全州县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

全州县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

，若在数列{cn}

2． 数列{an}的通项公式为an=﹣n+p，数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣5，设cn=

*

中c8＞cn（n∈N，n≠8），则实数p的取值范围是（ ）

A．（11，25） B．（12，16] C．（12，17） D．[16，17）

3． 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，则f（2）+g（2）=（ ） A．16

B．﹣16 C．8

D．﹣8

4． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱台 D．三棱柱

5． 已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四象限”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6． 集合1,2,3的真子集共有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个 7． 在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1平面ABC，AA1=2，BC23,BAC 柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A．

2,此三棱

322531 B．16 C. D． 332

8． 以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（ ）

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A． B． C． D．

9． 已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（ ） A．3﹣4i

B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i

10．若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z12i，则复数

z1在复平面内对应的点在（ ） z2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 11．已知集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则A∩B=B成立的实数a的取值范围是（ ） A．{a|3≤a≤4} B．{a|3＜a≤4} C．{a|3＜a＜4} D．∅ 12．与圆C1：x+y﹣6x+4y+12=0，C2：x+y﹣14x﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

2

2

2

2

二、填空题

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）

①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC的最小值为3

③tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数 ④若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45° ⑤当

tanB﹣1=

2

时，则sinC≥sinA•sinB．

14．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为圆的方程为 ．

，则

1,3)，B(1,1,1)，且|AB|22，则m . 15．在空间直角坐标系中，设A(m，16．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为 ．

17．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．

B．

C．

10，abba，则ab= ▲ ． 3，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成

D．

18．已知ab1，若logablogba第 2 页，共 14 页

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三、解答题

19．（本小题满分12分） 在等比数列an中，a3（1）求数列an的通项公式； （2）设bnlog2

39,S3． 226a2n1，且bn为递增数列，若cn1，求证：c1c2c3bnbn1cn1． 420．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元． （1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？

21．已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a，b的值；

（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．

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22．设a，b互为共轭复数，且（a+b）2﹣3abi=4﹣12i．求a，b 的值．

23．已知命题p：x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，命题q：q为假，求实数a的取值范围．

24．已知函数f（x）=log2（m+（1）求函数f（x）的定义域；

（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求m的取值范围．

）（m∈R，且m＞0）．

若p或q为真，p且

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全州县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2， 两式相减得 3a3=a4﹣a3， a4=4a3， ∴公比q=4． 故选：B．

2． 【答案】C

【解析】解：当an≤bn时，cn=an，当an＞bn时，cn=bn，∴cn是an，bn中的较小者， ∵an=﹣n+p，∴{an}是递减数列，

n5

∵bn=2﹣，∴{bn}是递增数列，

∵c8＞cn（n≠8），∴c8是cn的最大者，

则n=1，2，3，…7，8时，cn递增，n=8，9，10，…时，cn递减， ∴n=1，2，3，…7时，2当n=7时，2当n=9时，2

n﹣5

＜﹣n+p

总成立，

7﹣5

＜﹣7+p，∴p＞11，

n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，

9﹣5

＞﹣9+p，成立，∴p＜25，

而c8=a8或c8=b8，

3

若a8≤b8，即2≥p﹣8，∴p≤16，

则c8=a8=p﹣8， ∴p﹣8＞b7=2

7﹣5

，∴p＞12，

故12＜p≤16，

若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，∴p＞16，

3

∴c8=b8=2，

那么c8＞c9=a9，即8＞p﹣9， ∴p＜17， 故16＜p＜17， 综上，12＜p＜17． 故选：C．

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3． 【答案】B

32

【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x﹣2x， 32

∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）﹣2×（﹣2）=﹣16．

即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16． 故选：B．

【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．

4． 【答案】A 【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A. 考点：三视图

【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹. 5． 【答案】A

【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，

若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件； 故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．

6． 【答案】C 【解析】

考点：真子集的概念. 7． 【答案】A 【解析】

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考点：组合体的结构特征；球的体积公式.

【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 8． 【答案】D 数，

个分

【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成

个， =

，

由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数， 故这种分数是可约分数的共有则分数是可约分数的概率为P=故答案为：D

【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

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9． 【答案】B

解析：∵（3+4i）z=25，z=∴=3+4i． 故选：B．

10．【答案】B 【

解

析

】

=

=3﹣4i．

11．【答案】A

【解析】解：∵A={x|a﹣1≤x≤a+2} B={x|3＜x＜5} ∵A∩B=B ∴A⊇B ∴

解得：3≤a≤4 故选A

【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，通过对集合间的关系转化为元素的关系，属于基础题．

12．【答案】C

【解析】

【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．

2222

【解答】解：∵圆C1：x+y﹣6x+4y+12=0，C2：x+y﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，

；； ∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．

∴两圆的圆心距=r2﹣r1； ∴两个圆外切，

∴它们只有1条内公切线，2条外公切线． 故选C．

二、填空题

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13．【答案】 ①④⑤

【解析】解：由题意知：A≠

，B≠

，C≠

，且A+B+C=π

∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC， 又∵tan（A+B）=

，

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC， 即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确； 当A=

，B=C=

时，tanA+tanB+tanC=

＜3

，故②错误；

若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；

3

由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tanA=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；

当tanB﹣1=

，

时， tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC= ，C=60°，

2

此时sinC=

sinA•sinB=sinA•sin=sinA•（120°﹣A）（cos2A=

sin（2A﹣30°）

≤

，

cosA+sinA）=sinAcosA+

sin2A=

sin2A+﹣

2

则sinC≥sinA•sinB．故⑤正确；

故答案为：①④⑤

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．

14．【答案】 （x﹣1）2+（y+1）2=5 ．

【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r， ∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上， ∴圆心（a，b）在直线x+y=0上， ∴a+b=0，①

222

且（2﹣a）+（1﹣b）=r；②

又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，

=

，

且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d=

22

根据垂径定理得：r﹣d=

，

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即r﹣（

22

）=③；

由方程①②③组成方程组，解得；

22

∴所求圆的方程为（x﹣1）+（y+1）=5． 22

故答案为：（x﹣1）+（y+1）=5．

15．【答案】1

【解析】 试题分析：ABm1211231222，解得：m1，故填：1.

考点：空间向量的坐标运算

16．【答案】 ﹣2 ．

n+1*

【解析】解：∵曲线y=x（n∈N），

n

∴y′=（n+1）x，∴f′（1）=n+1，

∴曲线y=x

n+1

*

（n∈N）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），

该切线与x轴的交点的横坐标为xn=∵an=lgxn，

∴an=lgn﹣lg（n+1）， ∴a1+a2+…+a99

，

=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2．

17．【答案】 则DM∥C1B1，

【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM， 在在直三棱柱中，∠ACB=90°， ∴DM⊥平面AA1C1C，

则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角， 则DM=，AD=

=

=，

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则tan∠MAD=．

法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系， 则∵AC=BC=1，侧棱AA1=∴

=（﹣，，﹣

），

，M为A1B1的中点，

=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量

设AM与平面AA1C1C所成角为θ， 则sinθ=|则tanθ= 故选：A

|=

【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．

18．【答案】43 【解析】

101101（舍）试题分析：因为ab1，所以logba1，又logablogba3logalogba3logba3或3，

b

因此ab3，因为abba，所以b3bbb3bb3,b1b3,a33，ab43 3考点：指对数式运算

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三、解答题

3119．【答案】（1）an或an622【解析】

n1；（2）证明见解析.

3931试题分析：（1）将a3,S3化为a1,q，联立方程组，求出a1,q，可得an或an62222n1；（2）

1由于bn为递增数列，所以取an62111其前项和为.

44n14n1，化简得bn2n，cn11111，

bnbn14nn14nn1考点：数列与裂项求和法．1 20．【答案】 【解析】解：（1）

*

（x∈N）…6

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（2）盈利额为当且仅当

即x=7时，上式取到等号…11

…

答：使用游艇平均7年的盈利额最大．…12

【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．

21．【答案】

32

【解析】解：（1）∵f（x）=x+3ax+bx， 2

∴f'（x）=3x+6ax+b，

又∵f（x）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0， 解得：a=，b=1 经检验，合题意．

2

（2）由（1）得f'（x）=3x+4x+1，

令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1， 又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．

22．【答案】

222

所以4x﹣3（x+y）i=4﹣12i，

，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，

，

22

【解析】解：因为a，b互为共轭复数，所以设a=x+yi，则b=x﹣yi，a+b=2x，ab=x+y，

所以所以a=1+或a=1﹣或a=﹣1+或a=﹣1﹣

i，b=1﹣i，b=1+i，b=﹣1﹣i，b=﹣1+

i； i；

，解得

i； i．

【点评】本题考查了共轭复数以及复数相等；正确设出a，b 是解答的关键．

23．【答案】

【解析】解：若P是真命题．则△=4﹣4a≤0∴a≥1； …（3分）

2

若q为真命题，则方程x+2ax+2﹣a=0有实根，

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2

∴△=4a﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，…（6分）

依题意得，当p真q假时，得a∈ϕ； …（8分） 当p假q真时，得a≤﹣2．…（10分）

综上所述：a的取值范围为a≤﹣2．…（12分） 参数的范围，属于基础题．

24．【答案】

【解析】解：（1）由m+∵m＞0，

∴（x﹣1）（x﹣）＞0，

若＞1，即0＜m＜1时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）； 若=1，即m=1时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）； 若＜1，即m＞1时，x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．

（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数g（x）=m+所以解得：

， ．

＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0，

【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时

在（4，+∞）上单调递增且恒正．

【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．

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