12广东省茂名市2018届高三上学期第一次综合测试数学(文)试题

2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）

2018.1

本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5．考试结束后，请将答题卡上交.

第一部分 选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是

符合题目要求的.

1．若集合A={x|−1＜x＜3}，B={−1, 0, 1, 2}，则A∩B=( )

A. {−1, 0, 1, 2} B. {x|−1＜x＜3} C. {0,1, 2} D. {−1, 0, 1} 2．已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5

3．在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( ) A.

1131 B. C. D. 4324y2,4．已知变量x,y满足约束条件xy4, 则z3xy的最小值为( )

xy1,A. 11 B. 12 C. 8 D. 3 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9= ( ) A. 20 B.35 C. 45 D. 90

2xy21交于A, 6．已知抛物线y8x的准线与x轴交于点D,与双曲线B两点，点F为抛物线的焦点，m2若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )

21A. 5 B. 25 C. 21 D.

27．已知函数f(x)=sin(x+

) (＞0, 0＜＜)，f(x1)=1，f(x2)=0，若|x1–x2|min=1，且f(1) =1，

2222 第 1 页 共 15 页

则f(x)的

单调递增区间为( )

A. [1+2k,5+2k],kZ B. [5+2k,1+2k],kZ.

6666C. [5+2k,1+2k],kZ D. [1+2k,7+2k],kZ 6666

8．函数f(x)e的部分图象大致为( )

3xy y

|x|y 1 x O 1 -1 C

x y 1 O 1 D

1 -x

1 O 1 -1 A

x 1 O 1 B

9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看 开巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋 七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔 中间一层有（ ）盏灯.

A.24 B.48 C.12 D.60 10．执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是( )

A.2 018 B. −1 C.1 D.2

2

11．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：

①AF⊥GC；

②BD与GC成异面直线且夹角为60；

第 2 页 共 15 页

S=k=k否 ＜是 S1 输1S出k结=束 第

1

G D C

N

A E

B F

M

③BD∥MN；

④BG与平面ABCD所成的角为45其中正确的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

12．定义在R上函数yf(x2)的图象关于直线x=−2对称，且函数f(x1)是偶函数. 若当x∈[0,1]时，

.

f(x)sinx，则函数g(x)f(x)e|x|在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )

2A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036

第二部分 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知a(2,1),a2b(1,1),则a•b ． 14．曲线yln(x1)在点(1, ln2)处的切线方程为 ．

15．从原点O向圆C:x2y212y270作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 ． 16．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=3， ∠ACB=60，∠BCD=90，AB⊥CD，CD=22，则该球的体积 为 ．

三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出

文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）

已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2ccosBb2a. （Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=3，若b=2，求△ABC的面积.

第 3 页 共 15 页

A C

B

第16题图

D

18. （本小题满分12分）

在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，

，E是PC上一点.

（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；

（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A−EBC的 体积.

19．（本小题满分 12 分）

一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：

温度 21 6 23 11 6P

E C

B

A D 第18题图

24 20 627 27 29 57 32 77 6产卵数y/个 6经计算得：x1xi26，y1yi33，(xix)(yiy)557，(xix)284，

6i16i1i1i1(yy)ii162ˆi)2236.64，e8.0605≈3167，其中xi, 3930，线性回归模型的残差平方和(yiyyi分别为观测

i16数据中的温度和产卵数，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.

ˆx+aˆ（精确到0.1）； ˆ=b(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程yˆ=0.06e(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为y2

0.2303x

，且相关指数R=0.9522.

2

( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R说明哪种模型的拟合效果更好. (ii)用拟合效果好的模型预测温度为

时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.

ˆx+aˆ的斜率和截距的最小二乘估计为 ˆ=b附：一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线yˆb(xi1nnix)(yiy)iˆ；相关指数R2=1ˆ=y−bx,a(yi1ni1niˆi)2y．

i(xi1x)2(yy)2 第 4 页 共 15 页

20．（本小题满分 12 分）

已知椭圆C1以直线mxy50所过的定点为一个焦点，且短轴长为4. （Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；

（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的

倍(＞1)，过点C(−1,0)的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若AC2CB，求△OAB的面积

取得最大值时直线l的方程.

