宁都县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宁都县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β A．5

B．4

C．3

D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

2． 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）

D．2

]，n∈N*，则下列说法正确的个数是（ ）

3． 已知一组函数fn（x）=sinnx+cosnx，x∈[0，①∀n∈N*，fn（x）≤

恒成立

②若fn（x）为常数函数，则n=2 ③f4（x）在[0，

]上单调递减，在[

，

]上单调递增．

A．0 B．1 C．2 D．3

4． 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ） A．3，6，9，12，15，18 B．4，8，12，16，20，24 C．2，7，12，17，22，27 D．6，10，14，18，22，26

5． 已知集合AxN|x5，则下列关系式错误的是（ ）

A．5A B．1.5A C．1A D．0A 6． 已知点Py）（x，的坐标满足条件A．

B．

C．﹣6 D．6

，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（ ）

7． 已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2（x∈R），则不等式f（x）＜2x+1的解集为（ ） A．（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣1）

C．（﹣1，1）

D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

8． 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（ ）

，则关于x的方程

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精选高中模拟试卷

A．1﹣（）a B．（）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1

9． 如图框内的输出结果是（ ）

A．2401 B．2500 C．2601 D．2704

10．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=A． C． D．

是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）

11．下列命题中正确的是（ ） （A）若pq为真命题，则pq为真命题

ba2”的充分必要条件 ab （C） 命题“若x23x20，则x1或x2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x20”

（ B ） “a0，b0”是“

（D） 命题p:x0R，使得x0x010，则p:xR，使得x2x10 12．b∈N，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是用反证法证明命题“a，如果ab可被5整除，那么a，（ ） A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除

2C．a，b不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除

二、填空题

13．如图，在矩形ABCD中，AB 则ED的长=____________

3，

BC3， E在AC上，若BEAC，

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14．下列结论正确的是

①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；

②以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e4；

③已知命题“若函数f（x）=ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=ex﹣mx在（0，+∞）上是减函数”是真命题；

④设常数a，b∈R，则不等式ax2﹣（a+b﹣1）x+b＞0对∀x＞1恒成立的充要条件是a≥b﹣1． 15．B、C、D四点，在半径为2的球面上有A、若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．

16．如果实数x,y满足等式x2y3，那么

22y的最大值是 ． x17．若在圆C：x2+（y﹣a）2=4上有且仅有两个点到原点O距离为1，则实数a的取值范围是 ．

18．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数fxx2x，若曲线fx在点1,f1处的切线经

3过圆C:x2ya2的圆心，则实数a的值为__________．

2三、解答题

19．（本小题满分12分）已知两点F1(1,0)及F2(1,0)，点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且PF1、F1F2、 PF2构成等差数列． （I）求椭圆C的方程；

（II）设经过F2的直线m与曲线C交于P、Q两点，若PQ=F1P+FQ，求直线m的方程． 1

20．（本小题满分12分）已知向量a=(mcoswx-msinwx,sinwx)，b=(-coswx-sinwx,2ncoswx)，

222np(x?R)的图象关于点(,1)对称，且wÎ(1,2)． 212（I）若m=1，求函数f(x)的最小值；

设函数f(x)=a?b第 3 页，共 18 页

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（II）若f(x)£f()对一切实数恒成立，求yf(x)的单调递增区间．

【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．

p4

21．（本小题满分12分） 在等比数列an中，a3

（1）求数列an的通项公式； （2）设bnlog2

39,S3． 221，求证：c1c2c3bnbn16a2n1，且bn为递增数列，若cncn1． 4第 4 页，共 18 页

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22．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）．

（Ⅰ）若x轴是曲线f（x）=lnx﹣kx+1一条切线，求k的值； （Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．

23．已知等比数列{an}中，a1=，公比q=． （Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．

24．AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1， ∠SDC=120°．如图，在几何体SABCD中，又SD=2，（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；

（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

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宁都县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；

C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线； 故选：D．

2． 【答案】A

2

【解析】解：函数f（x）=ax+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，

可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，

2

所以函数为：f（x）=x+1，x∈[﹣2，2]，

函数的最大值为：5． 故选：A．

【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．

3． 【答案】 D

【解析】解：①∵x∈[0，

]，∴fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=

≤

，因此正确；

②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，

2

当n≠2时，令sinx=t∈[0，1]，则fn（x）=

+，当t∈

=g（t），g′（t）=﹣

=

当t∈

时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；

时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数fn（x）不是常数函数，因此②正确．

=，

=

+，当x∈[0，

，

]

22222

=sin4x+cos4x=③f4（x）（sinx+cosx）﹣2sinxcosx=1﹣

]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，上单调递增，因此正确． 综上可得：①②③都正确． 故选：D．

]上单调递减，当x∈[]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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4． 【答案】C

【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验， 采用系统抽样的间隔为30÷6=5， 只有选项C中编号间隔为5， 故选：C．

5． 【答案】A 【解析】

试题分析：因为AxN|x5 ，而1.5N,1N,.5A,1A，即B、C正确，又因为0N且

05，所以0A，即D正确，故选A. 1

考点：集合与元素的关系. 6． 【答案】 B

【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8， 由（

，解得y=0，x=，

，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣

，

故选B．

【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．

7． 【答案】A

【解析】解：令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，

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则F′（x）=f′（x）﹣2，

又∵f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2， ∴F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，

