高三数学函数图像与性质专题

培优一 函数的图象与性质

一、函数的单调性

例1：对于函数f(x)，若a，b，cR，都有f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三条边，则称

extef(x)为“可构造三角形函数”，已知函数f(x)x（为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，

e1则实数t的取值范围是（ ） A．[0,) 【答案】D

【解析】由题意可得：f(a)f(b)f(c)，对a，b，cR恒成立，

B．[0,2]

C．[1,2]

D．,2

21extt1，当t10时，f(x)1，f(a)f(b)f(c)1，满足条件， f(x)x1xe1e1当t10时，f(x)在R上单调递减，∴1f(a)1t1t， 同理：1f(b)t，1f(c)t，

∵f(a)f(b)f(c)，所以2t，∴1t2． 当t10时，f(x)在R上单调递增，∴tf(a)1， 同理：tf(b)1，tf(c)1，∴2t1，t11．∴t1． 22综上可得：实数t的取值范围是,2．

2

1

二、函数的奇偶性和对称性

例2：设函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)2x，若对x[1,2]， 不等式af(x)g(2x)0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．1, 【答案】C

【解析】∵f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)为定义在R上的偶函数， ∴f(x)f(x)，g(x)g(x)，

又∵由f(x)g(x)2x，结合f(x)g(x)f(x)g(x)2x， ∴f(x)B．22,

C．17, 6D．257,

601x1(22x)，g(x)(2x2x)， 22ax1(22x)(22x22x)0， 22又由af(x)g(2x)0，可得

∵1x2，∴

3152x2x， 242． t令t2x2x，则t0，将不等式整理即得：at∵

31517225717t，∴t，∴a．故选C． 246t606三、函数的周期性

例3：定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)f(2x)，当x[0,2)时，f(x)4x28x．若在 区间[a,b]上，存在m(m3)个不同的整数xi（i1，2，L，m），满足则ba的最小值为（ ） A．15 【答案】D

B．16

C．17

D．18

i1m1f(xi)f(xi1)72，

【解析】定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)f(2x)，可得f(x)关于直线x2对称， 且f(x4)f(x)f(x)，则f(x8)f(x4)f(x)，∴f(x)的周期为8． 函数f(x)的图象如下：

比如，当不同整数xi分别为1，1，2，3，5，L时，ba取最小值， ∵f(1)4，f(1)4，f(2)0，

72318，则ba的最小值为18，故选D． 12四、函数性质的综合应用

例4：已知f(x)为定义在R上的偶函数，g(x)f(x)x2，且当x(,0]时，g(x)单调递增， 则不等式f(x1)f(x2)2x3的解集为（ ）

A．3, 2B．(,3) C．(,3)

D．3, 2【答案】D

【解析】由题意，函数f(x)为定义在R上的偶函数，且g(x)f(x)x2，

则g(x)f(x)(x)2f(x)x2g(x)，所以函数g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称， 当x(,0]时，g(x)单调递增，所以当x(0,)时函数g(x)单调递减， 又由g(x1)f(x1)(x1)2f(x1)x22x1，

g(x2)f(x2)(x2)2f(x2)x24x4，

所以不等式f(x1)f(x2)2x3等价于g(x1)g(x2)，

所以x1x2，平方得x22x1x24x4，解得x3． 2即不等式f(x1)f(x2)2x3的解集为

3,． 2对点增分集训

一、选择题 1．已知函数f(x)

lnalnx在[1,)上为减函数，则实数a的取值范围是（ ） xB．0ae

C．ae

D．ae

A．0a【答案】D

1 e【解析】函数f(x)lnalnx1lnalnx在[1,)上为减函数，f(x)， xx2则f(x)0在[1,)上恒成立，即1lnalnx0在[1,)上恒成立， ∴lnx1lnalneee恒成立，∴ln0，即01，∴ae．故选D． aaa2．已知定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：①对于任意的xR，都有f(x4)f(x)；②对于任意的x1，x2R，且0x1x22，都有f(x1)f(x2)；③函数yf(x2)的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（ ） A．f(7)f(4.5)f(6.5) C．f(7)f(6.5)f(4.5) 【答案】B

【解析】定义在R上的函数yf(x)满足三个条件：

由①对于任意的xR，都有f(x4)f(x)，可知函数f(x)是周期T4的周期函数；

B．f(4.5)f(7)f(6.5) D．f(4.5)f(6.5)f(7)

②对于任意的x1，x2R，且0x1x22，都有f(x1)f(x2)， 可得函数f(x)在[0,2]上单调递增；

③函数yf(x2)的图象关于y轴对称，可得函数f(x)的图象关于直线x2对称． ∴f(4.5)f(0.5)，f(7)f(3)f(1)，f(6.5)f(2.5)f(1.5)． ∵f(0.5)f(1)f(1.5)，∴f(4.5)f(7)f(6.5)．故选B．

