2014—2015学年第一学期高三期中调研测试试卷

数 学 2014.11

注意事项：

1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．

2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置) ．．．1．集合1,2的子集个数为 ▲ ． 2．“x0，x1x”的否定是 ▲ ． 3．函数fxsinxcosx的最大值是 ▲ ． 4．已知tan15,且(3,2)，则cos＝ ▲ ． 25．等差数列{an}中，a1a22,a7a88,则该数列前十项的和S10 ▲ ． 6．平面向量a(3,1)，b(23,2)，则a与b的夹角为 ▲ ．

A7．已知f(x)ax3cx2，若f(5)7，则f(5) ▲ ． 8．如图，在ABC中，已知B4，D是BC边上一点，AD10， BDCAC14，DC6，则AB ▲ ．

9．已知直线axby30与f(x)xex在点P(1,e)处的切线互相垂直，

则

a ▲ ． b10．函数ylgx11的零点个数是 ▲ ．

x11．已知平行四边形ABCD中，AB2，为 ▲ ．

12．已知正实数x,y满足x2y4，则

高三数学 期中试卷 第 1 页 共 14 页

ABABADAD3ACAC，则平行四边形ABCD的面积

y1的最小值为 ▲ ． 4xyx22ax(x≥1)13．已知函数f(x)，若存在两个不相等的实数x1,x2，使得f(x1)f(x2)，

2ax1(x1)则a的取值范围为 ▲ ．

14．若关于x的不等式ax2＋x－2a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为 ▲ ． 二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)

已知向量a3sinx,cosx，bcosx,cosx，f(x)2ab1．

(1)求函数f(x)的单调递减区间及其图象的对称轴方程； (2)当x0,时，若f(x)1，求x的值．

16．(本题满分14分)

已知△ABC的面积为S，且ABACS． （1）求tanA的值； （2）若B

高三数学 期中试卷 第 2 页 共 14 页

4，c3，求△ABC的面积S．

17．(本题满分14分)

如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为100km，从A到C，必须先坐船到BC上的某一点D，船速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记BDA．

（1）试将由A到C所用的时间t表示为的函数t()； （2）问为多少时，由A到C所用的时间t最少？

18．(本题满分16分)

BθDCA已知函数f(x)x21，g(x)ax1，F(x)f(x)g(x)． (1) a2，x0,3，求F(x)值域； (2) a2，解关于x的不等式F(x)≥0．

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19．(本题满分16分) 设函数f(x)x3b2xcx2(b,cR)．

（1）b2，c1，求yf(x)的单调增区间；

（2）b6，g(x)f(x) ，若g(x)≤kx对一切x0,2恒成立，求k的最小值h(c)的

表达式；

20．(本题满分16分)

已知等差数列an，其前n项和为Sn.若S44S2,a2n2an1． （1）求数列an的通项公式；

（2）对任意mN*，将数列an中落入区间(2,2m2m)内的项的个数记为bm；

①求数列bm的通项公式bm； ②记cmTmt21T，数列的前项和为，求所有使得等式成立 cmmm2m12bmTm1tct1 的正整数m，t．

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2014—2015学年第一学期高三期中调研测试试卷

数 学 (附加) 2014.11

注意事项：

1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．

2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．

3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．(几何证明选讲) （本小题满分10分）

如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D，E， 求证：AB·CD = BC·DE．

ME

DC

B

A NB．(矩阵与变换)

（本小题满分10分）

10已知曲线C: y22x，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵0201N对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程． 10

C．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）

已知曲线C1的极坐标方程为cos1，曲线C2的极坐标方程为322cos

，判断两曲线的位置关系． 4高三数学 期中试卷 第 5 页 共 14 页

D．(不等式选讲)

（本小题满分10分）

已知a，b是正实数，求证：(1ab)(1a2b2)≥9ab．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写．．．．．．．出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)

在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，ADDP，

CD平面ADPQ，ABAQ（1）求证：PQ平面DCQ；

1DP． 2（2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．

23．(本小题满分10分)

C B D A

Q P

某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去A,B,C三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员． （1）求甲、乙同时去A班听课的概率；

（2）设随机变量为这五名评估员去C班听课的人数，求的分布列和数学期望．

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2014—2015学年第一学期期中考试

高三数学参

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

12p1．4 2．$x>0,使x1x 3．1 4． 5． 30 6． 7．-3

2438．56 9．-123 10．3 11．23 12．1 13．a³0 14． [,) 2e77二、解答题 (本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)

