考研数学概率公式整理

1．随机事件及其概率

AAA吸收律：AA A

A(AB)AA(AB)A

ABABA(AB)

反演律：ABAB ABAB

AA AA

iiiii1i1i1i1nnnn

2．概率的定义及其计算

P(A)1P(A)

若AB P(BA)P(B)P(A)

对任意两个事件A, B, 有 P(BA)P(B)P(AB)

加法公式：对任意两个事件A, B, 有

P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(AB)P(A)P(B)

P(Ai)P(Ai)i1i1nn1ijnP(AA)ij1ijknP(AAA)(1)ijknn1P(A1A2An)

3．条件概率

PBA

乘法公式

P(AB) P(A)P(AB)P(A)PBA(P(A)0)

P(A1A2An)P(A1)PA2A1PAnA1A2An1(P(A1A2An1)0)

全概率公式

P(A)P(ABi) P(Bi)P(ABi)

i1i1nn

Bayes公式

P(BkA)P(Bk)P(ABk)P(ABk) n

P(A)P(Bi)P(ABi)i1

4．随机变量及其分布

分布函数计算

P(aXb)P(Xb)P(Xa)

F(b)F(a)

5．离散型随机变量

(1) 0 – 1 分布

P(Xk)pk(1p)1k,k0,1

(2) 二项分布 B(n,p) 若P ( A ) = p

kkP(Xk)Cnp(1p)nk,k0,1,,n

*Possion定理

limnpn0

n有

limCp(1pn)nknknnkk!

k0,1,2,ek

(3) Poisson 分布 P()

P(Xk)e

kk!,k0,1,2,

6．连续型随机变量

(1) 均匀分布 U(a,b)

1,axb f(x)ba0,其他0,xaF(x),

ba1

(2) 指数分布 E()

xe,x0 f(x)其他0,x00, F(x)x1e,x0

(3) 正态分布 N ( ,  2 )

f(x)1e2(x)222x

F(x)12xe(t)222dt

*N (0,1) — 标准正态分布

(x)1e2x22x

t22

1(x)2xedtx

7.随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数

F(x,y)xyf(u,v)dvdu

边缘分布函数与边缘密度函数

FX(x)xf(u,v)dvdu

fX(x)f(x,v)dv

yFY(y)f(u,v)dudv

fY(y)f(u,y)du

 8.连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )

1,(x,y)Gf(x,y)A

其他0,

(2)

二维正态分布

f(x,y)121212e(x1)2(x1)(y2)(y2)222122(12)2211

x,y

9.

二维随机变量的 条件分布

f(x,y)fX(x)fYX(yx)

fY(y)fXY(xy)fX(x)0 fY(y)0

fX(x)f(x,y)dyfXY(xy)fY(y)dy

fY(y)f(x,y)dxfYX(yx)fX(x)dx



fYX(yx)fX(x)f(x,y)  fXY(xy) fY(y)fY(y)fXY(xy)fY(y)f(x,y) fYX(yx) fX(x)fX(x)

10.随机变量的数字特征

数学期望

E(X)xkpk

k1E(X)xf(x)dx



随机变量函数的数学期望

X 的 k 阶原点矩

E(Xk)

X 的 k 阶绝对原点矩

E(|X|k)

X 的 k 阶中心矩

E((XE(X))k)

X 的 方差

E((XE(X))2)D(X)

X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩

E(XkYl)

X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩

E(XE(X))k(YE(Y))l

X ,Y 的 二阶混合原点矩

E(XY)

X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差

E(XE(X))(YE(Y))

X ,Y 的相关系数

(XE(X))(YE(Y))XY ED(X)D(Y)

X 的方差

D (X ) = E ((X - E(X))2)

D(X)E(X2)E2(X)

协方差

cov(X,Y)E(XE(X))(YE(Y))

E(XY)E(X)E(Y) 1D(XY)D(X)D(Y) 2相关系数

XY

cov(X,Y)

D(X)D(Y)