21.（本小题满分 12 分）

已知函数g(x)lnx2xa(a∈R).

x（Ⅰ）讨论g(x)的单调性；

（Ⅱ）若f(x)1[g(x)2xa]1. 证明：当x＞0，且x1时，f(x)lnx．

x1xxx1

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−2,0)，其倾斜角为，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为4cos0． （Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角的取值范围； （Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求x3y的取值范围．

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23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)|x3||x5|． （Ⅰ）求不等式f(x)2的解集；

（Ⅱ）设函数f(x)的最大值为M，若不等式x22xmM有解，求m的取值范围．

绝密★启用前 试卷类型：A

2018年茂名市高三级第一次综合测试 数学试卷（文科）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 答案 提示： 2．【解析】z1 C 2 D 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 C 9 A 10 C 11 B 12 D 2i12i，|z|=5，故选D. i3．【解析】在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)

共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1, 2, 3) 1个. y 4 z=3x+y 第 6 页 共 15 页

2 O 1 A 4 y=2 x

因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是p1. 故选A.

4y2,4．【解析】由约束条件xy4,作出可行域如图，

xy1,联立

y2,，解得A(2, 2)，

xy4,化目标函数z=3x+y为y= −3x+z，

由图可知，当直线y= −3x+z过A时，直线在y轴上的截距 最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选C. 5．【解析】由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=

9(a1a9)91045.故选C. 226．【解析】抛物线的准线方程为x2，准线与轴的交点为D(2,0)，ADF为等腰直角三角形，得

2(2)2x2y1上，可得421，解得|AD||DF|4，故点A的坐标为(2,4)，由点在双曲线mmm4，即a24，所以c2m121，故双曲线的离心率ec2121.故选D.

171717a427．【解析】：设f(x)的周期为T，由f(x1)=1，f(x2)=0，|x1 –x2|min=12由f(1) =1，得sin(1222,得T1T22,

422=，f(x)=sin(

3)=1，即cos=1，又0＜＜，∴222).

3由+2kx+2k，得5+2kx1+2k,kZ.

23266∴ f(x)的单调递增区间为[5+2k,1+2k],kZ.故选B.

66x(x1)exee8．【解析】由f(x)为奇函数，排除B，f(1)＜1，排除A. 当x＞0时，f(x)，f(x)，

33x3x2∴在区间(1,+∞)上f(x)单调递增，排除D，故选C.

a(271)381,解之得9．【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为,则

21a=3，则该塔中间一层灯盏数有

3

=24. 故选A.

10．【解析】依题意，执行如图所示的程序框图可知初始S＝2，当k=0时，S0＝−1，k=1时，S1＝1，同理

2S2＝2，S3＝−1，S4＝1，…，可见Sn的值周期为3.∴当k＝2017时，S2017＝S1＝1，

22此时k＝2018，退出循环. 输出S＝1. 故选C.

211．【解析】：将正方体纸盒展开图还原成正方体，①如图知AF与GC

异面垂直，故①正确；②显然BD与GC成异面直线,连接EB，ED. 则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的

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G M(E) F N

角就是异面

A D B C

直线BD与GC所成的角，故②正确；③显然BD与MN异面垂直， 故③错误；④显然GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是 BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形. 所以BG与平面ABCD所成的角不是为

，故④错误. 故选B.

12．【解析】函数g(x)f(x)e|x|在区间[−2018,2018]上零点的个数，就是函数f(x)sinx 的图象与

2ye|x|的图象交点个数. 由yf(x2)的图象关于直线x= −2对称，得f(x)是偶函数，即f(x)f(x).

又∵函数f(x1)是偶函数，∴f(x1)f(x1)，故f(x2)f(x)f(x)，因此，f(x)是周期为2的偶函

1|x|y y()图象如下图， yf(x)数.∵当x∈[0,1]时，f(x)sinx，作出与1 2e

可知每个周期内有两个交点，所以函数g(x)f(x)e 故选D.

第二部分 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．1 14. x2y12ln20 15. 1 16. 43 2提示：

13．【解析】∵a(2,1),a2b(1,1),∴2ba(1,1)(2,1)(1,1)(1,0)，

y 1∴b(,0)，∴a•b101. 2C 11|，得曲线在点(1, ln2) B 14．【解析】由所求切线斜率ky|x1x1x12 1处的切线方程为yln2(x1)，即x2y12ln20. 2O 15．【解析】把圆的方程化为标准方程为x2(y6)29，得到圆心C 的坐标为(0, 6),圆的半径r3,由圆切线的性质可知且AC=BC=3，OC=6，则有

，

|x|−2 −1 O 1 2 x 在区间[−2018,2018]上零点的个数为

A x 所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为1(写成1:2也对). 216．【解析】以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得

A O1 第 8 页 共 15 页

C O D B

31，依题意得CD⊥平面ABC，

截面圆的半径为12sin60故球心到截面的距离为1CD=2，则球的半径为

212(2)23.所以球的体积为4(3)343.

