广西南宁外国语学校2012-2013学年高二上学期数学单元素质测试题——不等式的基本性质)

（考试时间90分钟，满分100分）姓名_______评价_______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确））1.（09四川）已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的（A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（07上海）设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是（Ａ．ab

22）Ｄ．

Ｂ．abab

22Ｃ．3.（11陕西）设0ab，则下列不等式中正确的是(11ab2a2b

)baab

ab2ab

C．aabb

2

A．ab

ab

ab

b2ab

bD．aba2

B．a

ab

4.（06陕西）设x，y为正数，则(xy)(

A.6B.914

)的最小值为（xy

C.12）D.15）D．4）D.45.（11重庆）若函数f(x)x

A．121

(x2)在xa处取最小值，则a（x2C．3B．132

6.（10四川）设ab0，则a

A.1B.211

的最小值是（

aba(ab)C.37．（08重庆）已知函数y=1x最小值为m，则x3的最大值为M，m

的值为（MD.）A.14B.12C.22328．(10全国Ⅰ)已知函数f(x)|lgx|.若ab且，f(a)f(b)，则ab的取值范围是（）A.(1,)

B.[1,)

C.(2,)

D.[2,)

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将你认为正确的答案填写在空格上）2sin2x1

9.（08辽宁）设x0，，则函数y的最小值为sin2x2

2．x3x210.（10江苏）设实数x，y满足3xy8，49，则4的最大值是yy__.11．（07山东）函数yloga(x3)1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mxny10上，其中mn0，则12

的最小值为mn.三、解答题（本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）x2y212.(本题满分9分)已知x>0,y>0，（Ⅰ）求证：≥xy；

yxx2xyy2（Ⅱ）若xy1，求的最小值.xy

Ks5u13.(本题满分12分)如果x0,y0,且xy1,求zx



11

y的最小值.xy

14.(本题满分12分，11安徽理19)（Ⅰ）设x1,y1，证明xy

111

xy；xyxy（Ⅱ）设1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.15.（本题满分12分，08福建文20)已知{an}是正整数组成的数列，(an,an1)(nN*)在函数yx21的图像上：（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b11,bn1bn2a

n，求证：bnbn2

2bn1.a11，且点高二(上)数学单元测试题——不等式的基本性质（参）

一、选择题答题卡题号答案1B2C3B4B5C6D7C8C得分二、填空题9.310.27．11.8．Ks5u三、解答题：12.（Ⅰ）证法一（比较法）x2y2x3y3xy(xy)

(xy)yxxy(xy)(x2xyy2)xy(xy)



xy(xy)(x22xyy2)

xy(xy)(xy)2,

xyx0，y0，xy0，xy0，(xy)20.x2y2(xy)0.yxx2y2故xy.yx证法二（综合法）：由均值不等式，得：x0，y0，

x2y2x2y2yx2y2xyxyx2x2y,

x2y2故xy.yx证法三（分析法）：因为x0，y0，

x2y2要证xy，yx

只要证xy(xy)xy，即要证(xy)(xxyy)(xy)xy，也就是要证xxyyxy，即要证xy2xy，但是，不等式xy2xy成立，故原不等式成立.（Ⅱ）解法一：xy1，2222222233x2xyy2(xy)(x2xyy2)



xyxyx3y3

xyx2y2.yxx2y2y2x2由（Ⅰ）知xy，1.

yxxy当且仅当

xy1

，即xy时，“”号成立.2xy1

1x2xyy2所以，当xy时，的最小值为1.2xy

解法二：x0，y0，xy1，x2xyy2(xy)23xy



xyxy



13xy211xy

根据题意，得xy4..从而24xyx2xyy2431.

xy当且仅当

xy1

，即xy时，“”号成立.2xy1

1x2xyy2所以，当xy时，的最小值为1.2xy

，13.错解一：x0，y0，且xy1

11

zxyxy2x224.

1xx

1

错因：当且仅当y时，“=”号成立.但是这个方程组无解，所以“=”号不成立.y

xy1

112yxy，Ks5u错解二：x0，y0，且xy1

11

zxyxy

xy

1xyxyyx1xy2xyyx2xy224.

11

zxy的最小值为4.xy

1xyxy

xy

错因：当且仅当时，“=”号成立.但是这个方程组无解，所以“=”号不成立.yx

xy1

，错解三：x0，y0，且xy1

11

zxyxyxy

1xy

xyyx1x2y2xy

xy1(xy)22xyxy

xy22xyxy

xy2

xy2

xy2xy

22xy

222.

11

zxy的最小值为222.xy

2xy

xy时，错因：当且仅当“=”号成立.但是这个方程组无解，所以“=”号不成立.xy1

正解：x0，y0，且xy1，xy(

xy21

).2411

zxyxyxy

1xy

xyyx1x2y2xy

xy1(xy)22xyxy

xy

22xyxy

xy2

xy2

xy设xyt，则t0,,z(t)t2.

t4在区间0,上任取t1，t2，且t1t2，则4

12



1

z(t1)z(t2)(t1

222)(t22)t1t222

t1t22(t2t1)t1t22)t1t2t1t2t1t2

(t1t2)(1

0t1t2

112,t1t20,0t1t2,10.416t1t2z(t1)z(t2)0.

即z(t1)z(t2).

z(t)t

211251

2在区间0,上是减函数.所以，当t时，zmin82.

4t446

11

.解之得xy,符合题意.42

这时，xy1，且zxy

故zx



1125

y的最小值为.xy6111

xyxyxy（Ⅰ）由于x≥1,y≥1，所以xy14.证明：xy(xy)1yx(xy)2将上式中的右式减左式，得(yx(xy)2)(xy(xy)1)((xy)21)(xy(xy)(xy))(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)

既然x≥1,y≥1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立.（Ⅱ）设logabx,logbcy，由对数的换底公式得logca

111

,logba,logcb,logacxyxyxy111

xyxyxy于是，所要证明的不等式即为xy其中xlogab1,ylogbc1

故由（Ⅰ）立知所要证明的不等式成立.15.解：（Ⅰ）由已知得an1(an)21，即an1an1，又a11,所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列.因此ana1(n1)d1(n1)1n.故数列{an}的通项公式为ann(nN*).(Ⅱ)由（Ⅰ）知：ann，从而bn1bn2n.bnb1(b2b1)(b3b2)(bn1bn2)(bnbn1)

122n22n11(12n)

122n1.

因为bnbn2bn1(2n1)(2n21)(2n11)22(22n22n22n1)(22n222n11)2n0.

所以bn·bn+2＜bn1.Ks5u2