武安市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

武安市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|A．﹣1 B．1

2． 设函数f（x）=A．0

B．1

C．2

D．3

，则f（1）=（ ）

C．﹣

D．

|=

，则

•

=（ ）

3． 设集合Ax|（ ）

x30,集合Bx|x2a2x2a0,若 AB,则的取值范围 x1A．a1 B．1a2 C.a2 D．1a2 4． 由直线

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

A B1 CD

有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（ ）

C．

D．

5． 如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆 A．

6． 已知f（x）=

A．﹣1 B．0

7． 给出下列两个结论：

B．

，则f（2016）等于（ ）

C．1

D．2

①若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；

②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；

则判断正确的是（ ）

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精选高中模拟试卷

A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错

8． 已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有

成立，下列结论中错误的是（ ）

A．f（3）=0

B．直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴 C．函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点

D．函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数

9． 若复数（m2﹣1）+（m+1）i为实数（i为虚数单位），则实数m的值为（ ） A．﹣1 B．0

C．1

D．﹣1或1

10．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为

1时，则输入的值为（ ） 2

A．2 B．1 C．1或2 D．1或10

x2y211．已知直线l：ykx2过椭圆221(ab0)的上顶点B和左焦点F，且被圆

ab45，则椭圆离心率e的取值范围是（ ） x2y24截得的弦长为L，若L55（A） 0， （ B ） 5250，5 （C） 350， （D） 5450， 512．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ）

A．1372 B．2024 C．3136 D．4495

二、填空题

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13．设不等式组

的概率是 ．

表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2

1lnx，x1，x 若14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fx{m52x2mx，x1，28gxfxm有三个零点，则实数m的取值范围是________．

15．设实数x，y满足

，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值

为 ． 16．长方体ABCDA1BC11D1中，对角线AC1与棱CB、CD、CC1所成角分别为、、， 则sin2sin2sin2 ．

17．对于函数yf(x),xR,,“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”

的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 18．已知面积为

的△ABC中，∠A=

若点D为BC边上的一点，且满足

=

，则当AD取最小时，

BD的长为 ．

三、解答题

19．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=（Ⅰ）集合M，N；

（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．

的定义域为集合N．求：

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20．已知函数f（x）=（1）求m和t的值；

在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）

（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

21．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

22．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点． （1）求证：AC⊥平面BDEF；

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（2）求二面角H﹣BD﹣C的大小．

23．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1} （1）若a=，求A∩B．

（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

24．（本小题满分12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1 000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：

分数段 [40，50） [50，60） [60，70） 理科人数 文科人数 第 5 页，共 18 页

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[70，80） [80，90） [90，100] 率分布直方图．

正 正 正 （1）从统计表分析，比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况，并绘制理科数学成绩的频

（2）根据你绘制的频率分布直方图，估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分．

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武安市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|即有|则即有

，•|2+|

|2=|

|2，

可得△OAB为等腰直角三角形，

的夹角为45°， =|

|•|

|•cos45°=1×

×

=1．

|=

，

故选：B．

【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．

2． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）=f（1）=f[f（7）]=f（5）=3． 故选：D．

3． 【答案】A 【解析】

，

考

点：集合的包含关系的判断与应用.

【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 4． 【答案】D

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【解析】由定积分知识可得5． 【答案】D

【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2）， 联立

2222

，得（2k+1）x+8kx+8k﹣2=0，

，故选D。

∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆

422

∴△=64k﹣4（2k+1）（8k﹣2）≥0，

有公共点，

，

]．

整理，得k解得﹣

2

， ．

≤k≤

∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣故选：D．

【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．

6． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）=

，

∴f（2016）=f（2011）=f（2006）=…=f（1）=f（﹣4）=log24=2， 故选：D．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．

7． 【答案】C

【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．

②根据逆否命题的定义可知②正确． 故选C．

【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．

8． 【答案】D

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【解析】解：对于A：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3）， ∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3）， ∴f（3）=0，故A正确；

对于B：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数， ∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x）， ∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），

∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即B正确；

对于C：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0， ∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数， ∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9）， ∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C正确； 对于D：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有

∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，

∴y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数， ∴y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D错误． 综上所述，命题中正确的有A、B、C． 故选：D．

【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．

9． 【答案】A

2

【解析】解：∵（m﹣1）+（m+1）i为实数， ∴m+1=0，解得m=﹣1， 故选A．

10．【答案】D 【解析】

，

2xx011x试题分析：程序是分段函数y ，当x0时，2，解得x1，当x0时，lgx，

22lgxx0解得x10，所以输入的是1或10，故选D.

考点：1.分段函数；2.程序框图.11111] 11．【答案】 B

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【解析】依题意，b2,kc2.

