圆锥曲线高考真题

（2）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积最大值.

2y2x2.设F1,F2分别是椭圆221ab0的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂ab直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a,b.

3.已知椭圆C：，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

(1) 证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；

（2）若过点（）,延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.

4.已知抛物线C：y22x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

5.已知抛物线C：y=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

2

x2y26.已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为

43M1，mm0．

1（1）证明：k；

2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．

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x2y237.已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，且经过点(0,1)，圆

2abC1:x2y2a2b2。 （1）求椭圆C的方程；

（2）直线l:ykmm(k0)与椭圆C有且只有一个公共点M，且l与圆C1相交于

A,B两点，问是否存在这样的直线l，使得AMMB？若存在，求出l的方程，若不存在，请说明理由。

8.已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，点F在

x轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列。 （1）当C2的准线与C1的右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程；

（2）设过点F且斜率为1的直线l交C1于P,Q两点，交C2于M,N两点。当PQ求MN的值。

36时，7x2y29.如图，椭圆221(ab0)的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．

ab（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（2）设过点F的直线l交椭圆于A，B两点．若直线l绕点F任意转动，恒有y l 222OAOBAB，求a的取值范围． A

O B F x 10.设椭圆中心在坐标原点，A(2，，0)B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （1）若ED6DF，求k的值； （2）求四边形AEBF面积的最大值．

C1和C2有公共焦点F，11.已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，点F在

x轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列。

（1）当C2的准线与C1的右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程；

（2）设过点F且斜率为1的直线l交C1于P,Q两点，交C2于M,N两点。当PQ时，求MN的值。

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x2y21的顶点，过坐标原 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆42

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的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

13.平面内与两定点A1(a,0)，A2(a,0)(a0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线． （1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；

（2）当m1时，对应的曲线为C1；对给定的m(1,0)U(0,)，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点。试问：在C1撒谎个，是否存在点N，使得△F1NF2的面积

S|m|a2。若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由。

x2y23214.如图7，椭圆C1:221(ab0)的离心率，x轴被曲线C2:yxb 截得

2ab的线段长等于C1的长半轴长。

（1）求C1，C2的方程；

（2）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．（i）证明：MD⊥ME;（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2．问：是否存在直线l,使得

S117请说明理由。 S23215.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． （1）设e1，求BC与AD的比值； 2（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

y21在y轴正半轴16.已知O为坐标原点，F为椭圆C:x22上

的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点P 满足OAOBOP0.

（1）证明：点P在C上；

（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

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17.在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，-1），B点在直线y3上，M点满足MB//OA，

MAABMBBA，M点的轨迹为曲线C．

（I）求C的方程；

（II）P为C上动点，l为C在点P处的切线，求O点到l距离的最小值．

x2y21交于Px1,y1、Qx2,y2两不同点，且△OPQ的18.已知动直线l与椭圆C: 32面积SOPQ=6,其中O为坐标原点. 22222（1）证明x1x2和y1y2均为定值;

（2）设线段PQ的中点为M，求|OM||PQ|的最大值；

（3）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得SODESODGSOEG的形状；若不存在，请说明理由.

6?若存在，判断△DEG219.如图，设P是圆xy25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且MD224PD 54的直线被C所截线段的长度 5（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

20. 椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直

线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q． （I）当|CD | =

32时，求直线l的方程； 2（II）当点P异于A、B两点时，求证：OPOQ 为定值。

x2y221.已知斜率为1的直线l与双曲线C:221(a0,b0)相交于B、D两点，且BDab的中点为M(1,3) （Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF||BF|17

证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。

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