2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一)(解析版)

（解析版）2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一）

(时间：90分钟 满分：150分)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题6分，共90分) 1.已知集合U＝{1，2，3，4，6，8}，A＝{1，3，6}，B＝{1，4，6，8}，则(∁UA)∪B等于( C ) A.{1，2，8} B.{1，4，8} C.{1，2，4，6，8} D.{1，4，5，6，8}

解析：因为∁UA＝{2，4，8}，所以(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，8}．

2.若sin αcos α<0，则α在( D )

A.第一或第二象限 B.第一或第三象限 C.第二或第三象限 D.第二或第四象限

sin α>0，sin α<0，解析：因为sin αcos α<0，所以或所以α为第二或第四象限角．故选D.

cos α<0，cos α>0.

3.下列函数中，在其定义域内是减函数的是( C )

12

A.f(x)＝－x＋x＋1 B.f(x)＝ C.f(x)＝log0.3 x D.f(x)＝ln x

x4.在区间[0，4]上任取一个实数x，则x>3的概率是( A )

A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 解析：几何概率x>3的概率是

4－31

＝，故选A. 44

5.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( C ) A.13 B.4 C.26 D.26

解析：∵两直线平行，∴－2＝－m，∴m＝4，∴两直线分别为3x＋2y－3＝0，6x＋4y＋1＝0，∴d＝

3

6

213713513

|

1

－（－3）2

32＋22

|＝

72

713＝ 2613

6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C与DB的位置关系为( D )

A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D.异面且垂直

解析：因为BD⊥面AA1C，A1C⊂面AA1C，所以BD⊥A1C，所以BD与A1C异面且垂直．故选D.

π7.已知函数f(x)＝sinωx＋(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝sin ωx的图象，只

4要将y＝f(x)的图象( B )

ππ

A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

88ππ

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

44

解析：∵周期为π，∴ω＝π，∴ω＝2. ∵f

2π

()＝sin[2()

x－π

8

πx－

8

＋ππ]＝sin 2x，∴y＝f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象．故选B. 48

（解析版）2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一） 第1页（共4页）

8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2，C＝120°，则c＝( D ) A.7 B.19 C.7 D.19

解析：由余弦定理得因为c＝a＋b－2abcos C，所以c＝3＋2－2×3×2×

2

2

2

2

2

2

()＝13＋6＝19.所以c＝

1－2

19.故选D.

9.要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是( C )

A.(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法 B.(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法 C.(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法 D.(1)(2)都用分层抽样法

解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C.

10.若a＝log22，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系为( A ) A.c解析：因为a＝log22＝1，b＝log23>log22＝1，c＝log3211.等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么{an}的前7项和S7＝( D ) A.22 B.24 C.26 D.28

解析：因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12, 所以3a4＝a3＋a4＋a5＝12，解得a4＝4，所以S7＝

7（a1＋a7）7×2a4

＝＝7a4＝28. 22

12.已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，－6)，若b＝λa，则实数λ的值为( D )

11

A. B.3 C.－ D.－3 解析：因为b＝λa，所以(－3，－6)＝λ(1，2)，所以λ＝－3，故选D. 3313.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，若a1，a2，a4构成公比为q的等比数列，则q的值为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4

解析：因为(a1＋d)＝a1(a1＋3d)，所以a1d－d＝0，所以a1＝d，所以a2＝a1＋d＝2a1，所以q＝a1＝2，故选B.

2

2

a2

14.若直线3x＋y＋a＝0过圆x＋y＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( B ) A.－1 B.1 C.3 D.－3 解析：由题得圆心为(－1，2)，代入直线方程得a＝1.

15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－10，an＋1＝an＋3(n∈N)，则Sn取最小值时，n的值是( B ) A.3 B.4 C.5 D.6

解析：在数列{an}中，由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3(n∈N), 所以数列{an}是公差为3的等差数列．

又a1＝－10，所以数列{an}是公差为3的递增等差数列．由an＝a1＋(n－1)d＝－10＋3(n－1)＝3n－13≥0，解得n≥因为n∈N，所以数列{an}中从第五项开始为正值．所以当n＝4时，Sn取最小值．故选B.