3三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过

程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22217.解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得2cacb2ab，整理得a2b2c2ab. …2分

2ac222cosCabcab1， ………………3分

2ab2ab2又在△ABC中，0＜C＜， ………………4分 ∴C2，即角C的大小为2. .………………5分 33法二：由已知及正弦定理得2sinCcosBsinB2sinA，

又在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, . ......……2分 ∴2sinCcosB – sinB=2sinBcosC+2cosBsinC，

即2sinBcosC= – sinB，又sinB≠0， ………………3分 ∴cosC1，又0＜C＜， ………………4分

2∴C2，即角C的大小为2. .………………5分

33(Ⅱ)由(Ⅰ)C2，依题意得如图，在△ADC中，AC=b=2，AD=3，

3由正弦定理得sinCDAACsinC232， .………………7分

AD232∵在△ADC中，0＜CDA＜，C为钝角， ........………....………8分 ∴CDA，故CAD2. .………………9分

43412∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴CAB, .……….……10分

6∴△ABC是等腰三角形，BCAC2. .………………11分 故△ABC的面积S1BCACsin212233. .…………….…12分

2322218.解：(Ⅰ)证明：依题意得四边形ABCD是底角为

的等腰梯形，………1分

分

∵ AD=DC，∴∠BAC=∠BAD−

−

， .……………….........3分

，即AB⊥AC.…...........…4分

B

A D P

A C D B

E C

第 9 页 共 15 页

∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴AB⊥平面PAC， ..........................………………...5分 又平面AB平面EAB，

∴平面EAB⊥平面PAC； ..........................……………...6分 (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠A∴AC= AB∙

，AB=1，

3，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，.........……………7分

∴AB是三棱锥B−EAC的高，正△PAC的边长为3. ...……………8分

∵E是PC的中点，∴S△EAC＝1S△PAC＝1ACAPsin601(3)2333. ………10分

24428∴三棱锥A−EBC的体积为VAEBCVBEAC1SEACAB133313...……………12分

P 388

E C

(Ⅱ)解法二：过P作PO⊥AC于点O，

∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC， ∴PO⊥平面ABC，

过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC， ∴EF是三棱锥E−ABC的高，且PO∥EF， ………7分 又E是PC中点，∴ EF是△POC的中位线，故EF1PO.

2由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∴BC=2AB=2, AC= AB∙∴PO=

，AB=1，

B

A F O D

3, 即正△PAC的边长为3, ………….........…8分

32, 故

EF=3. ........................................................................

4.....….........9分

在Rt△ABC中，S△ABC＝1ABAC1133. ….........………….........…10分

222∴三棱锥A−EBC的体积为VAEBCVEABC1SABCEF133333. ...................12

248分

ˆ19.解：(Ⅰ)依题意，n=6，b(xx)(yy)iii16(xx)ii1625576.6, ....……….……2分

84ˆa33−

≈

−138.6， ....…...................…………3分

ˆ=6.6x−∴y关于x的线性回归方程为y138. 6． ....……………4分

第 10 页 共 15 页

ˆi)236.64, (yiy)23930得, 线性回归方程yˆ=6.6x−(Ⅱ) ( i )利用所给数据, (yiy138.6

2i1i166的相关指数

R=12

(yi16i16iˆi)2yy)2(y1236.64≈10.06020.9398. .................….......6分

3930i∵0.9398＜

0.9522， .............................................….......…………7分

ˆ=0.06e因此，回归方程y(ii)由( i )得温度分 又∵e

8.0605

0.2303x

ˆ=6.6x−比线性回归方程y138.6拟合效果更好. ....……..……8分 ˆ=0.06e时，y8.0605

. ....……..……..…9

≈3167， ......................................………....

.……10分 ∴

ˆy（个）. .....................................………...……11分 所以当温度

时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分

20.解：(Ⅰ)所给直线方程变形为ymx5, …......……………1分 可知直线所过定点为(0,5). ...............………2分

222

∴椭圆焦点在y轴, 且c=5，依题意可知b=2，∴a=c+b=9. ……………3分

y2x21. ………………4分 椭圆C1的方程标准为942y2(Ⅱ)依题意，设椭圆C2的方程为2x21，A(x1,y1), B(x2,y2)，………………6分

94＞1，∴点在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点.

当直线l垂直于x轴时，ACCB(不是零向量)，不合条件；

故设直线l为y=k(x+1) (A，B，O三点不共线，故k≠0), ……………..…7分

918y93620由4y29x2362，得(24)y2.

kk由韦达定理得y1y2yk(x1)，18k. ………………8分

94k2∵AC2CB，而点C(−1, 0)， ∴(

1x1, y1)=2(x2+1, y2)，∴y1= 2y2， ………………..…9分

第 11 页 共 15 页

18k即y1+y2= y2 故y22. ………………10分

94k∴△OAB的面积为

SOABSAOCSBOC11|y1|11|y2|1|y1y2|222

273|y2|318|k|2279. .......................……11分

94|k|23642294|k| |k|3上式取等号的条件是|k|2=9，即k=±时，△OAB的面积取得最大值9.