∴F（x）=f（x）﹣2x﹣1是R上的减函数， 又∵F（1）=f（1）﹣2﹣1=0，

∴当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）﹣2x﹣1＜0， 即不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）； 故选A．

【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．

8． 【答案】C

【解析】解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则 x≥1，f（x）=

∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，

∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），

∴﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1）， ∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a， ∴x3=1﹣2，

a

，对称轴为x=3，根据对称性，x≤﹣1时，函数的对称轴为x=﹣3，

∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2+6=1﹣2，

a

a

故选：C．

9． 【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1+3+5+…+99=2500， 故选：B．

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【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．

10．【答案】D

【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立， 由于f（x）=

=1+

，

①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件．

②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t， 同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2． ③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1， 同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t≥综上可得，

≤t≤2，

，2]，

．

故实数t的取值范围是[故选D．

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．

11．【答案】D

【解析】对选项A，因为pq为真命题，所以p,q中至少有一个真命题，若一真一假，则pq为假命题，

a故选项B错误；命题“若x23x20，2的充分必要条件是a,b同号，

b则x1或x2”的逆否命题为“若x1且x2，则x23x20”，故选项C错误；故选D．

故选项A错误；对于选项B，12．【答案】B

ba【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．

命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．

故应选B．

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【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．

二、填空题

13．【答案】

【解析】在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.

3

，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD22

3332121

－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.

42242因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝14．【答案】 ①②④

2

【解析】解：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ）（σ＞0）则正态曲线关于x=1对称． 若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率P=2×0.35=0.7；故①正确， ②∵y=cekx，

kxkx

∴两边取对数，可得lny=ln（ce）=lnc+lne=lnc+kx，

21 2

令z=lny，可得z=lnc+kx， ∵z=0.3x+4， ∴lnc=4，

4

∴c=e．故②正确，

③已知命题“若函数f（x）=ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，

x

则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，

若函数f（x）=e﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0恒成立，

x

x

即f′（x）=e﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立， x

即m≤e， x

∵x＞0，∴e＞1，

则m≤1．故原命题是真命题，则命题的逆否命题也是真命题，故③错误， ④设f（x）=ax2﹣（a+b﹣1）x+b，

则f（0）=b＞0，f（1）=a﹣（a+b﹣1）+b=1＞0， ∴要使∀x＞1恒成立， 则对称轴x=

即a+b﹣1≤2a，即a≥b﹣1，

2

即不等式ax﹣（a+b﹣1）x+b＞0对∀x＞1恒成立的充要条件是a≥b﹣1．故④正确，

，

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故答案为：①②④

15．【答案】

．

【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P， 设点P到CD的距离为h， 则有 V=×2×h××2，

，

当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：

．

．

【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．

16．【答案】3 【解析】

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考点：直线与圆的位置关系的应用. 1

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把

y的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题. x17．【答案】 ﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3 ．

2222

【解析】解：根据题意知：圆x+（y﹣a）=4和以原点为圆心，1为半径的圆x+y=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1， ∴﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3． 故答案为：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．

22

【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x+（y﹣a）=4和以原点为圆心，122

为半径的圆x+y=1相交，属中档题．

18．【答案】2

【解析】结合函数的解析式可得：f11211，

32对函数求导可得：f'x3x2，故切线的斜率为kf'13121，

2则切线方程为：y11x1，即yx2，

2圆C：x2ya2的圆心为0,a，则：a022.

三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．

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xy3331得y，即P(1 , )，Q(1 , ) 43222252222直接计算知PQ=9，|F1P|2|F1Q|2，PQ?F1P，x1不符合题意 ； FQ12②若直线m的斜率为k，直线m的方程为y=k(x-1)

（II）①若m为直线x1，代入

22

x2y21(34k2)x28k2x(4k212)0由4得 3yk(x1)8k24k212设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1x2，x1x2

34k234k2222由PQ=F1P+FQ得，F0 11P?FQ1即(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k(x11)k(x21)0

4k2128k2221)(1k)0代入得(1k)(，即7k90 2234k34k3737(x1) 解得k，直线m的方程为y772(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)(1k2)0

20．【答案】

3121．【答案】（1）an或an622【解析】

n1；（2）证明见解析.

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n13931试题分析：（1）将a3,S3化为a1,q，联立方程组，求出a1,q，可得an或an62222；（2）

1由于bn为递增数列，所以取an62111. 其前项和为44n14n1，化简得bn2n，cn11111，

bnbn14nn14nn1考点：数列与裂项求和法．1 22．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣k=0， ∴x=，

由ln﹣1+1=0，可得k=1；

（2）当k≤0时，f′（x）=﹣k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；

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当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0，若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0， 则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数． k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数， 而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0， ∵f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立， 则f（）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1．

【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．

23．【答案】

【解析】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q= ∴an=×

=

，

Sn=

又∵∴Sn=（II）∵an=

==Sn

∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33） =﹣（1+2+…+n） =﹣

∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．

24．【答案】

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【解析】解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点， 分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ∵∠SDC=120°， ∴∠SDE=30°，

又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为则有D（0，0，0），

（1）设平面SAB的法向量为∵则有得

，取，又

，

， ．

，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．

，

．

设SC与平面SAB所成角为θ， 则

故SC与平面SAB所成角的正弦值为（2）设平面SAD的法向量为∵则有∴

，取

，得

，

．

．

，

，

．

，

故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是

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【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．

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