竖直、水平面内圆周运动中的临界问题和周期性问题

一、圆周运动问题的解题步骤：

1、确定研究对象

2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源

v22m2rm()2r……列方程求解 5、由牛顿第二定律FnmanmrT二、临界问题常见类型：

1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有

绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动

三、竖直面内的圆周运动的临界问题

1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 mg mg

O O

轨道

① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：

mg=mv/R→v临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力

②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）

例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=，绳子长度为l=60cm，求：

2

（g取10m/s）

A、最高点水不留出的最小速度

B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力 答案：（1）6m/s （2）

2

变式1、如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少小球的受力情况分别如何(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少

2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：

汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度

mg O vgr时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，

因为桥面不能对汽车产生拉力．

例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。今给小物体一个水平初速度A.沿球面下滑至 M 点

B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动

3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题

物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态．

（一）轻杆模型

如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动．

(1)能过最高点的临界条件是：v0．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力Nmg．

(2)当0vv0Rg，则小物体将（ ）

Rg时，0Nmg，N仍为支持力，且N随v的增大而减小，

(3)当v(4)当vRg时，N＝0，此为轻杆不受弹力的临界条件． Rg时，N随v的增大而增大，且N为拉力指向圆心，

例3、如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点A时的速度vA;(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离。

解：(1)小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有：

vA2mL mg=

解得:

vAgL。

(2)小球在B点时根据牛顿第二定律有

vB2T-mg=mL

其中T=6mg

解得小球在B点的速度大小为vB=5gL

细线断裂后，小球从B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得:

12gt竖直方向上1.9L-L=2

(2分) (2分) (2分)

水平方向上x=vBt 解得:x=3L 即小球落地点到C点的距离为3L。 答案:(1)gL

(2)3L

㈡管道模型

质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r远小于球的圆周运动的半径R)，如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：

(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为vRg．

v2(2)当vRg时，对下管壁有压力，此时Nmgm，故0Nmg。

Rv2mg。 (3)当vRg时，对上管壁有压力，此时NmR实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型．

例4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是 。 解：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。 据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有：

2v0v12N1mgm1 同理m2在最高点有： N2mgm2

RRm2球由最高点到最低点机械能守恒： 2m2gR112 m2v12m2v022N1N2

由上述方程可得：v0(5m2m1)gR

m2m1 【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。 四、水平面内圆周运动中的临界问题： 解决圆周运动中临界问题的一般方法 1、对物体进行受力分析

2、找到其中可以变化的力以及它的临界值

3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值

4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值

例5、水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大

2mgmr 解：由

A O’得：

gr

点评：提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值

变式5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ ，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少 解：

例6、如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大

解：当ω渐大，AC绳与杆夹角变大，但BC绳还没拉直。

B A 30° 45° C

FNm2rFNmg得

gr当AC绳与杆夹角为30°时，BC绳处在虚直状态。之后ω再增大， BC绳上也会有拉力。所以BC绳虚直为临界状态。

02mgtan30m0Lsin30gLcos3010322102.4rad/s3

∴

0，BC绳上有拉力。

A 30° B 分析小球，由牛顿第二定律：

TACcos30TBCcos45mg2TACsin30TBCsin45mLsin30

32TTBCmgTAC2AC21T2T1m2LT17ACBCBC222

变式6-1：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角θ=60°。此时小球静止于光滑水平面上。

31N1026N20

45° C

θ （1）当小球以

gL 做圆锥摆运动时，绳子张力多大桌面支持力多大 4gL 做圆周运动时，绳子张力多大桌面受到的压力多大

（2）当小球以

答案：（1）T=mg (2)T=4mg

FN1mg2

FN0变式6-2、如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。 ⑴当v＝⑵当v＝1

gL 时，求绳对物体的拉力； 6

3

gL 时，求绳对物体的拉力。 2

N

T θ mg

解：物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，当角速度ω很小时，物体在圆锥体上运动。

v2TsinNcosmLsinTcosNsinmgT由（2）得：

(1)(2)

mgNsincos

v2mgtanN(tansincos)mLsin 代入（1）得：

由此可得，当v增大时，N减少。∴当ω大到一定值时，物体将离开锥面，绳与竖直方向的夹角将变大。

显然当球与锥面虚接触（即N=0，θ=30°）时的线速度值为物体的临界速度。对球分析，由牛

2Tv02m2L3Tmg顿第二定律：2(3)(4)

T23mgv033gL6

(1)(2)

