＜数学之友＞ ２０１２年第ｌ２期 一道课本习题的探索 解；眵索 卞维清 （江苏省漂水高级中学，２１ １２００） 高中课程标准实验教科书（数学・苏教版）与 分析：本题也是已知对应法则、值域，求定义域 原教材相比有很多突出的优点．其中之一就是在练 的问题．注意到值域中有ｌ，则定义域中必有ｌ或 习中强化了层次性、突出了开放性和探索性．教材既 一１；同理也有２或一２．所以定义域可以为｛１，２ｌ｝、 是学生掌握知识和学习方法的主要蓝本，又是培养 ｛一１，２｝、｛一２，ｌ｝、｛一２，一１｝、｛一Ｉ，１，２｝、｛｝２， 学生能力的载体在新课程标准下教师不仅要深入 一ｌ，ｌ｝、｛一２，一１，２｝、｛一２，１，２｝、｛一２，一１，１参２｝ 挖掘教材的潜在价值，还需要更加重视教材内容的 共有９种． 探索性、启发性、开放性和情感教育价值性．下面就 变形：若其它条件不变，值域为｛０，１，４｝卿，答 一道习题潜在价值的探索谈谈笔者的想法． 案仍是９个，只要在上述定义域中都加上０就可 苏教版《数学必修一》第３３页，第１３题：已知 以了． 函数解析式为Ｙ＝ ，值域为［１，４］．问这样的函数 拓展３：《数学必修一》第３２页，第６题：已知集 有多少个？试举出两个例子。 ． 合Ａ＝｛１，２，３，４｝，Ｂ＝｛Ｉ，３，５｝，试写出从集合 到 分析：这是一个开放性问题，本题涉及了函数的 集合 的两个函数． “三要素”——定义域、对应法则、值域，即：已知对 分析：本题是已知函数的定义域，值域是集合 应法则和值域，要求定义域的问题．有多少个函数， 的子集，求函数对应法则的问题．这个题目是个开放 即求有多少种定义域． 性问题，对于加强学生对函数概念的理解，非常有帮 学生根据二次函数Ｙ＝ 的图象，很容易得出 助．可以用解析式来表示这个函数，如： （ｃ） 专 ｌ， 定义域可以为［１，２］和［一２，一１］．但更进一步，学 ，、 ｆ２ 一１， ∈｛ｌ，２，３｝， 生就比较困难了．原因在于学生对函数定义的理解 八纠 ｛１， ：４． …一 不够深刻，即函数是可以“多对一”的，即可以有多 变形：若函数定义域为Ａ＝｛１，２｝、值域为鸯＝ 个 对应一个Ｙ值．其实这个函数的定义域有无限 ｛１，２｝，这样的函数有多少个？ ． ．１， 个，如［一２，一１．］ｕ［１，２］、［一２，一１］ｕ Ｉ １， Ｉ、 分析：本题是已知定义域、值域，求对应法则的 问题．注意到函数的定义：非空数集间的单值对应． 『一２，一 ６ １ ｕ『１， １等． ． 可用图示来说明： Ａ Ｂ Ａ Ｂ 函数的概念及“三要素”是比较抽象的，对于高 一学生理解起来比较困难．笔者在此题教学时，对该 ’・题进行了一些拓展，我认为对学生加深函数概念的 理解是很有帮助的． ∞ 拓展ｌ：《数学必修一》第９３题，第５题：设一个 如图可知，有两种单值对应，所以有两个函数． 函数的解析式为，（ ）＝２ｘ＋３，它的值域为｛一ｌ，２， 值得一提的是，有几个学生在试着写出函数解 ５，８｝，求这个函数的定义域． 析式后，向我提出：这个问题的答案有无数个．如解 分析：本题较简单，注意到值域中的每个数均为 析式可以为：（１ ）＝ ；（２）厂（ ）＝３一 ；（３） ） ， １ ＜， ，） 函数值，可得定义域为｛一２，Ｌ ÷，１，÷｝‘Ｊ ． 一 ， 拓展２：《数学必修一》第９４页，第１８题：若函 出现这个问题，说明学生对函数对应法则的理解 数解析式为Ｙ＝ ，值域为｛１，４｝，求这个函数的定 不够深入其实（２）、（３）两个对应法则只是形式的不 义域． 