3．已知函数yf(x1)关于直线x1对称，且f(x)在(0,)上单调递增，aflog31，5bf(20.3)，cf(2log32)，则a，b，c的大小关系是（ ）

A．abc 【答案】D

【解析】因为yf(x1)关于直线x1对称，所以f(x)关于y轴对称， 因为f(x)在(0,)上单调递增，所以f(x)在(,0)上单调递减，aflog30.310.3bf(2)f，cf(log34)，

2B．bac C．cab D．bca

1f(log35)，51因为log35log341，120.30，

根据函数对称性及单调性可知bca，所以选D．

4．已知实数x，y分别满足：(x3)32019(x3)a，(2y3)32019(2y3)a， 则x24y24x的最小值是（ ） A．0 【答案】C

【解析】设f(x)x32019x，则f(x)f(x)， 即函数f(x)是奇函数，且函数为增函数，

∵(x3)32019(x3)a，(2y3)32019(y3)a，

B．26

C．28

D．30

∴(x3)32019(x3)[(2y3)32019(2y3)]， 即f(x3)f(2y3)，即f(x3)f(32y)，

∵f(x)x32019x为增函数，∴x332y，即x2y60，把2y6x代入

zx24y24x，得到zx2(6x)24x2x28x362(x2)22828，

当且仅当x2，y2时取得最小值．故选C．

11,x1x5．设函数fx，则不等式f(6x2)f(x)的解集为（ ） x12x11,A．(3,1) 【答案】D

【解析】易证得函数f(x)在[1,)上单调递增，

当x1时，得6x215x5，则5x1； 当x1时，得6x2x3x2，则1x2， 综上得不等式的解集为(5,2)．

6．若对x，yR，有f(x)f(y)f(xy)3，函数g(x)（ ） A．0 【答案】C

【解析】∵函数yf(x)对任意x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)3， 所以f(xy)f(x)f(y)3，∴令xy0，f(0)f(0)f(0)3， ∴f(0)3．令x2,y2，f(2)f(2)f(0)3，∴f(2)f(2)6， ∴g(2)g(2)

B．4

C．6

D．9

B．(3,2)

C．(2,5)

D．(5,2)

2xf(x)，g(2)g(2)的值2x1222(2)f(2)f(2)6．故选C． 2221(2)1

7．设函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)f(2x)，当x[0,1]时，f(x)sinx， 则函数g(x)cosπxf(x)在区间[3,5]上的所有零点的和为（ ） A．10 【答案】B

【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(x)f(x)， ∴f(x)f(2x)f(x2)，可得f(x4)f(x)，

即函数f(x)是周期为4的周期函数，且yf(x)图象关于直线x1对称． 故g(x)cosπxf(x)在区间[3,5]上的零点，即方程cosxf(x)的根， 分别画出ycosπx与yf(x)的函数图象，

B．8

C．16

D．20

因为两个函数图象都关于直线x1对称，

因此方程cosπxf(x)的零点关于直线x1对称，由图象可知交点个数为8个， 分别设交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8， 则x1x8x2x7x3x6x4x52，所以所有零点和为8，故选B． 8．已知函数yf(x1)2是奇函数，g(x)2x1，且f(x)与g(x)的图象的交点为(x1,y1)，x1(x2,y2)，K，(x6,y6)，则x1x2Lx6y1y2Ly6（ ）

A．0 【答案】D 【解析】g(x)B．6

C．12

D．18

2x112，由此g(x)的图象关于点(1,2)中心对称，yf(x1)2是奇函数， x1x1

f(x1)2f(x1)2，由此f(x1)f(x1)4，所以f(x)关于点(1,2)中心对称，x1x2Lx66，y1y2Ly612，

所以x1x2Lx6y1y2Ly618，故选D．

9．已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意xR，f(x)f(x)，f(3x)f(x)， 则f(2019)（ ） A．3 【答案】B

【解析】∵f(x)f(x)，∴f(3x)f(x3)，且f(0)0， 又f(3x)f(x)，∴f(x)f(x3)，

由此可得f(x3)f(x6)，∴f(x)f(x6)，∴f(x)是周期为6的函数，

B．0

C．1

D．3

f(2019)f(63363)，∴f(2019)f(3)f(0)0，故选B．

10．已知函数f(x)x3ax2bxc的图象的对称中心为(0,1)，且f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7)，则b（ ） A．1 【答案】A

【解析】∵函数f(x)x3ax2bxc的图象的对称中心为(0,1)，∴f(x)f(x)2，

B．2

C．3

D．4

f(1)f(1)2ac1a0∴，即，得，∴f(x)x3bx1，f(x)3x2b， f(2)f(2)24ac1c1又∵f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7)， ∴f(1)f(1)7b5，即3b，解得b1，故选A．