解：解：（1）f(x)2(3sinxcosxcos2x)13sin2xcos2x

2sin(2x) …………………………………………………………………………2分 6322k2x2kkxk，…………………………5分

262632],kZ-------------------------------------6分 即函数f(x)的单调递减区间[k,k63k，------------------------------------------------------------8分 令2xkx6226k,kZ-----------------------------------------------9分 即函数f(x)的对称轴方程为x261（2）f(x)1，即2sin(2x)1sin(2x)-------------------------------10分

66213x0,2x[,]；

6667x----------------------------------------------------------------------------------12分

662115x 2x-------------------------------------------------------------------------------14分

666（注：kZ漏写扣1分） 2x16．(本题满分14分)

（1）设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.

1ABACS,bccosAbcsinA,-----------------------------------------------------------3分

21cosAsinA, tanA2. ------------------------------------------------------------6分

2高三数学 期中试卷 第 7 页 共 14 页

（2） tanA2,0A2,

sinAsinCsinABsinAcosBcosAsinB255,cosA. --------------------------------------------------------------------------9分 55

25252310.-----------------------------------------------------------11分 525210cbc由正弦定理知：bsinB5,---------------------------------13分

sinCsinBsinC1125SbcsinA533.----------------------------------------------------------14分

22517．(本题满分14分)

解：（1）AD50，所以A到D所用时间 sinBt12---------------------------------------------------2分 sin5050cos50cos， CD100BD100tansinsincos---------------------5分 sinθDC BDA 所以D到C所用时间t22 所以t()t1t22cos2------------------------6分

sinsin2(2cos)cos12cos （2）t()----8分

sin2sin2 令t()0cos1；所以(,)，t()单调增；------10分 23232 令BCA0，则同理0所以3，t()0，t()单调减-----------------------12分

3，t()取到最小值；---------------------------------------------------------13分

答：当3时，由A到C的时间t最少----------------------------------------------14分

注：若学生写018．(本题满分16分)

3，t()0，t()单调减，不扣分

高三数学 期中试卷 第 8 页 共 14 页

x22x1解：（1）F(x)f(x)g(x)x12x12x2x32(1x3)；-----------------2分

(0x1)1x3，x22x10,4；--------------------------------------------------------------------------4分 0x1，x22x33,0；------------------------------------------------------------------------6分

所以F(x)f(x)g(x)的值域为[3,4]；-----------------------------------------------------------7分

(x1)(x1a)（2）F(x)(x1)(x1a)(x1)；-----------------------------------------------------------9分 (x1) x1，F(x)0，a2，得x1或xa1；xa1或x1--------------------------12分 x1，F(x)0，得xa1或x1；xa1------------------------------------------14分 综上：F(x)0xa1或xa1或x1--------------------------------------------------16分

19．(本题满分16分)

解： （1）f(x)x3x2xx(x2x1)(x 1515)x(x)0 221515x0或 x-------------------------------------------------------1分 221 f(x)3x22x1(x1)(3x1)0x1或x-----------------------------2分

31515,1)与(,)为yf(x)单调增区间；----------------------3分 所以(221515 同理 f(x)0x或0x----------------------------------------4分

221 f(x)01x----------------------------------------------------------------------5分

31 所以(0,)为yf(x)单调增区间---------------------------------------------------------6分

315151,1)， (0,)， (,)-----7分 综上 yf(x)的单调增区间为(22332（2）g(x)≤kx即|x3xcx|≤kx．

当x0时，上式对一切x[0,2]恒成立；

当x(0,2]时，即|x23xc|≤k对一切x(0,2]恒成立．

∴h(c)|x23xc|max，x(0,2]--------------------------------------------------------9分

9I）当c≥时，|x23xc|max在x0时取得，∴h(c)c---------------------10分

4高三数学 期中试卷 第 9 页 共 14 页

II）当c9时， 4 （ⅰ）若c0 则c9c2c0 49c-------------------------------------------------------------12分 4 所以|x23xc|max （ⅱ）0c 因为2c9 49c，且c2c所以c2不会是最大值；---------------------13分 499c(c),9842 所以|x3xc|maxmax{c,c}----------------------------15分

994c(c≤).849c(c),8 由I），II），得h(c)---------------------------------------------------16分

