆的面积最大时,求ΔDFH内心的坐标；

思维流程: 得到m,n的方程（Ⅰ） 解出m,n

由椭圆经过A、B、C三点 设方程为mxny1 22

（Ⅱ） 由DFH内切圆面积最大 转化为DFH面积最大 转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大 D为椭圆短轴端点

C(1,)解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为mx2ny21m0,n0，将A(2,0)、B(2,0)、

323 3DFH面积最大值为3 SDFH1周长r内切圆 2r内切圆3 3得出D点坐标为0,代入椭圆E的方程,得

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4m1,x2y211解得m,n。∴椭圆E的方程1 ． 943mn1434

（Ⅱ）|FH|2，设ΔDFH边上的高为SDFH2hh

当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以SDFH的最大值为3．

设ΔDFH的内切圆的半径为R,因为ΔDFH的周长为定值6．所以,SDFHR6 所以R的最大值为3．所以内切圆圆心的坐标为(0,3)33。

1212点石成金：S的内切圆的周长r的内切圆

例8、已知定点C(1，0)及椭圆x23y25，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.

（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是,求直线AB的方程；

（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MAMB为常数？若存在,求出点M的坐标;若不存在，请说明理由。 思维流程：

（Ⅰ）解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)， 将yk(x1)代入x23y25, 消去y整理得 (3k21)x26k2x3k250. 设A(x1，y1)， B(x2，y2)，

36k44(3k21)(3k25)0， (1) 则 6k2x1x22. (2)3k1x1x23k2112,解得k3，符合题意。 由线段AB中点的横坐标是， 得23k12231212所以直线AB的方程为 x3y10,或 x3y10。 （Ⅱ）解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使MAMB为常数。

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6k23k25 x1x22. (3) ① 当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知 x1x22，3k13k1所以MAMB(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21) (k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.2将

(3)代入，整理得

114(2m)(3k21)2m(6m1)k5233m2m22m16m14. MAMBm33(3k21)3k213k21注意到MAMB是与k无关的常数， 从而有6m140，m, 此时MAMB. ② 当直线AB与x轴垂直时,此时点A，B的坐标分别为1，、1，，当m333时， 亦有MAMB.

，0 综上,在x轴上存在定点M，使MAMB为常数。

732734922749114(2m)(3k21)2m(6m1)k5233m2 点石成金：MAMBm3k213k21 m22m16m14.

33(3k21)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围;

（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：

x2y2解：(1）设椭圆方程为221(ab0)

aba2b2x2y2a8则41解得2 ∴椭圆方程为1

821b2a2b2(Ⅱ)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

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又KOM= l的方程为：yxm

1yxm由222x22mx2m240 xy1281212∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

(2m)24(2m24)0,解得2m2,且m0

（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x22m,x1x22m24 则k1y11y1,k22 x12x22由x22mx2m240可得

x1x22m,x1x22m24

而k1k2y11y21(y11)(x22)(y21)(x12) x12x22(x12)(x22)11(x1m1)(x22)(x2m1)(x12)22(x12)(x22)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)(x12)(x22)

2m24(m2)(2m)4(m1)(x12)(x22)2m242m24m4m40 (x12)(x22)k1k20故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形k1k20

23x2y2例10、已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离

3ab是

3. 2 （1)求双曲线的方程；

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(2）已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上,求k的值. 思维流程： 解：∵（1)

c23原点到直线,a3AB:

ababdxy221的距离cababb1,a3.3.2.

故所求双曲线方程为 x（2）把ykx5代入x23y223y21.

3中消去y,整理得 (13k2)x230kx780。

设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则

x0kBEx1x215k5y0kx05,2213k13k2 y110.x0k x0ky0k0, 即

15k5k2k0,又k0,k7 2213k13k故所求k=±7.

点石成金: C,D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD；

例11、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

（II）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以

AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点,并求出该定点的坐

标．

思维流程:

x2y2解：（Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为221(ab0)，

ab 由已知得:ac3，ac1,

a2，c1，x2y2 椭圆的标准方程为1． 22243bac3 (II)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

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ykxm，联立 x2y21.34得 (34k2)x28mkx4(m23)0,则

m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20， 8mk，x1x2234k4(m23)xx.1234k2

3(m24k2)又y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2mk(x1x2)m． 234k因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，

yy21. kADkBD1，即1y1y2x1x22(x1x2)40．

x12x22223(m24k2)4(m23)15mk40． 7m216mk4k20． 22234k34k34k2k解得:m12k，m2，且均满足34k2m20．

7当m12k时，l的方程yk(x2)，直线过点(2，0)，与已知矛盾； 22k20． x时,l的方程为yk，直线过定点，77720． 所以，直线l过定点，定点坐标为，7 当m2

点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB； 例

x2y212、已知双曲线221(a0,b0)的左右两个焦点分别为F1、F2,点P在双曲线右支上.

ab34116,)时,PF1PF2，求双曲线的方程； 55（Ⅱ）若|PF1|3|PF2|，求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

（Ⅰ）若当点P的坐标为(思维流程：

解：（Ⅰ）(法一)由题意知，PF1(c3411634116,), PF2(c,), 555534134116PF1PF2，PF1PF20,(c)(c)()20 （1分)

555解得 c225,c5。 由双曲线定义得： |PF1||PF2|2a,

2a(5341216341216)()2(5)()2(413)2(413)26，a3,b4 5555x2y2 所求双曲线的方程为: 1

916圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有)(word版可编辑修改)

(法二) 因PF1PF2，由斜率之积为1，可得解。 （Ⅱ)设|PF1|r1,|PF2|r2， (法一）设

P

的坐标为

,

(x,y)， 由焦半径公式得

,

r1|aex|aex,r2|aex|exa2a2r13r2,aex3(exa),xc2a2xa,a,2ac,

ccbc2a2e的最大值为2,无最小值。 此时2,e213,

aaa此时双曲线的渐进线方程为y3x

(法二)设F1PF2，(0,].

（1)当时, r1r22c,且r13r2，2c4r2， 2ar1r22r2 此时 e2c4r22。 2a2r2（2)当,由余弦定理得： （0，）2（2c）r1r22r1r2cos10r26r2cos

2222e2cr2106cos106cos, 2a2r22cos(1,1)，e(1,2),综上,e的最大值为2,但e无最小值. （以下法一）