121x2x,x[0,1)3fxf(x)f(x2)2f(x)x[0,2)11．定义域为R的函数满足，当时，1x2，

,x[1,2)2

若x[4,2)时，f(x)A．[2,0)U(0,1) 【答案】D

【解析】当x[0,1)时，f(x)xx2t1恒成立，则实数t的取值范围是（ ） 42tD．(,2]U(0,1]

B．[2,0)U(1,) C．[2,1)

1,0； 4当x[1,2)时，f(x)12x322， 1,2∴当x[0,2)时，f(x)的最小值为1，

又∵函数f(x)满足f(x2)2f(x)，当x[2,0)时，f(x)的最小值为1， 2当x[4,2)时，f(x)的最小值为1， 4若x[4,2)时，f(x)t1t11恒成立，∴， 42t42t4即

(t2)(t1)0，即4t(t2)(t1)0且t0，解得t(,2]U(0,1]．故选D．

4t12．已知函数f(x)为R上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当x(0,2)时，f(x)x3， 则函数f(x)在区间[2018,2021]上（ ） A．无最大值 【答案】D

【解析】因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(4x)f(x)． 又函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(4x)f(x)． 令tx，得f(4t)f(t)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．

又函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)0，f(2)f(2)， 由函数f(x)的周期为4，得f(2)f(2)，

B．最大值为0

C．最大值为1

D．最大值为1

所以f(2)f(2)，解得f(2)0．所以f(2)0．

依此类推，可以求得f(2n)0(nZ)．作出函数f(x)的大致图象如图所示，

根据周期性，可得函数f(x)在区间[2018,2021]上的图象与在区间[2,1]上的图象完全一样． 观察图象可知，函数f(x)在区间(2,1]上单调递增，且f(1)131， 又f(2)0，所以函数f(x)在区间[2,1]上的最大值是1， 故函数f(x)在区间[2018,2021]上最大值也是1．

二、填空题 13．已知f(x)【答案】4a 【解析】因为f(x)2x1(x1)3，若f(2021)a，则f(2019) ． x12x13(x1)32(x1)3， x1x1所以f(2x)23(1x)3， 1x33(x1)32(1x)34， x11x因而f(x)f(2x)2所以f(2019)4f(2021)4a．

214．函数yloga(xax2)在区间(,1]上是减函数，则a的取值范围是 ．

【答案】[2,3)

2【解析】若0a1，则函数yloga(xax2)在区间(,1]上为增函数，不符合题意；

若a1，则tx2ax2在区间(,1]上为减函数，且t0．

a1∴2，解得2a3． 1a20综上，a的取值范围是[2,3)． 15．某同学在研究函数f(x)x(xR)时，分别给出下面几个结论： 1x①等式f(x)f(x)在xR时恒成立； ②函数f(x)的值域为(1,1)；

③若x1x2，则一定有f(x1)f(x2)； ④方程f(x)x在R上有三个根．

其中正确结论的序号有 ．（请将你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】①②③

【解析】对于①，任取xR，都有f(x)xxf(x)，∴①正确；

1x1x对于②，当x0时，f(x)x11(0,1)，根据函数f(x)的奇偶性知x0时，1x1xf(x)(1,0)，且x0时，f(x)0，∴f(x)(1,1)，②正确；

对于③，当x0时，f(x)11，∴f(x)在(0,)上是增函数，且0f(x)1；再由f(x)的奇1x偶性知，f(x)在(,0)上也是增函数，且1f(x)0，∴x1x2时，一定有f(x1)f(x2)， ③正确； 对于④，因为

xx只有x0一个根，∴方程f(x)x在R上只有一个根，④错误． 1x

正确结论的序号是①②③．

16．已知在R上的函数f(x)满足如下条件：①函数f(x)的图象关于y轴对称；②对于任意xR，

f(2x)f(2x)0；③当x[0,2]时，f(x)x；④函数f(n)(x)f(2n1x)，nN*，

若过点(1,0)的直线l与函数f(4)(x)的图象在x[0,2]上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是 ． 【答案】0,8 11【解析】∵函数f(x)的图象关于y轴对称，∴函数f(x)是偶函数， 由f(2x)f(2x)0，得f(2x)f(2x)f(x2)， 即f(x4)f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数．

∵当x[0,2]时，f(x)x，∴当x[0,2]，即x[2,0]时，f(x)f(x)x， 则函数f(x)在一个周期[2,2]上的表达式为f(x)∵f(n)(x)f(2n1x,x,(0x2)(2x0)，

x)，nN*，

3∴函数f(4)(x)f(2x)f(8x)，故f(4)(x)的周期为

1， 2其图象可由f(x)的图象横坐标压缩为原来的

1得到，作出f(4)(x)在x[0,2]上的图象如图： 8

易知过M(1,0)的斜率存在，设过点(1,0)的直线l的方程为yk(x1)，

设h(x)k(x1)，则要使f(4)(x)的图象在[0,2]上恰有8个交点，则0kkMA， ∵A20887,2，∴kMA，故0k．

71141114