同，它们的本质是相同的，所以它们是相同的函魏 变形：若已知集合Ａ＝｛ｌ，２｝，Ｂ＝｛ｌ，２｝，则集 ・５９・ ＜数学之友＞ ２０１２年第１２期 合Ａ到集合 的函数有多少个？ 只有唯一的元素与之对应．所以元素ａ，在 中有ｎ 分析：本题中，定义域为Ａ，而值域只须是 的 种对应方式 同理元素ａ：，ａ，，…，在 中也有 种对应 非空子集即可．因此除－Ｊ＇￣ＮＮ个函数外，还有下面 方式，利用乘法原则，共有ｎ 种对应，即有 个函觌 两个函数，即共有４个．如图： 所以“拓展３”中，共有３ ＝８１个函数． ＾ Ｂ Ａ Ｂ 课本上的例题和习题都具有一定的代表性，特 ∞∞ 别是一些典型例题与习题蕴含着很多数学思想方 法．高考中，很多试题就是直接来源于课本或由课本 题改编而成．在平时的教学过程中，教师应做一个有 变形：若集合Ａ中有ｍ个元素，集合口中有ｎ 心人，充分挖掘教材，将一些题目进行有机的串联， 个元素，则集合Ａ到集合Ｂ有多少个不同的函数？ 发挥教材例题和习题的重要功能．这对于强化学生 分析：设Ａ＝｛ａｌ，口２，ａ３，…，ａ ｝，Ｂ＝｛ｂ１，ｂ２，ｂ３， 对概念的理解，提高课堂效率，增强学生综合运用数 …，ｂ ｝，根据函数定义，Ａ中每一个元素都要在 中 学知识的能力是很有帮助的． （上接第５８页） 处取得最小值， 利用“分离变量”的方法处理后，可以让不等式的一 ｆ１—１－－７＋４ｍ ＞０， 侧变为不含参数ｍ的一个具体函数，这样求最值时 就没有了负担，也避免了分类讨论，这种解法是恒成 所以实数ｍ应满足Ｊ 。 立问题常用的方法． Ｔ ｌ≥ｏ． 解法３：不等式化为 解得ｍ Ｅ（一。。，一，／ ｘ】Ｕ【譬，＋∞）． 一１）＋ ｍ）一 告）＋４ｍ ）≥ｏ， 综上所述，实数ｍ的取值范围是 即（戈一１） 一１＋４， 一４一 ＋１＋ 一４ ≥０，： ｍ∈（一∞，一 ］Ｕ【 ，＋∞）． 整理，得（１一嘉＋４ｍ２） ２—２ 一３＞ｔ＇０， 解法３是将该不等式整理成含参数Ｆｎ的关于 的二次函数的最值问题，因为含有参数，所以要分类 令Ｆ（ ）：ｆ １—１－－７＋４ｍ １ 讨论，最终转化成关于的二次函数的图象分布问题， 、 ，，‘ ， ２—２ 一３． 虽然运算量没有前面方法的大，但用到了高中数学 所以本题即为Ｆ（ ）≥０要对任意 ∈ 中“函数与不等式转化”、“数形结合”、“分类讨论” 【丢，＋∞】恒成立，问题等价于Ｆ（ ） ｔ＞０． 的思想，不仅需要学生要较好的基本功，而且也考察 了二次函数的图象分布问题． （１）若ｌ一 ＋ｍ ４ｍ ≤０，因为 ∈【Ｌ‘吾， ＋∞］Ｊ ，由 由此可见，虽然是一道恒成立的填空题，但其考 查的内容和解决问题的方法是比较丰富多样的，而 函数的图象可知总存在 ∈【÷，＋∞］使得Ｆ（ ） 且计算量也是不小的，所以我们平时要对每一个小 ＜０，所以Ｆ（ ） ； ≥０恒不成立，此时ｍ无解． 题认真钻研，不仅要掌握方法，还要比较方法，以提 （２）若１一 ＋４ｍ：＞０， ，， 高自己的数学功底． ｍ 则，（ ）为开口向上的二次函 ｛ 参考文献： 数，因为Ｆ（０）＝一３＜０，所以 由二次函数的图象可知，要使 一Ｉ３． √Ｄ手ｊ ［１］ 陈传春．函数策略处理不等式恒成立问 题［Ｊ］．数学之友，２０１２，（４）． Ｆ（ ）≥ｏ对任意 ∈［吾，＋∞］恒成立，，（ ）的最 ［２］ 赵海晶．不等式中恒成立问题的解法研 究［Ｊ］．数学之友，２０１２，（８）． 小值不可能在函数图象的顶点处取，所以只能在 ・６Ｏ・