⑴当

v1v12TsinNcosmLsingLv0TcosNsinmg6，所以N>0。NmgTcossin

由（2）得：

v12T(sincotcos)mgcotmLsin 代入（1）得：

vmgcotLsinTsincotcosm20mgLmg316L3312mg1.03mg613322

⑵当

v23gLv02，此时N=0，但夹角变大，不为30°

v2TsinmLsinTcosmg(5)(6)

sinv2mgmgmTcosLsin cos由（6）得：（7），代入（5）得：

3gLsinv21.5cosgLgL60代入（7）得：

22T2mg

例7、如图所示，细绳一端系着质量M＝的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝的物体，M的中与圆孔距离为，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态（g＝10m／s2）

553rad/s15rad/s3（ω的范围是：3

即 rad／s＜ω＜ rad／s）

M r o m

变式7：在以角速度ω匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，通过一条光滑的细绳，由转台中央小孔穿下，连接着一m的物体，如图所示。设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力的k倍，且转台不转时M不能相对转台静止。求：

（1）如果物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件相同，则转台转动的角速度ω满足什么条件，物体M才能随转台转动

（2）物体M随转台一起以角速度ω匀速转动时，物体离转台中心的最大距离和最小距离。

答案：（1）

230rad/s3

M m （2）25rad/s

例8、 如图所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为rA0.2m，

rB0.3m，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的倍，取g10m/s2。

（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围； （2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角度速度应满足的条件。 OAB 02答案：（1） 10rad/s3 （2）25rad/s 变式8：如图，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心的距离r1=20cm，B离轴心的距离r2=30cm，A和B与盘面间相互作用的最大静摩擦力均为重力的倍，求：

（1）若细线上没张力，圆盘转动的角速度应该满足什么条件

（2）欲使A、B与盘间不发生相对滑动，圆盘转动的最大角速度为多少 （3）当A即将滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何

B AO 230rad/s3答案：（1） （2）4rad/s

（3）A继续做圆周运动，B做离心运动 五、圆周运动的周期性问题：

O’ 利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。

在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。 例9：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。

【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了一定角度的圆周运动。

1解：①小球做平抛运动，在竖直方向上：h＝2gt2

2hg

则运动时间t＝

gR又因为水平位移为R， 所以球的速度 v＝t＝R·2h

②在时间t内，盘转过的角度θ＝n·2π，又因为θ＝ωt

gn2则转盘角速度：ω＝t＝2nπ2h(n＝1，2，3…)

【总结】上题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两种不同运动规律在解决同一问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。

变式9-1：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件

【审题】下落的小球P做的是自由落体运动，小球Q做的是圆周运动，若要想碰，必须满足时间相等这个条件。

解：设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得

2h12gt2=h 求得t=g

Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有

2hT2π2πgt=(4n+1)4(n=0，1，2，3……) 两式联立再由T=得 (4n+1)=

π所以ω=2(4n+1)

g2h (n=0，1，2，3……)

【总结】由于圆周运动每个周期会重复经过同一个位置，故具有重复性。在做这类题目时，应该考虑圆周运动的周期性

六、圆周运动中的临界问题练习：

1、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求： ⑴当转盘角速度ω1＝⑵当转盘角速度ω2＝

μg

时，细绳的拉力T1。 2r

3μg

时，细绳的拉力T2。 2r

ω r o

1mg2答案：（1）0 （2）

2、

（ABD）

3、

( BD )

4、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ B ）

MmgmRA．

MmgmRC．

MmgmRB． MgD．mR

5、在光滑的水平面上钉有两个钉子A和B.相距20cm.用一根长度为1m的细绳.一端系一个质量为0.4kg的小球.另一端栓在钉子A上.使小球开始位于A的左边.并以2m/s的速率在水平面上绕A做匀速圆周运动.若绳子承受4N的拉

力就会断.那么从开始运动到绳被拉断.小球转的半圆周数（ B ） .3 C

6.如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，物块用长为的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计.细线能承受的最大拉力为8N. A、B间的动摩擦因数为，B与转盘间的动摩擦因数为，且可认为最大静

摩擦力等于滑动摩擦力.转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零.当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F.试通过计算在坐标系中作出F图象. g取10m/s2. 解：

2A B 11gr12rad/s0.25T0

[0,2]2g244rad/sr0.25

2m2r2mg

T2m2r12mg0.522[2,4] T

2m12r22mg2420.2526N<8NTmax1mg816rad/s 3mr10.25

22Tmrmg0.2511

[4,6]

小结：多物体、拉力、静摩擦力变化。抓住各物体达到最大静摩擦力，拉力达到最大值。 注意各个临界值达到的顺序，和物体飞出对拉力的影响。