4516,解得d2 55。

111612又因为d，所以解得,k1k254。 1k2设圆心到直线l的距离为d，则L24d2254c2c2120e.故选B． 0e,e于是55解得a2b2c21k2，所以

12．【答案】

C

【解析】

2【专题】排列组合．

点在另一条边，根据分类计数原理可得． 上，有4种方法，

【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其

33

再在选出的三条边上各选一点，有7种方法．这类三角形共有4×7=1372个．

另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法， 4×21×21=1764个． 故选：C．

再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．

【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外 区域D：

表示正方形OABC，（如图） ．

其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）． 因此在区域D内随机取一个点P，

则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内， 且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分

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22

∵S正方形OABC=2=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•2=4﹣π

∴所求概率为P=故答案为：

=

【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．

14．【答案】1，

74【解析】

15．【答案】 6 ．

【解析】解：∵ =（2x﹣y，m），=（﹣1，1）． 若∥， ∴2x﹣y+m=0， 即y=2x+m，

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作出不等式组对应的平面区域如图： 平移直线y=2x+m，

由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大． 由解得

，

，代入2x﹣y+m=0得m=6．

即m的最大值为6． 故答案为：6

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．

16．【答案】 【解析】

试题分析：以AC1为斜边构成直角三角形：AC1D,AC1B,AC1A1，由长方体的对角线定理可得：

2BC12DC12AC2(AB2AD2AA12)11sinsinsin2. 2222AC1AC1AC1AC1222

考点：直线与直线所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的

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能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键． 17．【答案】必要而不充分 【解析】

试题分析：充分性不成立，如yx2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，yf(x)是奇函数，

|f(x)||f(x)||f(x)|，所以y|f(x)|的图象关于y轴对称.

考点：充要关系

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1.定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

2.等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3.集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 18．【答案】

．

【解析】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系， 根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0）， 则

=（﹣2x，﹣y），

=（x，﹣y）， ，

⇒

=

cos

=9，

=18，

∵△ABC的面积为∴∵

22

∴﹣2x+y=9，

∵AD⊥BC， ∴S=•由故答案为：

•

=得：x=

． ⇒xy=3

， ，

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【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得 x＞，∴M={x|x＞}．

由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得 x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或 x＞3}． （2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或 x＞3}， ∴CR（M∪N）=．

【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．

20．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=由题意可得，f（）=即

=

，且

，f′（）=， =，

，

由m∈N，则m=1，t=8； （2）设h（x）=ax+﹣h（）=﹣≥0，即a≥， h′（x）=a﹣

，当a≥时，若x＞

，h′（x）＞0，①

，x≥．

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若≤x≤，设g（x）=a﹣，

＜0，g（x）在[，

]上递减，且g（）≥0，

g′（x）=﹣

则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②

≥0，

由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立； 当a＜时，h（）＜0，不合题意． 综上可得a≥．

【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．

21．【答案】

【解析】

【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置． 【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 从而AC⊥平面BDE．…（4分）

解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．

0

因为BE与平面ABCD所成角为60，即∠DBE=60°， 所以

．

，

，

．

，

． ，即

．

，B（3，3，0），C（0，3，0），

由AD=3，可知则A（3，0，0），所以

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则令

，则=

．

为平面BDE的法向量，

因为AC⊥平面BDE，所以．

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所以cos．

．…（8分）

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）． 则． 因为AM∥平面BEF，

所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2． 此时，点M坐标为（2，2，0）， 即当

时，AM∥平面BEF．…（12分）

22．【答案】

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD．

又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD， 且AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥平面BDEF；

（2）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，

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∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点， ∴ON∥ED， ∵ED⊥平面ABCD， ∴ON⊥平面ABCD，

由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．

∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系． ∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3， ∴B（1，0，0），D（﹣1，0，0），H（，∴

=（﹣，

，），

=（2，0，0）．

，）

设平面BDH的法向量为=（x，y，z），则令z=1，得=（0，﹣则cos＜

，1）

由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为

，＞=﹣，

=（0，0，﹣3），

由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角， ∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°

【点评】本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．

23．【答案】

【解析】解：（1）当a=时，A={x|

}，B={x|0＜x＜1}

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∴A∩B={x|0＜x＜1} （2）若A∩B=∅

当A=∅时，有a﹣1≥2a+1 ∴a≤﹣2 当A≠∅时，有∴﹣2＜a≤综上可得，

或a≥2

或a≥2

【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．

24．【答案】

【解析】解：（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，频率分布直方图如下．

（2）从频率分布直方图知，数学成绩有50%小于或等于80分，50%大于或等于80分，所以中位数为80分． 平均分为（55×0.005＋65×0.015＋75×0.030＋85×0.030＋95×0.020）×10＝79.5， 即估计选择理科的学生的平均分为79.5分．

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