424所以直线的方程为y3(x1)或y3(x1). ………………12分

22221. (Ⅰ)解：由已知得g(x)的定义域为(0, +∞)，g(x)12a22x2xa. ...........……1

xxx

分

方程2x2xa0的判别式18a. …………....…......…2分

①当a1时，△≤0，g(x)0，此时,g(x)在(0, +∞)上为增函数；…………..............…3

8分

118a,x118a②当a＞1时，设方程2x2xa0的两根为x1， 2844若1a0, 则x1x20, 此时, g(x)＞0, g(x)在(0, +∞)上为增函数； ……......…4分 8若a＞0，则x1＜0＜x2，此时, g(x)在(0, x2]上为减函数，在(x2, +∞)上为增函数，…..……5分 综上所述：当a0时，g(x)的增区间为(0, +∞)，无减区间；

当a＞0时，g(x)的减区间为(0,x2]，增区间为(x2,). ………....…...……6分 (Ⅱ)证明：由题意知

f(x)lnx1,………………..........................................7分

x1x

∴f(x)lnx.......…8分

2考虑函数h(x)2lnxx1(x0)，

x12lnxx21， ……………......................................

x11x2x则

h(x)2x.....9分

2x2(x21)(x1)2………………..........................................

x2x2

所以x≠1时，h(x)＜0，而

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h(1)0 ………………................................................10分

故x(0,1)时，h(x)＞0,x(1，)时，h(x)＜0,1＞0，可得f(x)＞lnx，

1x2x11＜0，可得f(x)＞lnx，…………….................…...11分 1x2x1

从而当x＞0，且x1时，f(x)lnx． ……………..................…12分

x1请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.解：(Ⅰ)法一： 由曲线C的极坐标方程得24cos0，又xcos,ysin, ∴曲线C的直角坐标方程为x2y24x0，即(x2)2y24 ………....…1分 ∴曲线C是圆心为C(2, 0)，半径为2的圆.

∵直线l过点P(−2,0)，当l的斜率不存在时，l的方程为

与曲线C没有公共点，…2分

∴直线l的斜率存在，设直线l：yk(x2)，即kxy2k0. 直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离d|2k02k|2 ...........………3分 2k1解得3k3…...............………4分

33

∵[0,)，∴的取值范围是[0,][5,) ....................…………5分

66法二：由曲线C的极坐标方程得24cos0，又xcos,ysin, ∴曲线C的直角坐标方程为

x2y24x0， …....................................................………1分

∵直线l经过点P(−2,0)，其倾斜角为， ∴直线l的参数方程为

x2tcos，（为参

ytsin，数）， ……......................................……2分 将

x2tcos，代入x2y24x0整理得：t28tcos120. .............….………3分

ytsin，3cos3或…....4分 222∵直线l与曲线C有公共点，∴64cos480即cos∵[0,)，∴的取值范围是

[0,][5,). ....…….......................5分 66(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为(x2)2y24，

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故其参数方程为分

x22cos， （为参数） . ……….............…7

y2sin，∵M(x,y)为曲线C上任意一点，∴x3y22cos23sin24sin() …........8分

6∵1sin()1，∴224sin()6，

66因此，x3y的取值范围是

[2,6]. ………….........................10分

法二：设

x3ym. …………..........................6分

由(Ⅰ)知曲线C即圆C:(x2)2y24, 依题意, 圆C与直线x3ym0有交点，…7分 ∴圆心C到直线x3ym0的距离

d|20m|1(3)222， .................................……9分

解得2m6, 即x3y的取值范围是

[2,6]. ……............................... .................……10分

23. 解：(Ⅰ)当x3时，f(x)8，此时f(x)2无解； ….......................……………1分

当5＜x＜3时，f(x)2x2，由f(x)2解得5＜x≤2；………….................……3分

当x≤5时，f(x)8，此时f(x)2恒成

立. …………......................................……4分

综上，不等式f(x)2的解集是

{x|x2}. …………….....................................…5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

8,x3,f(x)2x2,5x3, ……………….......................................6分

8,x5,易知函数f(x)的最大值

M=8， ………………............................................7分 若x22xm8有解，得mx22x8有

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解. ………………............................................8分 即

m[(x1)29]max9. …………….......................................

......…9分

因此，m的取值范围是

m9. ……………...........................................…10分

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