99c(c≤).84

20．(本题满分16分)

解：（１）S44S22a15d6a13d，即d2a1；------------------------------1分

a2n2an1annd1； ------------------ ------------------------------------2分

所以a11,d2，an2n1；------------------ ------------------------------------4分 （２）22n12m2m2m12n22m1------------------ -----------------6分

2m1得bm211n22m12m11n22m1；------------------ -------------8分 222m12m1； ------------------ ------------------------------------------------9分

cm21m22()；------------------ -------------------------------------10分

222m1bm2m1高三数学 期中试卷 第 10 页 共 14 页

1，------------------ -------------------------------------------------------------11分 m2Ttc211由m，得1m11ct，化简得， (4t)2m42t2Tm1tct1Tmt得Tm41即(4t)2m42t1，即(4t)2m42t1．------------------------------------------- 13分（*） 因为2t140，所以(4t)2m0，所以t4，

*因为tN，所以t1或2或3．

m当t1时，由（*）得325，所以无正整数解；

m当t2时，由（*）得226，所以无正整数解；

m当t3时，由（*）得28，所以m3．

综上可知，存在符合条件的正整数mt3．-------------------------------------------16分

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．(几何证明选讲, 本题满分10分) 证明：由相交弦定理，得

AC·CD = MC·NC．

BC·CE = MC·NC． ∴AC·CD = BC·CE． ……………3分 即（AB  BC）·CD = BC·（CD  DE）． ……6分 也即AB·CD  BC·CD = BC·CD  BC·DE． ∴AB·CD = BC·DE． ………………10分

B．(矩阵与变换, 本题满分10分) 解：设ANM

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MECBAND011002则A0210， ………………………………………………………3分 10设Px', y'是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为Px, y， x02x'2y'则 y'x'， 10yx'y,x2y',即∴1x. ……………………………7分 y'yx',2又点Px', y'在曲线C: y22x上，∴ (1x)22y，

2即y1x2．………………………………10分

8

C．(极坐标与参数方程, 本题满分10分)

解：将曲线C1,C2化为直角坐标方程得：

C1:x3y20，----------------------------------------------------------------------3分

C2:x2y22x2y0-------------------------------------------------------------------6分

即C2:x1y12，

22圆心到直线的距离d1321232332，-------------------------8分 2∴曲线C1与C2相离．-----------------------------------------------------------------------10分

D．(不等式选讲, 本题满分10分)

∵a，b是正实数， ………………………… 2分

∴1ab≥33ab，1a2b2≥33a2b2． ………………………… 5分 当a＝b时，以上两个不等式均取等号． ………………………… 7分

高三数学 期中试卷 第 12 页 共 14 页

相乘，得(1ab)(1a2b2)≥9ab． ………………………… 10分

22．(本题满分10分)

（1）由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ……………………1分 设ABa，则D(0,0,0)，C(0,0,a)，Q(a,a,0)，P(0,2a,0)，

故DC(0,0,a)，DQ(a,a,0)，PQ(a,a,0)， ………………2分 因为DCPQ0，DQPQ0，故DCPQ，DQPQ， 即DCPQ，DQPQ， 又DCDQD ……4分

所以，PQ平面DCQ． ………………………5分 （2）因为DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量

为n1(0,0,1)， --------------------------------6分 点B的坐标为(a,0,a)，则QB(0,a,a)，QC(a,a,a)， 设平面BCQ的一个法向量为n2(x,y,z)，则n2QB0，n2QC0，

yz0,ayaz0,故即取yz1，则x0，

xyz0,axayaz0,故n2(0,1,1)． -------------------------------------------------------------------------------------------8分

n1n212设n1与n2的夹角为，则cos．-------------------------------------- 9分 |n1||n2|22所以，平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小为

23．(本题满分10分)

（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个

3322班级各两个、另一个班级一个。故总共的听课可能性有C5A33C5C3150种，其中甲乙同时

-------------------------------------- 10分 4高三数学 期中试卷 第 13 页 共 14 页

2211去A班听课的可能性有C3-------------------------------------2分 A2C3C212种

所以所求概率为P122 15025---------------------------------------------4分

（2）可取值为1，2，3

112C52C4C47P1

150151C522C36P2

1501531C5C22P3

15015 ----------------------------------------------8分

从而分布列为：

 P 1 2 3

762 1515157625E123 -------------------------------------10分

1515153

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