*

*

22

*

13

. 3

二、填空题(把答案填在题中的横线上．每小题6分，共24分．) 16.已知tan α＝2，则

2

sin α＋cos αsin α＋cos αtan α＋1

的值为________ 答案：3 解析：sin α－cos α＝tan α－1＝3.

sin α－cos α

17.若f(x)＝x＋(m＋1)x＋(m＋1)图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是___(－1，3)___(用区间表示)．

解析：依题意Δ＝(m＋1)－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)<0⇒－12

18.设f(x)＝

lg x，x>0，10x，x≤0，

则f(f(－2))＝________ 答案：－2

－2

解析：因为x＝－2<0，所以f(－2)＝10＝100>0, 所以f(10)＝lg10＝－2，即f(f(－2))＝－2.

1

－2－2

（解析版）2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一） 第2页（共4页）

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝1，则侧棱PC＝__3___

2

2

解析：连AC，在Rt△PAC中，PA＝1，AC＝2，所以PC＝PA＋AC＝3

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．每小题12分，共36分．) 20.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c·cos B－b＝2a.

(1)求角C的大小；(2)设角A的平分线交BC于D，且AD＝3，若b＝2，求△ABC的面积．

a＋c－ba＋b－c－ab1222

解：(1)由已知及余弦定理得2c×2ac＝2a＋b, 整理得a＋b－c＝－ab, 所以cos C＝2ab＝2ab＝－2，

2

2

2

2

2

2

又02π

2π2π

，即角C的大小为. 33

(2)由(1)知C＝3，依题意画出图形．在△ADC中，AC＝b＝2，AD＝3，

由正弦定理得sin ∠CDA＝

AC×sin C2322ππ2πππ

＝×＝， 又△ADC中，C＝， 所以∠CDA＝， 故∠CAD＝π－－＝. AD234341232

π

， 所以△ABC为等腰三角形，且BC＝AC＝2. 6

因为AD是角∠CAB的平分线， 所以∠CAB＝

12π133

所以△ABC的面积S＝BC·AC·sin ＝×2×2×＝.

23222

21.已知圆C经过A(3，2)、B(1，6)两点，且圆心在直线y＝2x上．

(1)求圆C的方程；(2)若直线l经过点P(－1，3)且与圆C相切，求直线l的方程．

解：(1)解法一：设圆C的方程为(x－a)＋(y－b)＝r(r>0), 依题意得，

2

2

2

（3－a）2＋（2－b）2＝r2，

（1－a）＋（6－b）＝r， 解得a＝2，b＝4，r＝5.所以圆C的方程为(x－2)＋(y－4)＝5. b＝2a，

2

2

2

222

解法二：因为A(3，2)、B(1，6)，所以线段AB中点D的坐标为(2，4), 直线AB的斜率kAB＝1

因此直线AB的垂直平分线l'的方程是y－4＝(x－2)，即x－2y＋6＝0.

2

6－2

＝－2， 1－3

x－2y＋6＝0，x＝2，

圆心C的坐标是方程组的解．解此方程组，得即圆心C的坐标为(2，4)．

y＝2x，y＝4，圆C的半径长r＝|AC|＝（3－2）＋（2－4）＝5.所以圆C的方程为(x－2)＋(y－4)＝5. (2) 由于直线l经过点P(－1，3),

当直线l的斜率不存在时，x＝－1与圆C：(x－2)＋(y－4)＝5相离，不合题意． 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y－3＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋3＝0. 因为直线l与圆C相切，且圆C的圆心为(2，4)，半径为5，所以有

1

2

2

2

2

2

2

|2k－4＋k＋3|1

＝5.解得k＝2或k＝－. 22k＋1

所以直线l的方程为y－3＝2(x＋1)或y－3＝－2(x＋1), 即2x－y＋5＝0或x＋2y－5＝0.

（解析版）2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一） 第3页（共4页）

22.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求证：数列{an＋3}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和．

(1)证明：因为Sn＝2an－3n，① 所以n≥2时，

Sn－1＝2an－1－3(n－1)，② ①－②得

Sn－Sn－1＝2an－2an－1－3， 即an＝2an－2an－1－3， 所以an＝2an－1＋3， 所以an＋3＝2(an－1＋3) 所以

an＋3

＝2，

an－1＋3

所以{an＋3}为以2为公比的等比数列，

因为2an－3n＝Sn，所以2a1－3＝S1＝a1，所以a1＝3. 所以an＋3＝6·2

n

n－1

，

所以an＝3·2－3.

2－2n

(2)解：Sn＝(3·2－3)＋(3·2－3)＋…＋(3·2－3)＝3(2＋…＋2)－3n＝3·－3n＝6·2－6－3n.

1－2

1

2

n

1

n

n＋1

（解析版）2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一） 第4页（共4页）