法向量求法及应用方法

平面法向量的求法及其应用

一、 平面的法向量

1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n(x,y,1)[或

n(x,1,z)，或n(1,y,z)]，在平面内任找两个不共线的向量a,b。由n，得na0且nb0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。

方法二：任何一个x,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。AxByCzD0 (A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向

量n(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:向量。

方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长

xaybzc1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法

度等于|a||b|sin，（θ为,两者交角，且0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。

x1z1x1y1y1z1 ,,设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:ab

yzzxx2y22222（注：1、二阶行列式:Mac

bdD adcb；2、适合右手定则。） 1A1 E z B1 C1 例1、 已知，a(2,1,0),b(1,2,1)，

D A F 图1-1 B y C 试求（1）：ab;（2）：ba.

x Key: (1) ab(1,2,5);(2)ba(1,2,5)

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，

1

求平面AEF的一个法向量n。 :法向量nAFAE(1,2,2)key

二、 平面法向量的应用

1、 求空间角

B nB (1)、求线面角：如图2-1，设n是平面的法向量，

AB是平面的一条斜线，A，则AB与平面

所成的角为：

α A C 图2-1-1 n α  C 图2-1-2 A 图2-1-1:2n,AB2arccosnAB. |n||AB|sin|cosn,AB|图2-1-2:n,AB2arccosnAB2 |n||AB|(2)、求面面角:设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：

β n β m n  m α  α 图2-2 图2-3

m,narccosmn（图2-2）;

|m||n|m,narccosmn(图2-3)

|m||n|两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2

中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3中，m的方向对

平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。 2、 求空间距离

（1）、异面直线之间距离:

2

方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量a、b， 求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量； ②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；

③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 B n A M N 图2-4 b a d|ABn|,其中na,nb,Aa,Bb n |n|B α A O （2）、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到

图2-5 平面α的距离公式为d|ABn|nn B a

α A 图2-6 |n|（3）、直线与平面间的距离:

方法指导：如图2-6,直线a与平面之间的距离：

ABn，其中A,Ba。n是平面的法向量 d|n|n

（4）、平面与平面间的距离:

方法指导：如图2-7,两平行平面,之间的距离：

β A 图2-7 B α m，其中A,B。n是平面、的法向量。 d|ABn|a a|n|α 图2-8 3、 证明

（1）、证明线面垂直：在图2-8中,m向是平面的法向量，a是

a maα 直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ma）。 图2-9 β （2）、证明线面平行：在图2-9中,m向是平面的法向量，a是直线an的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ma0）。

mα （3）、证明面面垂直：在图2-10中，m是平面的法向量，n是平面图2-10 的法向量，证明两平面的法向量垂直（mn0）

β nm3

α 图2-11

（4）、证明面面平行：在图2-11中, m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明

两平面的法向量共线（mn）。

三、高考真题新解

1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，且PA=AD=DC=DAB90,PA底面ABCD，M是PB的中点 P M 12AB=1，

A D 图3-1 C B （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小 解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.

(I).AP(0,0,1)，AD(1,0,0)，设平面PAD的法向量为mAPAD(0,1,0)

又DC(0,1,0)，DP(1,0,1)，设平面PCD的法向量为nDCDP(1,0,1)

mn0，mn，即平面PAD平面PCD。

(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,1)，AC,PBarccosACPBarccos105

|AC||PB|(III).CM(1,0,)，CA(1,1,0)，设平在AMC的法向量为

21mCMCA(12,12,1).

又CB(1,1,0),设平面PCD的法向量为nCMCB(12,12,1).

m,narccosmnarccos(23).

2323|m||n|面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().[或arccos]

2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分) 如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知AB＝AA1＝a，BC＝2a，M是AD的中点。

(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；

图

4

(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1； (Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

(I).BC(2a,0,0),BA1(0,a,a),设平面

2A1BC的法向量为

nBCBA1(0,2a,2a)

2又AD(2a,0,0),nAD0,ADn,即AD//平面A1BC.

(II).MC(22a,0,a),MA1(22a,a,0),设平面A1MC的法向量为:

mMCMA1(a,222a,222a),

2又BD1(2a,a,a),BA1(0,a,a),设平面

A1BD1的法向量为:

nBD1BA1(0,2a,22a),

2mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.

(III).设点A到平面A1MC的距离为d,

mMCMA1(a,222a,222a)是平面A1MC的法向量,

2又MA(四、

22a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:d|mMA|12a.

|m|用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

5